Теория механики. Теоретическая механика. Вычисление момента силы относительно оси

Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела

В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимо­действующие тела могут сообщать друг другу ускорения или де­формироваться (изменять свою форму). Сила- векторной величиной. Она характеризуется чис­ленным значением, или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рисунке показано, как сила приложена к точке A. Отрезок AB= модулю силы F. Прямая LM называется линией действия силы. В сист. СИ сила изм. в ньютонах (Н). Так же есть 1МН=10 6 Н, 1 кН=10 3 Н. Существует 2 способа задания силы: непосредственным описанием и векторный (ч-з проекции на оси координат). F= F x i + F y j + F z k , где F x , F y , F z – проекции силы на оси координат, а i, j, k - единичные орты. Абсолютно твёрдое тело- тело в котором расстояние м-ду 2 его точками ост. неизменным независимо от действия на него сил.

Совокупность нескольких сил (F 1 , F 2 , ... ,F n) называется системой сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил (F 1 , F 2 , ..., F n) можно заменить другой си­стемой (Р 1 , P 2 , ... , P n) и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следую­щим образом: (F 1 , F 2 , ... , F n)~ (Р 1 , P 2 , ... , P n). Однако, это не означает, что если две системы сил оказывают одинаковое действие на тело они будут эквивалентны. Эквивалентные системы вызывают одинаковое состояние системы. Когда система сил (F 1 , F 2 , ... , F n) эквивалентна одной силе R, то R назыв. равнодействующей. Равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. Но не всякая си­стема сил имеет равнодействующую. В инерциальной системе координат выпол­няется закон инерции. Это означает, в частности, что тело, находя­щееся в начальный момент в покое, останется пребывать в этом состо­янии, если на него не действуют никакие силы. Если абсо­лютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил (F 1 , F 2 , ... , F n), то эта система называется уравно­вешенной, или системой сил, эквивалентной нулю: (F 1 , F 2 , ... , F n)~0. В этом случае говорят, что тело находится в равновесии. В математике два вектора считаются равными, если они параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого недостаточно и из равенства F=Р еще не следует соотношение F~Р. Две силы эквива­лентны, если они векторно равны и приложены к одной точке тела.

Аксиомы статики и их следствия

Тело под действием силы приобретает ускорение и не может находиться в покое. Первая аксиома ставит усло­вия, при выполнении которых система сил будет уравно­вешена.

Аксиома 1 . Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны . Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в началь­ный момент находилось в покое, то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы F 1 , F 2 и Р 1 , Р 2 , удовлетворяющие соотношениям: (F 1 ,F 2)~0, (P 1 ,Р 2)~0. При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равно­весии. Из сформулированной аксиомы действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через концы стержня, противоположны по направле­нию и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). То же самое и в случае, когда ось стержня криволи­нейная (рис. 1.5, б).

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, дей­ствующих по одной прямой и направленных в противополож­ные стороны. Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.Действительно, пусть сила F А приложена к точке А (рис. 1.6, а). Приложим в точке В на линии действия силы F A две уравновешен­ные силы F B и F" B , полагая, что F B =F A (рис. 1.6, б). Тогда со­гласно аксиоме 2 будем иметь F A ~F A , F B , F` B). Так как силы F А и F B обра зуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6,в). Таким образом, F A ~F A ,F B ,F` B)~F B , или F A ~F B , что доказывает следствие. Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор. Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное со­стояние тела.

Аксиома 3. Не меняя cостояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно за­менить одной равнодействующей силой, приложен­ной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил). Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: 1) две силы F 1 и F 2 (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе (F 1 ,F 2)~R; 2) аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы R=F 1 +F 2 .(1.5) Другими словами, равнодействующую R можно построить как диа­гональ параллелограмма со сторонами, сов­падающими с F 1 и F 2 . Модуль равнодействующей определится равенством R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2 , где а-угол между данными векторами F 1 и F 2 . Третья аксиома применима к любым телам. Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частно­сти, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два на­правления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила R будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу R, и с ребрами, направленными по этим прямым (рис. 1.8).

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противополож­ные стороны. Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систе­му уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам. Если тело I действует на тело II с силой Р, а тело II действует на тело I с силой F (рис. 1.9), то эти силы равны по модулю (F = Р) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. F= –Р. Если обозначить че­рез F силу, с которой Солн­це притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой – F. При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения Т, направленная в сторону, противоположную движению. Это– сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с та­кой же силой, но ее направление бу­дет противоположно силе Т.

На рис. 1.10 показано тело, движущееся вправо; сила трения Т приложена к движуще­муся телу, а сила Т"= –Т - к плос­кости. Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на рис. 1.11, а. Она состоит из двигателя А, установленного на фун­даменте В, который в свою очередь находится на основании С. На двигатель и фундамент действуют силы тяжести F 1 и F 2 соответ­ственно. Также действуют силы: F 3 – сила действия тела А на тело В (она равна весу тела А); F`з – сила обратного действия тела В на тело А; F 4 – сила действия тел А и В на основание С (она равна сум­марному весу тел А и В); F` 4 – сила обратного действия основания С на тело В. Эти силы показаны на рис. 1.11, б, в, г.Согласно аксиоме 4 F 3 =–F` 3 , F 4 =–F` 4 , причем эти силы взаимодействия определяются заданными силами F 1 и F 2 . Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела А (рис. 1.11,6) должно быть F з=–F 1 , а значит, F 3 =F 1 . Точно так же из условия равновесия тела В (рис. 1.11, в) следует F` 4 =–(F 2 +F 3), т. е. F` 4 =–(F 1 +F 2) и F 4 =F 1 +F 2 .

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым. Этой аксиомой пользуются в тех слу­чаях, когда речь идет о равновесии тел, ко­торые нельзя считать твердыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удов­летворять условиям равновесия твердого тела, однако для нетвердых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не доста­точными. Например, для равновесия абсолютно твердого не­весомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы F и F" действовали по прямой, соединяю­щей его концы, были равны по модулю и нап­равлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка неве­сомой нити, но для нити они недостаточны- необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис. 1.12, б), в то время как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.12, а).

Рассмотрим случай эквивалент­ности нулю трех непараллельных сил, приложенных к твердому телу (рис. 1.13, а). Теорема о трех непараллельных силах . Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости, и их линии дей­ствия пересекаются в одной точке .Пусть на тело действует система трех сил F 1 , F 3 и F 3 , причем линии действия сил F 1 и F 2 пересекаются в точке А (рис. 1.13, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы F 1 и F 2 можно перенести в точку А (рис. 1.13, б), а по аксиоме 3 их можно за­менить одной силой R, при­чем (рис. 1.13, в) R=F 1 +F 2 . Таким образом, рассматриваемая система сил приведе­на к двум силам R и F 3 (рис. 1.13, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме 1 силы R и F 3 должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.

Активные силы и реакции связей

Тело называется свободным , если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным , а тела, ограничивающие перемещения данного тела,– связями . В точках контакта возникают силы взаимодействия между дан­ным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, назы­ваются реакциями связей .

Принцип освобождаемоcти : всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу. В статике полностью определить реакции связей можно с по­мощью условий или уравнений равновесия тела, которые будут установлены в дальнейшем, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей. В качестве простейшего примера на рис. 1.14, а представлено тело, точка М которого соединена с неподвижной точкой О при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень ОМ; стеснение свободы перемещения точки М выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки О. Сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой ОМ, и согласно аксиоме 4 сила противодей­ствия стержня (реакция) R должна быть направлена вдоль той же прямой. Т. о., направление реакции стержня совпадает с прямой ОМ (рис. 1.14, б). Аналогично сила реакции гибкой нерастя­жимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. 1.15 показано тело, висящее на двух нитях, и реакции нитей R 1 и R 2 . Силы, действующие на несвободное тело, делят на две категории. Одну кате­горию образуют силы, не зависящие от связей, а другую– реакции связей. При этом реакции связей носят пассив­ный характер– они возникают потому что на тело действуют силы первой категории. Силы, не зависящие от связей, называют активными, а реакции связей– пассивными силами. На рис. 1.16, а вверху показаны две равные по модулю активные силы F 1 и F 2 , растягивающие стержень АВ, внизу показаны реак­ции R 1 и R 2 растянутого стержня. На рис. 1.16, б вверху показаны активные силы F 1 и F 2 , сжимающие стержень, внизу показаны реакции R 1 и R 2 сжатого стержня.

Свойства связей

1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка, контакта тела с поверхностью может сво­бодно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкаса­ющимся поверхностям (рис. 1.17, а).Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие (рис. 1.17, б), то реакция направлена по нормали к поверх­ности самого тела.Если твердое тело упирается острием в угол (рис. 1.17, в), то связь препятствует перемещению острия как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция R угла может быть пред­ставлена двумя составляющими – горизонтальной R x и вертикаль­ной R y , величины и направления которых в конечном счете опре­деляются заданными силами.

2. Сферическим шарниром называется устройство, изображенное на рис. 1.18, а, которое делает неподвижной точку О рассматрива­емого тела. Если сферическая поверхность контакта идеально глад­кая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Реакция проходит через центр шарнира О; направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае.

Так же нельзя заранее определить напра­вление реакции подпятника, изображенного на рис. 1.18, б. 3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.19, а). Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реак­ции может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры). 4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.19, б) препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости I-I; соответственно реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.

В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно рас­членяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Силы взаимодей­ствия между отдельными точками данного тела называются внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними.

Основные задачи статики

1. Задача о приведении системы сил: как данную систему сил заменить другой, наиболее простой, ей эквивалент­ной?

2. Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?

Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равновесие заведомо имеет место, например, когда заранее известно, что тело находится в равновесии, которое обеспечивается связями, наложен­ными на тело. При этом условия равновесия устанавливают зави­симость между всеми силами, приложенными к телу. С помощью этих условий удается определить опорные реакции. Нужно иметь в виду, что определение реакций связей (внеш­них и внутренних) необходимо для последующего расчета прочности конструкции.

В более общем случае, когда рассматривается система тел, име­ющих возможность перемещаться друг относительно друга, одной из основных задач статики является задача определения возможных положений равновесия.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Докажем теорему: Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодейству­ющей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия. Пусть задана система сходящихся сил F 1 , F 2 , F 3 , ..., F n , при­ложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (21, б). Получили сист сил, прил к одной точке. Она эквивалентна заданной. Сложим F 1 и F 2 , получим их равнодействующую: R 2 =F 1 +F 2 . Сложим R 2 с F 3: R 3 =R 2 +F 3 =F 1 +F 2 +F 3 . Сложим F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . Ч.т.д. Вместо параллелограммов можно построить силовой многоугольник. Пусть система состоит из 4 сил (рис 2.2.). От конца вектора F 1 отложим вектор F 2 . Вектор, соединяющий начало О и конец вектора F 2 , будет вектором R 2 . Далее отложим вектор F 3 помещая его начало в конце вектора F 2 . Тогда мы получим вектор R 8 , идущий от точки О к концу вектора F 3 . Точно так же добавим вектор F 4 ; при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора F 1 к концу вектора F 4 , является равнодействующей R. Такой пространственный многоугольник называется силовым. Если конец последней силы не совпадает с началом первой силы, то силовой многоугольник наз разомкнутым . Если для нахождения равнодействующей исп прав геометр, то этот способ наз геометрическим.

Больше пользуются аналитическим способом для определения равнодействующей. Проек­ция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; где F kx , F ky , F kz – проекции силы F k на оси, а R x , R y , R z – проекции равнодействующей на те же оси. Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси. Модуль равнодействующей R равен: R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2 . Направляющие косинусы равны: cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R. Если силы распол в пл-ти то всё аналогично, отсутствует ось Z.

Условия равновесия системы сходящихся сил

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы их равнодействующая равнялась нулю: R = 0. Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой многоугольник замк­нут (рис. 2.3). Это условие исполь­зуется при графическом решении задач для плоских систем сил. Векторное равенство R=0 эквивалентно трем скалярным равен­ствам: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; где F kx , F ky , F kz – проекции силы F k на оси, а R x , R y , R z – проекции равнодействующей на те же оси. Т. е. для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенства нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной си­стемы на каждую из координатных осей. Для плоской системы сил пропадает условие, связанное с осью Z. Условия равновесия позволяют проконтролировать, нахо­дится ли в равновесии заданная система сил.

Сложение двух параллельных сил

1) Пусть параллельные и одинаково направленные силы F 1 и F 2 приложены к точкам А и В тела и нужно найти их равнодействую­щую (рис. 3.1). Приложим к точ­кам А и В равные по модулю и про­тивоположно направленные силы Q 1 и Q 2 (их модуль может быть любым); такое добавление можно делать на основании аксиомы 2. Тогда в точках А и В мы получим две силы R 1 и R 2: R 1 ~(F 1 , Q 1) и R 2 ~(F 2 , Q 2). Линии действия этих сил пересе­каются в некоторой точке О. Пере­несем силы R 1 и R 2 в точку О и разложим каждую на составляющие: R 1 ~(F 1 ’, Q 2 ’) и R 2 ~(F 2 ’, Q 2 ’). Из построения видно, что Q 1 ’=Q 1 и Q 2 ’=Q 2 , следовательно, Q 1 ’= –Q 2 ’и две эти силы согласно аксиоме 2 можно отбросить. Кроме того, F 1 ’=F 1 , F 2 ’=F 2 . Силы F 1 ’ и F 2 ’ действуют по одной прямой, и их можно заменить одной силой R = F 1 + F 2 , которая и будет искомой равнодействующей. Модуль равнодейству­ющей равен R = F 1 + F 2 . Линия действия равнодействующей параллельна ли­ниям действия F 1 и F 2 . Из подобия треугольников Оас 1 и ОАС, а, также Оbс 2 и ОВС получим соотношение: F 1 /F 2 =BC/AC. Этим соотношением определяется точка приложения равнодействующей R. Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей этих сил.

2) Пусть на тело действ две парал силы, направл в разные стор и не равные по модулю. Дано: F 1 , F 2 ; F 1 >F 2 .

Пользуясь формулами R = F 1 + F 2 и F 1 /F 2 =BC/AC, можно силу F 1 разложить на две составляющие, F" 2 и R, направленные в сторону силы F 1 . Сделаем это так, чтобы сила F" 2 оказалась приложенной к точке В, и по­ложим F" 2 = –F 2 . Таким образом, (F l , F 2)~(R, F" 2 , F 2) . Силы F 2 , F 2 ’ можно отбросить как эквивалентные нулю (аксио­ма 2), следовательно, (F 1 ,F 2)~R , т. е. сила R и является равнодействующей. Определим силу R, удов­летворяющую такому разложению силы F 1 . Формулы R = F 1 + F 2 и F 1 /F 2 =BC/AC дают R+F 2 ’=F 1 , R/F 2 =AB/AC (*). Отсюда следует R = F 1 –F 2 ’= F 1 + F 2 , и так как силы F t и F 2 направлены в разные стороны, то R=F 1 –F 2 . Подставив это выражение во вторую формулу (*), получим после простых преобразований F 1 /F 2 =BC/AC. соотношением определяется точка приложения равнодействующей R. Две не равные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодей­ствующую, параллельную этим силам, а ее модуль равен раз­ности модулей этих сил.

3) Пусть на тело действуют две парал, равных по модулю, но противоп по напр силы. Эта система назыв парой сил и обозначается символом (F 1 , F 2) . Предположим, что модуль F 2 постепенно возрастает, приближаясь к значению модуля F 1 . Тогда разность модулей будет стремиться к нулю, а система сил (F 1 , F 2)– к паре. При этом |R|Þ0, а линия ее действия– удаляться от линий действия этих сил. Пара сил представляет собой неуравно­вешенную систему, которая не может быть заменена одной силой. Пара сил не имеет равнодействующей.

Момент силы относительно точки и оси.Момент пары сил

Моментом силы относительно точки (центра) на­зывается вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии дей­ствия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходя­щей через выбранную точку и линию действия силы. Если мом силы по часов стрелки, то момент отрицательный, а если против, то положительный. Если O- точка, относ кот находится момент силы F, то момент силы обозначается символом М о (F). Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором r относительно О, то справедливо соотношение М о (F)=г х F. (3.6) Т.е. момент силы равен векторному произ­ведению вектора r на вектор F. Модуль векторного произведения равен М о (F)=rF sin a=Fh, (3.7) где h - плечо силы. Вектор М о (F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, и против часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F. Формулу (3.7) можно записать в виде M O (F)=2S, (3.8) где S– площадь треугольника ОАВ. Пусть x, у, z - координаты точки приложения силы, a F x , F y , F z - проекции силы на координатные оси. Если т. О нах. в начале координат, то момент силы:

Значит, проекции момента силы на координатные оси определяются ф-ми: M ox (F)=yF z –zF y , M oy (F)=zF x –xF z , M oz (F)=xF y –yF x (3.10).

Введем понятие проекции силы на плоскость. Пусть дана сила F и нек-ая пл-ть. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5). Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость. Проекцией силы F на пл-ть xOy будет F xy. Момент силы F xy отн. т. О (если z=0, F z =0) будет M o (F xy)=(xF y –yF x)k. Этот момент направлен вдоль оси г, а его проек­ция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О.Т.е, M Oz (F)=М Оz (F xy)=xF y –yF x . (3.11). Тот же результат мож­но получить, если спроектировать силу F на любую другую плоскость, парал­лельную плоскости хОу. При этом точка пересечения оси с плоскостью будет уже иной (обозначим О 1). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х, у, F x , F y останутся неизменными: M Oz (F)=M Olz (F xy). Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точ­ки на оси. Вместо M Oz (F) запишем M z (F). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z. Перед вычислениями силу F проецируют на пл-ть, перп оси. М z (F)=М z (F xy)=±F xy h (3.12). h- плечо. Если по часовой стрелки, то +, против –. Для вычисления мом. сил нужно: 1) выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси; 2) спроектировать на эту плоскость силу; 3) определить плечо проекции силы h. Момент силы относительно оси равен произведению модуля про­екции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком. Из (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю: 1) когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллель­ны; 2) когда плечо проекции h равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Или: мо­мент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости.

Введем понятие момента пары. Найдем, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно про­извольной точки. Пусть О - произвольная точка пространства (рис. 3.8), a F и F" - силы, составляющие пару. Тогда М о (F)=ОАxF, М о (F")= OBxF", откуда М о (F)+М о (F")=ОАxF+OBxF", но так как F"=–F, то M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–ОBхF=(ОА– OB)xF. Принимая во внимание равенство ОА–ОВ=ВА,окончательно находим: M 0 (F)+M 0 (F")=BAхF. Т.е., сумма моментов сил, составляющих пару, не зави­сит от положения точки, относительно кото­рой берутся моменты. Векторное произведение ВАxF назы­вается моментом пары. Обозначается момент пары символом М(F,F"), причем М(F,F")=BAxF=АВxF", или, М=ВАхF=АВхF". (3.13). Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если h – плечо пары, то М(F,F")=hF. Чтобы пара сил сост уравновеш сист необх: чтобы момент пары=0, либо плечо=0.

Теоремы о парах

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар . Для док–ва рассмотрим две пары (F 1 , F` 1) и (F 2 , F` 2) (рис. 3.9) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линий их действия в точки А и В соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим R=F 1 +F 2 и R"=F` 1 +F` 2 , но F" 1 =–F 1 и F` 2 =–F 2 . Следовательно, R=–R", т. е. силы R и R" образуют пару. Момент этой пары: М=М(R, R")=ВАxR=BAx(F 1 +F 2)=ВАxF 1 +ВАxF 2 . (3.14). При переносе сил, составляющих пару, вдоль линий их действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Зна­чит, ВАхF 1 =M(F 1 , F" 1)=M 1 , ВАxF 2 =M(F 2 , f` 2)=M 2 , и формула (З.14) примет вид M=M 1 +M 2 , (3.15) ч.т.д. Сделаем два замечания. 1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае. 2. После сложения может получиться, что М(R,R")=0; на основании замечания1 из этого следует, что сово­купность двух пар (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2)~0.

Теорема 2. Две пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пусть на тело в плоскости I действует пара (F 1 ,F` 1) с моментом M 1 . Покажем, что эту пару можно заменить другой парой (F 2 , F` 2), расположенной в плоскости II, если только ее момент М 2 равен М 1 . Заметим, что пло­скости I и II должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов M 1 , и М 2 следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны. Введем в рассмотрение новую пару (F 3 , F` 3) и приложим ее вместе с парой (F 2 , F` 2) к телу, расположив обе пары в плоскости II. Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару (F 3 , F` 3) с мо­ментом М 3 так, чтобы приложенная система сил (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3) была уравновешена. Положим F 3 =–F` 1 и F` 3 =–F 1 и совместим точки при­ложения этих сил с проекциями А 1 и B 1 точек А и В на плоскость II (см. рис. 3.10). В соответствии с построением будем иметь: М 3 =–M 1 или, учитывая, что М 1 =М 2 , М 2 +М 3 = 0, получим (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3)~0. Т.о., пары (F 2 , F` 2) и (F 3 , F` 3) взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нару­шает его состояния (аксиома 2), так что (F 1 , F` 1)~(F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3). (3.16). С другой стороны, силы F 1 и F 3 , а также F` 1 и F` 3 можно сло­жить по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Они равны по модулю, поэтому их рав­нодействующие R и R" должны быть приложены в точке пересече­ния диагоналей прямоугольника ABB 1 A 1 , кроме того, они равны по модулю и направлены в проти­воположные стороны. Это означает, что они составляют систему, экви­валентную нулю. Итак, (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Теперь можем записать (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим (F 1 , F` 1)~(F 2 , F` 2), ч.т.д. Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать и поворачивать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента (F 1 h 1 =F 2 h 2).

Теорема 3.Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар. Пусть пары (F 1 , F` 1) и (F 2 , F` 2) расположены в пересекающихся плоскостях I и II соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу АВ (рис. 3.11), расположенному на ли­нии пересечения плоскостей I и II. Обозначим трансформированные пары через (Q 1 , Q` 1) и (Q 2 , Q` 2). При этом должны выполняться ра­венства: M 1 =M(Q 1 , Q` 1)=M(F 1 , F` 1) и M 2 =M(Q 2 , Q` 2)=M(F 2 , F` 2). Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках А и В соот­ветственно. Тогда получим R=Q 1 +Q 2 и R"=Q` 1 +Q` 2 . Учиты­вая, что Q` 1 =–Q 1 и Q` 2 = –Q 2 , получим: R=–R". Т.о., мы доказали, что система двух пар эквивалентна одной паре (R, R"). Найдем момент М этой пары. М(R, R")=ВАxR, но R=Q 1 +Q 2 и М(R, R")=ВАх(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1 , Q` 1)+M(Q 2 , Q` 2)=M(F 1 , F" 1)+M(F 2 , F` 2), или M=M 1 +M 2 , т. е. теорема доказана.

Вывод: момент пары является свободным вектором и полностью оп­ределяет действие пары на абсолютно твердое тело. Для деформируемых тел теория пар неприменима.

Приведение системы пар к простейшему виду.Равновесие системы пар

Пусть дана система п пар (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n), как угодно расположенных в пространстве, моменты которых равны M 1 , М 2 ..., М n . Первые две пары можно заменить одной па­рой (R 1 ,R` 1) с моментом M* 2:М* 2 =M 1 +М 2 . Полученную пару (R 1 , R` 1) сложим с парой (F 3 , F` 3), тогда получим новую пару (R 2 , R` 2) с моментом М* 3: М* 3 =М* 2 +М 3 =М 1 +М 2 +М 3 . Продолжая и дальше последовательное сложение моментов пар, мы получим последнюю результирующую пару (R, R") с моментом M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k . (3.18). Cистема пар приводится к одной паре, момент которой ра­вен сумме моментов всех пар. Теперь легко решить вторую задачу статики, т. е. найти условия равновесия тела, на которое действует система пар. Для того чтобы система пар была эквивалентна нулю, т. е. приводилась к двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю. Тогда из формулы (3.18) получим следующее условие равновесия в векторном виде: М 1 + М 2 + М 3 + ... + М n =0. (3.19).

В проекциях на координатные оси уравнение (3.19) дает три скалярных уравнения. Условие равновесия (3.19) упрощается, когда все пары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и поэтому уравнение (3.19) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть это будет ось z (рис. 3.12). Тогда из уравнения (3.19) получим: М 1Z +М 2Z +...+М nZ =0. При этом ясно, что М Z =М, если вращение пары видно с по­ложительного направления оси z против хода часовой стрелки, и М Z = –М при противоположном направлении вращения. Оба эти случая представлены на рис. 3.12.

Лемма о параллельном переносе силы

Докажем лемму :Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F (рис. 4.1). Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F" и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F"=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F", F"), так как (F",F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F", F") эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M B (F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Основная теорема статики

Пусть дана произвольная система сил (F 1 , F 2 ,..., F n). Сумму этих сил F=åF k называют главным вектором системы сил. Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.

Основная теорема статики (теорема Пуансо ):Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. Пусть О - центр приведения, принимаемый за начало коорди­нат, r 1 ,r 2 , r 3 ,…, r n –соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил F 1 , F 2 , F 3 , ...,F n , составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Перенесем силы F 1 , F a , F 3 , ..., F n в точку О. Сложим эти силы как сходящиеся; получим одну силу: F о =F 1 +F 2 +…+F n =åF k , которая равна главному вектору (рис. 4.2, б). Но при последователь­ном переносе сил F 1 , F 2 ,..., F n в точку О мы получаем каждый раз соответствующую пару сил (F 1 , F” 1), (F 2 ,F” 2),...,(F n , F" n).Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О: М 1 =М(F 1 ,F” 1)=r 1 x F 1 =М о (F 1), М 2 =М(F 2 , F” 2)=r 2 x F 2 =М о (F 2), …, М п =М(F n , F" n)=r n x F n =М о (F n). На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в) М 0 =М 1 +М 2 +...+М n =М о (F 1)+М о (F 2)+…+ М о (F n)==åМ о (F k)=år k x F k . Систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой F o =åF k (4.2) и парой сил с моментом M 0 =åM 0 (F k)=år k x F k . (4.3). В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент.

Условия равновесия пространственной системы сил

Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю. Достаточность : при F o =0 система сходящихся сил, приложенных в центре при­ведения О, эквивалентна нулю, а при М о =0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквива­лентна нулю. Необходимость: Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что система сил Q и Р (рис. 4.4) должна быть эк­вивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и должно выполняться рав-во Q=–Р. Но это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т. е. если h=0. А это значит, что главный момент равен нулю (М о =0). Т.к. Q+Р=0, a Q=F o +P", то F o +P"+P=0, и, следовательно, F o = 0. Необх и дост усл равнов про­странственной сист сил им вид: F o =0, M o =0 (4.15),

или, в проекциях на координатные оси, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+М ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy (F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, М oz =åМ Оz (F k)=М Оz (F 1)+M oz (F 2)+...+М oz (F n)=0. (4.17)

Т.о. при решении задач имея 6 ур-ий можно найти 6 неизвестных. Замечание: пару сил нельзя привести к равнодействующей. Частные случаи: 1) Равновесие пространственной системы параллельных сил. Пусть ось Z параллельна линиям действ силы (рис 4.6), тогда проекции сил на x и y равны 0 (F kx =0 и F ky =0), а остаётся только F oz . А что касается моментов, то остаются только M ox и M oy , а M oz отсутствует. 2) Равновесие плоской системы сил. Остаются ур-я F ox , F oy и момент M oz (рис 4.7). 3) Равновесие плоской системы параллельных сил. (рис. 4.8). Остаются только 2 ур-я: F oy и M oz .При составлении ур-ий равновесия за центр привидения может быть выбрана любая точка.

Привидение плоской системы сил к простейшему виду

Рассмотрим систему сил (F 1, F 2 ,..., F n), расположенных в од­ной плоскости. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, приведем рассматриваемую систему сил к одной силе F 0 =åF k , (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен глав­ному моменту M 0 =åM 0 (F k), (5.2) где М о (F k)– момент силы F k относительно центра приведения О. Так как силы распол в одной пл-ти, то сила F o также лежит в этой плоскости. Момент пары М о направлен перпенди­кулярно этой плоскости, т.к. сама пара распол в пл-ти действия рассматриваемых сил. Т.о., для плоской сис­темы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1). Момент полностью характеризуется алгебраической величиной M z , равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составля­ющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение-» пары происходит, против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Пусть, например, даны две пары, (F 1 , F` 1) и (F 2 , F` 2) (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем M z (F 1 ,F` 1)=h 1 F 1 , M Z (F 2 ,F" 2)=-h 2 F 2 . Моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствую­щим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет M oz (F 1)=hF 1 , M oz (F 2)=–hF 2 (5.4). Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы ука­зать на алгебраический характер моментов. Модули момента пары и момента силы обозначаются следую­щим образом: М(F,F")=| М z (F,F`)|, М о (F)=|М Оz (F)|. Получим, M oz =åM oz (F z). Для аналитического определения главного вектора применяются формулы: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx , F oy =åF ky =F 1y ,+F 2y +…+F ny , F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5.8); cos(x, F o)=F ox /F o , cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9). А главный момент равен М Оz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) где x k , y k – координаты точки приложения силы F k .

Докажем, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Пусть Fo≠0, МОz ≠0 (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с мо­ментом MOz. Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил F1 и F`1, равных по модулю главному вектору Fo, т. е. F1=F`1 =Fo. При этом одну из сил (F`1), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы Fo (рис. 5.4, б). Тогда система сил Fo и F`1 эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следо­вательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F1 приложенной к точке 01; эта сила и является равнодействующей. Равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е. F1=R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведе­ния О до линии действия равнодействующей можно найти из условия |MOz|=hF1 =hFo, т.е. h=|MOz|/Fo. Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F1, F`1) совпадал с главным моментом MOz (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встре­титься следующие случаи: (1) Fo≠0, MOz≠0.В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.(2) Fo≠0, МОz=0. В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодей­ствующей), проходящей через данный центр приведения. (3) Fo=0, MOz≠0. При этом система сил эквивалентна одной паре сил. (4) Fo=0, МОz=0. В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Теорема Вариньона

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O 1 . Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). С другой стороны, имеем M O1Z =M Olz (R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M Oz =0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R 1 приложена в какой-либо точке О 1 с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F o и главный момент М Оя при центре приведения в начале координат. Так как R 1 =F o , то составляющие равнодей­ствующей по осям х и у равны R lx =F Ox =F Ox i и R ly =F Oy =F oy j. Согласно теореме Вариньона мо­мент равнодействующей относительно на­чала координат равен главному моменту при центре приведения в начале коорди­нат, т. е. М оz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox . (5.14). Величины M Oz , F Ox и F oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и у в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты ли­нии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F ox ≠0 его можно переписать в виде y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Условия равновесия плоской системы сил

Необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил эти условия получают вид F o =åF k =0, М Оz =åМ oz (F k)=0, (5.15), где О– произвольная точка в плоскости действия сил. Получим: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, М Оz =åM Oz (F k)=M oz (F 1)+M oz (F 2)+…+M oz (F n)=0, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю. Второй формой уравнения равновесия является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой ; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), где A, В и С– указанные точки. Необходимость выполнения этих равенств вытекает из условий (5.15). Докажем их достаточность. Предположим, что все равенства (5.17) выполняются. Равенство нулю главного момента при центре приведения в точке А возможно, либо если система приводится к равнодействую­щей (R≠0) и линия ее действия проходит через точку А, либо R=0; аналогично равенство нулю главного момента относительно точек В и С означает, что либо R≠0 и равнодействующая проходит через обе точки, либо R=0. Но равнодействующая не может про­ходить через все эти три точки А, В и С (по условию они не лежат на одной прямой). Следовательно, равенства (5.17) возможны лишь при R=0, т. е. система сил находится в равновесии. Заметим, что если точки А, В и С лежат на одной прямой, то выполнение условий (5.17) не будет достаточным условием равнове­сия, - в этом случае система может быть приведена к равнодейст­вующей, линия действия которой проходит через эти точки.

Третья форма уравнений равновесия плоской системы сил

Третьей формой уравнений равновесия плоской системы сил являет­ся равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил системы относительно двух любых точек и равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил системы на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки; åМ Аz (F k)=0, åМ Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (ось х не перпендикулярна отрезку А В).Необходимость выполнения этих равенств для равновесия сил вытекает непосредственно из условий (5.15). Убедимся в том, что выполнения этих условий достаточно для равновесий сил. Из первых двух равенств, как и в предыдущем случае, выте­кает, что если система сил имеет равнодействующую, то ее линия дей­ствия проходит через точки А и В (рис. 5.7). Тогда проекция рав­нодействующей на ось х, не перпендикулярную отрезку АВ, ока­жется отличной от нуля. Но эта возможность исключается третьим уравнением (5.18) так как R x =åF hx). Следовательно, равнодействующая должна равняться нулю и система находится в равнове­сии. Если ось х будет перпендикулярна отрезку АВ, то уравнения (5.18) не будут достаточными условиями равновесия, так как в этом случае система может иметь равнодействующую, линия действия которой проходит через точки А и В. Т.о., система уравнений равновесия может содер­жать одно уравнение моментов и два уравнения проекций, либо два уравнения моментов и одно уравнение проекций, либо три уравнения моментов. Пусть линии действия всех сил параллельны оси у (рис. 4.8). Тогда уравнения равновесия для рассматриваемой системы парал­лельных сил будут åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5.19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) причем точки А и B не должны лежать на прямой, параллельной оси у. Система сил, действующих на твердое тело, может состоять как из сосредоточенных (изолированных) сил, так и распределенных сил. Различают силы, распределенные по линии, по поверхности и по объему тела.

Равновесие тела при наличии трения скольжения

Если два тела I и II (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R A , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно раз­ложить на две составляющие: N A , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А, и Т А, лежащую в касательной плоскости. Составляющая N A называется нормальной реакцией, сила Т А называется силой трения скольжения - она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксио­мой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I дей­ствует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной пло­скости, называется силой нормального давления. Сила трения Т А = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя. Максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. T max =fN. (6.3)– закон Амонтона-Кулона. Коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Его значение не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверх­ностей. Силу трения можно вычислить по ф-ле T=fN только если имеет место критический случай. В других случаях силу трения следует определять из ур-ий равнов. На рисунке показана реакция R (здесь активные силы стремятся сдвинуть тело вправо). Угол j между предельной реакцией R и нормалью к поверхности называется углом трения. tgj=T max /N=f.

Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции R образует коническую поверхность - конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент тре­ния f во всех направлениях одинаков, то конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения f зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым. Если равнодействующая активных сил. нахо­дится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела; для того чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил F находилась вне конуса трения. Рассмотрим трение гибких тел (рис.6.8). Формула Эйлера помогает найти наименьшую силу P, способную уравновесить силу Q. P=Qe -fj* . Можно так же найти такую силу P, способную преодолеть сопротивление трения вместе с силой Q. В этом случае в формуле Эйлера поменяется только знак f: P=Qe fj* .

Равновесие тела при наличии трения качения

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила S; кроме нее, действуют сила тяжести Р, а также нормальная реакция N и сила трения Т (рис. 6.10, а). При достаточно малом модуле силы S цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр М Сz = –Sr, отличен от нуля, и одно из условий равновесия не выпол­няется. Причина этого несоответствия состоит в том, что мы представляем это тело абсолютно твердым и предполагаем касание цилиндра с по­верхностью происходящим по образующей. Для устранения отмечен­ного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки С деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция R приложена правее точки С (см. точку С 1 на рис. 6.10, б). Полученная схема действующих сил статически удовле­творительна, так как момент пары (S,Т) может уравновеситься мо­ментом пары (N,Р). В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом М T =Nh.(6.11). Этот момент называется моментом трения качения. h=Sr/, где h-расстояние от C до C 1 . (6.13). С увеличением модуля активной силы S растет расстоя­ние h. Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это зна­чит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы S при­ведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину h буквой d. Величина d пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов. Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Центр параллельных сил

Условия приведения системы параллельных сил к рав­нодействующей сводятся к одному неравенству F≠0. Что же происходит с равнодействующей R при одновременном повороте линий действия данных параллельных сил на один и тот же угол, если точки прило­жения этих сил сохраняются неиз­менными и повороты линий действия сил происходят вокруг параллельных осей. При этих условиях равнодейст­вующая заданной системы сил также одновременно поворачивается на тот же угол, причем поворот происходит вокруг некоторой фиксированной точ­ки, которая называется центром па­раллельных сил. Перейдем к дока­зательству этого утверждения. Предположим, что для рассматриваемой системы параллельных сил F 1 , F 2 ,...,F n главный вектор не равен нулю, следовательно, данная система сил приводится к равнодействующей. Пусть точка О 1 есть какая-либо точка линии действия этой равнодействующей. Пусть теперь r– радиус-вектор точки 0 1 относительно выбранного полюса O, a r k - радиус-вектор точки приложения силы F k (рис. 8.1). Согласно теореме Вариньона сумма моментов всех сил системы относительно точки 0 1 равна нулю: å(r k –r)xF k =0, т.е. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. Введём единичный вектор e, тогда любая сила F k может быть представлена в виде F k =F * k e (где F * k =F h , если направление силы F h и вектора е совпадают, и F * k =–F h , если F k и е направлены противоположно друг другу); åF k =eåF * k . Получим: år k xF * k e–rxeåF * k =0, откуда [år k F * k –råF * k ]xe=0. Последнее равенство удовлетворяется при любом направлении сил (т. е. направлении единичного вектора е) только при условии, что первый множитель равен нулю: år k F * k –råF * k =0. Это рав-во имеет единственное решение относи­тельно радиуса-вектора r, определяющего такую точку приложения равнодействующей, которая не меняет своего положения при повороте линий действия сил. Такой точкой и является центр параллельных сил. Обозначив радиус-век­тор центра параллельных сил через г с: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n). Пусть х с, у с, z с – координаты центра параллельных сил, a x k , y k , z k – координаты точки приложения произвольной силы F k ; тогда координаты центра параллельных сил найдутся из формул:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

Выражения x k F * k , y k F * k , z k F * k называются статическими моментами заданной системы сил со­ответственно относительно координатных плоскостей yOz, xOz, xOy. Если начало координат выбрано в центре параллель­ных сил, то х с =у с =z с =0, и статические моменты заданной системы сил равны нулю.

Центр тяжести

Тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести, можно разбить сечениями, параллельными координатным плоско­стям, на элементарные объемы (рис. 8.2). Если пренебречь размерами тела по сравнению с радиусом Земли, то силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем, можно считать параллельными друг другу. Обозначим через DV k объем элементарного параллелепипеда с центром в точке M k (см. рис. 8.2), а силу тяжести, действующую на этот элемент, – через DP k . Тогда средним удельным весом элемента объема называется отношение DP k /DV k . Стягивая параллелепипед в точку М k , по­лучим удельный вес в данной точке тела, как предел среднего удельного веса g(x k , y k , z k)=lim DVk®0 (8.10). Таким образом, удельный вес является функцией координат, т.е. g=g(x, y, z). Будем считать, что вместе с геометриче­скими характеристиками тела задан также и удельный вес в каждой точке тела. Вернемся к разбиению тела на элементарные объемы. Если ис­ключить объемы тех элементов, которые граничат с поверхностью тела, то можно получить ступенчатое тело, состоящее из совокуп­ности параллелепипедов. Приложим к центру каждого параллеле­пипеда силу тяжести DP k =g k DV k , где g h - удельный вес в точке тела, совпадающей с центром параллелепипеда. Для системы п параллельных сил тяжести, образованной таким образом, можно найти центр параллельных сил r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 +…+r n DP n)/ (DP 1 +DP 2 +…+DP n). Эта формула определяет положение некоторой точки С n . Центром тяжести называется точка, являющаяся предельной для точек С n при п®µ.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся (относительно неподвижной системы координат). Хотя методы статики применимы и к движущимся телам, и с их помощью можно изучать задачи динамики, но базовыми объектами изучения статики являются неподвижные механические тела и системы.

Сила - это мера воздействия одного тела на другое. Сила - это вектор, имеющий точку приложения на поверхности тела. Под действием силы, свободное тело получает ускорение, пропорциональное вектору силы и обратно пропорциональное массе тела.

Закон равенства действия и противодействия

Сила, с которой первое тело действует на второе, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

Принцип отвердевания

Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Статика материальной точки

Рассмотрим материальную точку, которая находится в равновесии. И пусть на нее действуют n сил , k = 1, 2, ..., n .

Если материальная точка находится в равновесии, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:
(1) .

В равновесии геометрическая сумма сил, действующих на точку, равна нулю.

Геометрическая интерпретация . Если в конец первого вектора поместить начало второго вектора , а в конец второго вектора поместить начало третьего , и далее продолжать этот процесс, то конец последнего, n -го вектора окажется совмещенным с началом первого вектора. То есть мы получим замкнутую геометрическую фигуру, длины сторон которой равны модулям векторов . Если все векторы лежат в одной плоскости, то мы получим замкнутый многоугольник.

Часто бывает удобным выбрать прямоугольную систему координат Oxyz . Тогда суммы проекций всех векторов сил на оси координат равны нулю:

Если выбрать любое направление, задаваемое некоторым вектором , то сумма проекций векторов сил на это направление равна нулю:
.
Умножим уравнение (1) скалярно на вектор :
.
Здесь - скалярное произведение векторов и .
Заметим, что проекция вектора на направление вектора определяется по формуле:
.

Статика твердого тела

Момент силы относительно точки

Определение момента силы

Моментом силы , приложенной к телу в точке A , относительно неподвижного центра O , называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2) .

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы и расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Абсолютное значение момента:
.
Поскольку , то
(3) .

Используя геометрию, можно дать другую интерпретацию момента силы. Для этого проведем прямую AH через вектор силы . Из цента O опустим перпендикуляр OH на эту прямую. Длину этого перпендикуляра называют плечом силы . Тогда
(4) .
Поскольку , то формулы (3) и (4) эквивалентны.

Таким образом, абсолютное значение момента силы относительно центра O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранного центра O .

При вычислении момента часто бывает удобным разложить силу на две составляющие:
,
где . Сила проходит через точку O . Поэтому ее момент равен нулю. Тогда
.
Абсолютное значение момента:
.

Компоненты момента в прямоугольной системе координат

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O , то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Здесь - координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O , от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.

Пара сил

Пара сил - это две силы, равные по абсолютной величине и имеющие противоположные направления, приложенные к разным точкам тела.

Пара сил характеризуется моментом , который они создают. Поскольку векторная сумма сил, входящих в пару равна нулю, то создаваемый парой момент не зависит от точки, относительно которой вычисляется момент. С точки зрения статического равновесия, природа сил, входящих в пару, не имеет значения. Пару сил используют для того, чтобы указать, что на тело действует момент сил, имеющий определенное значение .

Момент силы относительно заданной оси

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Моментом силы относительно оси, проходящей через точку O - это проекция вектора момента силы, относительно точки O , на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось равен нулю.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Вычисление момента силы относительно оси

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′ .

Построим прямоугольную систему координат. Пусть ось Oz совпадает с O′O′′ . Из точки A опустим перпендикуляр OH на O′O′′ . Через точки O и A проводим ось Ox . Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy . Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′ . Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′ . Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (5.3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O . Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия твердого тела

В равновесии векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно произвольного неподвижного центра равна нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Подчеркнем, что центр O , относительно которого вычисляются моменты сил можно выбирать произвольным образом. Точка O может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр O выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми.

Условия равновесия можно сформулировать и другим способом.

В равновесии сумма проекций сил на любое направление, задаваемое произвольным вектором , равна нулю:
.
Также равна нулю сумма моментов сил относительно произвольной оси O′O′′ :
.

Иногда такие условия оказываются более удобными. Бывают случаи, когда за счет выбора осей, можно сделать вычисления более простыми.

Центр тяжести тела

Рассмотрим одну из важнейших сил - силу тяжести. Здесь силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его объему. На каждый участок тела с бесконечно малым объемом Δ V , действует сила тяготения . Здесь ρ - плотность вещества тела, - ускорение свободного падения.

Пусть - масса бесконечно малого участка тела. И пусть точка A k определяет положение этого участка. Найдем величины, относящиеся к силе тяжести, которые входят в уравнения равновесия (6).

Найдем сумму сил тяжести, образованную всеми участками тела:
,
где - масса тела. Таким образом, сумму сил тяжести отдельных бесконечно малых участков тела можно заменить одним вектором силы тяжести всего тела:
.

Найдем сумму моментов сил тяжести, относительно произвольным способом выбранного центра O :

.
Здесь мы ввели точку C , которая называется центром тяжести тела. Положение центра тяжести, в системе координат с центром в точке O , определяется по формуле:
(7) .

Итак, при определении статического равновесия, сумму сил тяжести отдельных участков тела можно заменить равнодействующей
,
приложенной к центру масс тела C , положение которого определяется формулой (7).

Положение центра тяжести для различных геометрических фигур можно найти в соответствующих справочниках. Если тело имеет ось или плоскость симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или плоскости. Так, центры тяжести сферы, окружности или круга находятся в центрах окружностей этих фигур. Центры тяжести прямоугольного параллелепипеда, прямоугольника или квадрата также расположены в их центрах - в точках пересечения диагоналей.

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Также встречаются подобные силе тяжести случаи, когда силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или .

(рисунок А). Также, как и в случае с силой тяжести, ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку на рисунке А эпюра представляет собой прямоугольник, то центр тяжести эпюры находится в ее центре - точке C : | AC| = | CB| .

(рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h , находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Силы трения

Трение скольжения . Пусть тело находится на плоской поверхности. И пусть - сила, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело (сила давления). Тогда сила трения скольжения параллельна поверхности и направлена в сторону, препятствуя движению тела. Ее наибольшая величина равна:
,
где f - коэффициент трения. Коэффициент трения является безразмерной величиной.

Трение качения . Пусть тело округлой формы катится или может катиться по поверхности. И пусть - сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело. Тогда на тело, в точке соприкосновения с поверхностью, действует момент сил трения, препятствующий движению тела. Наибольшая величина момента трения равна:
,
где δ - коэффициент трения качения. Он имеет размерность длины.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики
• Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
• Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
• Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
• Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
• Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
• Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
• Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
• Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
• Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
  Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
• Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
• Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
• Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
  Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
  Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
• Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
• Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
• Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
• Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
• Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
• Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
• Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
• Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
  Принятое обозначение: .
• Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
• Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
  .
• Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
  .
• Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
• Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
  Принятое обозначение: .
  Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
• Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
  Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
• Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
• Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
  Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
• Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
  Эти две силы называются уравновешивающимися.
  Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
• Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
  Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
  Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
• Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
  диагонали.
  По модулю равнодействующая равна:
  
• Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
  Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
• Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
  Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
• Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики
• Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
• Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
• Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
• Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
  Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики
• Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
• Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
• Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
• Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
  
  где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
  В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
• Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
  Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
  .
  Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  
• Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
• Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
  где — ускорение центра масс тела.
• Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
  .
  Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
  .
• Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои