Paraleloqram qaydasından istifadə edərək vektor əlavə edin. Paraleloqramın bucaqlarının və sahəsinin cəmini hesablayırıq: xassələri və xüsusiyyətləri. İki vektor əlavə etmək üçün paraleloqram qaydası

Vektor- istiqamətlənmiş xətt seqmenti, yəni onun sərhəd nöqtələrindən hansının başlanğıc və hansının sonu olduğu göstərildiyi seqment.

Bir nöqtədən başlayan vektor A (\displaystyle A) və bir nöqtədə bitir B (\displaystyle B) adətən kimi işarələnir. Vektorlar həmçinin kiçik latın hərfləri ilə, məsələn, üstündə ox (bəzən tire) ilə işarələnə bilər. Başqa bir ümumi yazı üsulu vektor simvolunu qalın hərflərlə vurğulamaqdır: a (\displaystyle \mathbf (a)).

Həndəsə vektoru təbii olaraq tərcümə ilə (paralel tərcümə) müqayisə edilir ki, bu da onun adının mənşəyini aydınlaşdırır (lat. vektor, daşıyıcı). Beləliklə, hər bir istiqamətlənmiş seqment müstəvi və ya fəzanın bəzi paralel ötürülməsini unikal şəkildə müəyyənləşdirir: məsələn, bir vektor A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) təbii olaraq hansı nöqtədə tərcüməni təyin edir A (\displaystyle A) nöqtəsinə gedəcək B (\displaystyle B), həmçinin əksinə, paralel köçürmə, hansı A (\displaystyle A) daxil olur B (\displaystyle B), tək istiqamətlənmiş seqmenti müəyyən edir A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(yeganə odur ki, əgər biz eyni istiqamətin bütün istiqamətlənmiş seqmentlərini bərabər hesab etsək və - yəni onları belə hesab etsək; həqiqətən, paralel tərcümə ilə bütün nöqtələr eyni istiqamətə eyni məsafəyə sürüşür, buna görə də bu anlayışda A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2))) )=(\üst sağarrow (A_(3)B_(3)))=\nöqtələr )).

Bir vektorun köçürmə kimi təfsiri bizə təbii və intuitiv olaraq aşkar şəkildə əməliyyat təqdim etməyə imkan verir - iki (və ya bir neçə) köçürmənin tərkibi (ardıcıl tətbiqi) kimi; eyni vektorun ədədə vurulması əməliyyatına da aiddir.

Əsas anlayışlar[ | ]

Bir vektor biri başlanğıc, digəri isə son hesab edilən iki nöqtədən qurulmuş istiqamətlənmiş seqmentdir.

Vektorun koordinatları onun başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatları arasındakı fərq kimi müəyyən edilir. Məsələn, koordinat müstəvisində, başlanğıc və son koordinatları verilirsə: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1))) Və T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), onda vektor koordinatları olacaq: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Vektor uzunluğu V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) iki nöqtə arasındakı məsafədir T 1 (\displaystyle T_(1)) Və T 2 (\displaystyle T_(2)), adətən işarə olunur | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overrightarrow (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)-) x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Vektorlar arasında sıfırın rolunu başlanğıcı və sonu üst-üstə düşən sıfır vektor oynayır T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1)=T_(2)); ona digər vektorlardan fərqli olaraq heç bir istiqamət təyin edilmir.

Vektorların koordinat təsviri üçün konsepsiya böyük əhəmiyyət kəsb edir vektorun oxa proyeksiyası(istiqamətli düz xətt, şəklə bax). Proyeksiya, vektorun başlanğıc və son nöqtələrinin müəyyən bir xəttə proyeksiyalarından əmələ gələn seqmentin uzunluğudur və proyeksiyanın istiqaməti oxun istiqamətinə uyğundursa, proyeksiyaya artı işarəsi verilir, əks halda - mənfi işarəsi. Proyeksiya orijinal vektorun uzunluğunun orijinal vektor ilə ox arasındakı bucağın kosinusuna vurulmasına bərabərdir; vektorun ona perpendikulyar olan oxa proyeksiyası sıfırdır.

Tətbiqlər [ | ]

Vektorlardan həndəsə və tətbiqi elmlərdə geniş istifadə olunur, burada istiqaməti (qüvvələr, sürətlər və s.) olan kəmiyyətləri təmsil etmək üçün istifadə olunur. Vektorların istifadəsi bir sıra əməliyyatları asanlaşdırır - məsələn, düz xətlər və ya seqmentlər arasında bucaqların müəyyən edilməsi, fiqurların sahələrinin hesablanması. Kompüter qrafikasında bədən üçün düzgün işıqlandırma yaratmaq üçün normal vektorlardan istifadə olunur. Vektorların istifadəsi koordinat metodu üçün əsas kimi istifadə edilə bilər.

Vektorların növləri [ | ]

Bəzən vektorlar toplusunu nəzərə almaq əvəzinə hər kəs yönəldilmiş seqmentlər (başlanğıcları və sonları üst-üstə düşməyən bütün istiqamətlənmiş seqmentlər kimi nəzərə alınmaqla), onlar bu çoxluğun (amil dəstinin) yalnız bəzi modifikasiyasını götürürlər, yəni bəzi istiqamətlənmiş seqmentlər eyni istiqamətə və uzunluğa malik olsalar da bərabər hesab olunurlar. onların müxtəlif başlanğıcı (və sonu) ola bilər, yəni eyni uzunluqda və istiqamətdə yönəldilmiş seqmentlər eyni vektoru təmsil edir; Beləliklə, hər bir vektor, uzunluğu və istiqaməti ilə eyni olan, lakin başlanğıcı (və sonu) ilə fərqlənən, müvafiq bütün istiqamətlənmiş seqmentlər sinfinə sahib olur.

Bəli, danışırlar "pulsuz", "sürüşmə" Və "sabit" vektorlar. Bu tiplər iki vektorun bərabərliyi anlayışı ilə fərqlənir.

• Sərbəst vektorlar haqqında danışarkən, eyni istiqamətə və uzunluğa malik olan istənilən vektorları müəyyənləşdirirlər;
• sürüşmə vektorları haqqında danışarkən əlavə edirlər ki, bərabər sürüşən vektorların mənşəyi üst-üstə düşməli və ya bu vektorları təmsil edən istiqamətlənmiş seqmentlərin yerləşdiyi eyni düz xətt üzərində yatmalıdır (belə ki, biri onun göstərdiyi istiqamətdə başqa bir hərəkətlə birləşdirilə bilər);
• sabit vektorlar haqqında danışarkən deyirlər ki, yalnız istiqamətləri və mənşəyi üst-üstə düşən vektorlar bərabər hesab olunur (yəni bu halda faktorizasiya yoxdur: bərabər sayılacaq fərqli mənşəli iki sabit vektor yoxdur).

Formal olaraq:

Bunu deyirlər Pulsuz vektorlar A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) və xal varsa bərabərdirlər E (\displaystyle E) Və F (\displaystyle F) belə ki, dördbucaqlılar A B F E (\displaystyle ABFE) Və C D F E (\displaystyle CDFE)- paraleloqramlar.

Bunu deyirlər sürüşən vektorlar A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Və C D → (\displaystyle \ (\ yuxarı sağarrow (CD))) bərabərdirsə

Sürüşən vektorlardan mexanikada xüsusilə istifadə olunur. Mexanikada sürüşmə vektorunun ən sadə nümunəsi sərt cismə təsir edən qüvvədir. Qüvvə vektorunun başlanğıcını onun yerləşdiyi düz xətt boyunca yerdəyişməsi heç bir nöqtəyə nisbətən qüvvənin momentini dəyişmir; vektorun böyüklüyünü və istiqamətini dəyişdirməsəniz belə, onu başqa bir düz xəttə köçürmək onun anının dəyişməsinə səbəb ola bilər (hətta demək olar ki, həmişə olacaq): buna görə də anı hesablayarkən qüvvə sərbəst hesab edilə bilməz. vektor, yəni sərt cisimlərin ixtiyari nöqtəsinə tətbiq edilmiş hesab edilə bilməz.

Bunu deyirlər sabit vektorlar A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Və C D → (\displaystyle \ (\ yuxarı sağarrow (CD))) xallar cüt-cüt üst-üstə düşərsə bərabərdir A (\displaystyle A) Və C (\displaystyle C), B (\displaystyle B) Və D (\displaystyle D).

Bir halda vektor yönəldilmiş seqmentdir, digər hallarda isə müxtəlif vektorlar hansısa xüsusi ekvivalentlik əlaqəsi ilə təyin olunan istiqamətlənmiş seqmentlərin müxtəlif ekvivalentlik sinifləridir. Üstəlik, ekvivalentlik əlaqəsi vektorun növünü təyin edərək fərqli ola bilər ("sərbəst", "sabit" və s.). Sadə dillə desək, ekvivalentlik sinfi daxilində ona daxil olan bütün istiqamətlənmiş seqmentlər tamamilə bərabər hesab olunur və hər biri bütün sinfi bərabər şəkildə təmsil edə bilər.

Vektorlar üzrə bütün əməliyyatlar (toplama, ədədə vurma, skalyar və vektor hasilləri, modulun və ya uzunluğun hesablanması, vektorlar arasındakı bucaq və s.) prinsipcə, bütün növ vektorlar üçün eyni şəkildə müəyyən edilir bununla əlaqədar yalnız hərəkət edən və sabit olanlar üçün fərqli başlanğıcları olan iki vektor arasında əməliyyatların yerinə yetirilməsi imkanlarına məhdudiyyət qoyulur (məsələn, iki sabit vektor üçün əlavə qadağandır - və ya mənası yoxdur - əgər başlanğıcları fərqlidir, lakin bu əməliyyata icazə verilən və ya mənası olan bütün hallarda bu, sərbəst vektorlarla eynidir). Buna görə də, çox vaxt vektor tipi heç də açıq şəkildə ifadə edilmir, onun kontekstdən aydın olduğu güman edilir; Üstəlik, məsələnin kontekstindən asılı olaraq, eyni vektor sabit, sürüşən və ya sərbəst hesab edilə bilər, məsələn, mexanikada nəticəni taparkən tətbiq nöqtəsindən asılı olmayaraq, cismə tətbiq olunan qüvvələrin vektorları ümumiləşdirilə bilər; (kütlə mərkəzinin hərəkəti, impulsun dəyişməsi və s. öyrənilərkən həm statik, həm də dinamikada), lakin fırlanma momenti hesablanarkən tətbiq nöqtələri nəzərə alınmadan bir-birinə əlavə edilə bilməz (həmçinin statik və dinamikada) .

Vektorlar arasında əlaqələr[ | ]

Koordinasiya təmsili[ | ]

Vektorlarla işləyərkən tez-tez müəyyən bir Kartezian koordinat sistemi tətbiq edilir və vektorun koordinatları onu əsas vektorlara parçalayaraq müəyyən edilir. Əsas genişlənmə koordinat oxlarına vektor proyeksiyalarından istifadə etməklə həndəsi şəkildə təmsil oluna bilər. Vektorun başlanğıcının və sonunun koordinatları məlumdursa, vektorun son koordinatlarından onun başlanğıcının koordinatlarını çıxmaqla vektorun özünün koordinatları alınır.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x),) AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Koordinat vahidi vektorları, ilə işarələnir i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), oxlara uyğundur x , y , z (\displaystyle x,y,z). Sonra vektor a → (\displaystyle (\vec (a))) kimi yazmaq olar

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

İstənilən həndəsi xassə koordinatlarda yazıla bilər, bundan sonra həndəsidən öyrənmə cəbri olur və çox vaxt sadələşdirilir. Əksi, ümumiyyətlə desək, tamamilə doğru deyil: adətən demək olar ki, yalnız hər hansı bir Kartezyen koordinat sistemində mövcud olan münasibətlərin "həndəsi şərhi" var. invariant).

Vektorlar üzərində əməliyyatlar[ | ]

Vektor modulu [ | ]

Vektor modulu A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) seqmentin uzunluğuna bərabər ədəddir A B (\displaystyle AB). kimi qeyd olunur | A B → | (\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|). Koordinatlar vasitəsilə aşağıdakı kimi hesablanır:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Vektor əlavəsi[ | ]

Koordinat təsvirində cəmi vektor terminlərin müvafiq koordinatlarını toplamaq yolu ilə əldə edilir:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_) (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Cəm vektorunu həndəsi şəkildə qurmaq c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) müxtəlif qaydalardan (metodlardan) istifadə edir, lakin onların hamısı eyni nəticə verir. Bu və ya digər qaydadan istifadə həll olunan problemlə əsaslandırılır.

Üçbucaq qaydası[ | ]

Üçbucaq qaydası ən təbii olaraq vektorun köçürmə kimi başa düşülməsindən irəli gəlir. İki transferin ardıcıl tətbiqinin nəticəsi olduğu aydındır a → (\displaystyle (\vec (a))) və bəzi məqamlar bu qaydaya uyğun bir anda bir köçürmə tətbiq etməklə eyni olacaq. İki vektor əlavə etmək üçün a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → (\displaystyle (\vec (b)))üçbucaq qaydasına görə bu vektorların hər ikisi özlərinə paralel köçürülür ki, onlardan birinin başlanğıcı digərinin sonu ilə üst-üstə düşsün. Sonra cəm vektoru yaranan üçbucağın üçüncü tərəfi ilə verilir və onun başlanğıcı birinci vektorun başlanğıcı ilə, sonu isə ikinci vektorun sonu ilə üst-üstə düşür.

Bu qayda birbaşa və təbii olaraq istənilən sayda vektora çevrilərək ümumiləşdirilə bilər qırıq xətt qaydası:

Üç nöqtə qaydası[ | ]

Əgər seqment A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) vektoru təsvir edir a → (\displaystyle (\vec (a))), və seqment B C → (\displaystyle (\overrightarrow (BC))) vektoru təsvir edir b → (\displaystyle (\vec (b))), sonra seqment A C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))) vektoru təsvir edir a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Çoxbucaqlı qaydası[ | ]

İkinci vektorun başlanğıcı birincinin sonu, üçüncünün başlanğıcı ikincinin sonu ilə üst-üstə düşür və s. n (\displaystyle n) vektorlar vektordur, başlanğıcı birincinin başlanğıcı ilə, sonu isə sonu ilə üst-üstə düşür n (\displaystyle n)-th (yəni, polixətti bağlayan yönəldilmiş seqment ilə təsvir edilmişdir). Qırılmış xətt qaydası da adlanır.

Paraleloqram qaydası[ | ]

İki vektor əlavə etmək üçün a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → (\displaystyle (\vec (b))) Paraleloqram qaydasına görə, bu vektorların hər ikisi mənşəyi üst-üstə düşməsi üçün özlərinə paralel köçürülür. Sonra cəmi vektor ümumi mənşəyindən başlayaraq onların üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalı ilə verilir. (Üçbucaq qaydasından istifadə edərkən bu diaqonalın üçbucağın üçüncü tərəfi ilə üst-üstə düşdüyünü görmək asandır).

Paraleloqram qaydası, hər iki terminin tətbiq olunduğu eyni nöqtəyə dərhal tətbiq edilən cəmi vektorunu təsvir etmək ehtiyacı olduqda xüsusilə əlverişlidir - yəni hər üç vektoru ümumi mənşəli kimi təsvir etmək.

Vektor cəmi modulu[ | ]

İki vektorun cəminin modulu kosinus teoremi ilə hesablana bilər:

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), Harada a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → (\displaystyle (\vec (b))).

Vektorlar üçbucaq qaydasına uyğun olaraq təsvir edilirsə və bucaq rəsmə uyğun olaraq götürülürsə - üçbucağın tərəfləri arasında - bu vektorlar arasındakı bucağın adi tərifi ilə üst-üstə düşmür və buna görə də yuxarıda göstərilən bucaq düsturla, onda sonuncu müddətli mənfi işarə əldə edir ki, bu da birbaşa ifadəsində kosinus teoreminə uyğun gəlir.

İxtiyari sayda vektorların cəmi üçün oxşar düstur tətbiq olunur, burada kosinus ilə daha çox termin var: cəmlənmiş çoxluqdan hər bir vektor cütü üçün belə bir termin mövcuddur. Məsələn, üç vektor üçün düstur belə görünür:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec) (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c)))).)

Vektor çıxması[ | ]

İki vektor a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b))) və onların fərqinin vektoru

Koordinat şəklində fərqi əldə etmək üçün vektorların müvafiq koordinatlarını çıxarmaq lazımdır:

a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_) (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Fərq vektorunu əldə etmək üçün c → = a → − b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) vektorların başlanğıcları vektorun başlanğıcı ilə əlaqələndirilir c → (\displaystyle (\vec (c))) bir sonu olacaq b → (\displaystyle (\vec (b))) və son sondur a → (\displaystyle (\vec (a))). Vektor nöqtələrindən istifadə edərək yazsaq, onda A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Vektor fərq modulu[ | ]

Üç vektor a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), əlavə ilə olduğu kimi, üçbucaq yaradır və fərq modulu üçün ifadə oxşardır:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ))

Harada cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- vektorlar arasındakı bucağın kosinusu a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

Cəmin modulu üçün düsturdan fərq kosinusun qarşısındakı işarədədir, bu halda hansı bucağın götürüldüyünü diqqətlə izləmək lazımdır (cəm modulu üçün düsturun arasındakı bucaq ilə); üçbucaq qaydasına uyğun cəmlənərkən üçbucağın tərəfləri fərqin modulu üçün bu düsturdan formaca fərqlənmir, lakin sizdə olmalıdır Qeyd edək ki, burada müxtəlif bucaqlar götürülür: cəmi halda bucaq vektor alındıqda b → (\displaystyle (\vec (b))) vektorun sonuna qədər aparılır a → (\displaystyle (\vec (a))), fərqin modulu axtarıldıqda bir nöqtəyə tətbiq olunan vektorlar arasındakı bucaq alınır; fərqin modulu üçün bu ifadədə olduğu kimi eyni bucaqdan istifadə edərək cəminin modulu üçün ifadə, kosinusun qarşısındakı işarə ilə fərqlənir).

Bir vektorun ədədə vurulması[ | ]

Vektor vurma a → (\displaystyle (\vec (a))) nömrə başına α > 0 (\displaystyle \alpha >0), uzunluğu olan koistiqamətli vektor verir α (\displaystyle \alpha) dəfə çox.
Vektor vurma a → (\displaystyle (\vec (a))) nömrə başına α < 0 {\displaystyle \alpha <0} , uzunluğu olan əks istiqamətli vektor verir | α | (\displaystyle |\alfa |) dəfə çox. Bir vektoru koordinat şəklində ədədə vurmaq bütün koordinatları bu ədədə vurmaqla həyata keçirilir.

Vektorların əlavə edilməsi əməliyyatını yerinə yetirmək üçün vəziyyətdən və sözügedən vektorların növündən asılı olaraq istifadə etmək daha rahat ola biləcək bir neçə üsul var. Vektorların əlavə edilməsi qaydalarına baxaq:

Üçbucaq qaydası

Üçbucaq qaydası belədir: iki vektor x, y əlavə etmək üçün x vektorunu elə qurmaq lazımdır ki, onun başlanğıcı y vektorunun sonu ilə üst-üstə düşsün. Onda onların cəmi z vektorunun qiyməti olacaq və z vektorunun başlanğıcı x vektorunun əvvəli, sonu isə y vektorunun sonu ilə üst-üstə düşəcək.

Üçbucaq qaydası cəmlənməli olan vektorların sayı ikidən çox olmadıqda kömək edir.

Çoxbucaqlı qaydası

Poliqon qaydası müstəvidə və ya kosmosda istənilən sayda vektor əlavə etmək üçün ən sadə və əlverişlidir. Qaydanın mahiyyəti belədir: vektorları əlavə edərkən, onları ardıcıl olaraq bir-birinin ardınca əlavə etmək lazımdır ki, növbəti vektorun başlanğıcı əvvəlkinin sonu ilə üst-üstə düşsün, nəticədə əyrini bağlayan vektor isə əlavə vektorların cəmi. Bu, w= x + y + z bərabərliyi ilə aydın şəkildə göstərilir, burada w vektoru bu vektorların cəmidir. Əlavə olaraq qeyd etmək lazımdır ki, vektorların hədlərinin yerlərinin dəyişdirilməsi cəmini dəyişmir, yəni (x + y) + z = x + (y + z).

Paraleloqram qaydası

Paraleloqram qaydası eyni nöqtədən yaranan vektorları əlavə etmək üçün istifadə olunur. Bu qayda bildirir ki, bir nöqtədə yaranan x və y vektorlarının cəmi bu nöqtədən çıxan üçüncü z vektoru olacaq və x və y vektorları paraleloqramın tərəfləri, z vektoru isə onun diaqonalıdır. . Bu halda vektorların hansı ardıcıllıqla əlavə olunacağının da əhəmiyyəti yoxdur.

Beləliklə, çoxbucaqlı qaydası, üçbucaq qaydası və paraleloqram qaydası həm müstəvidə, həm də kosmosda tamamilə istənilən mürəkkəblikdə vektor əlavə etmə məsələlərini həll etməyə kömək edir.

Vektor- istiqamətlənmiş xətt seqmenti, yəni onun sərhəd nöqtələrindən hansının başlanğıc və hansının sonu olduğu göstərildiyi seqment.

Bir nöqtədən başlayan vektor A (\displaystyle A) və bir nöqtədə bitir B (\displaystyle B) adətən kimi işarələnir. Vektorlar həmçinin kiçik latın hərfləri ilə, məsələn, üstündə ox (bəzən tire) ilə işarələnə bilər. Başqa bir ümumi yazı üsulu vektor simvolunu qalın hərflərlə vurğulamaqdır: a (\displaystyle \mathbf (a)).

Həndəsə vektoru təbii olaraq tərcümə ilə (paralel tərcümə) müqayisə edilir ki, bu da onun adının mənşəyini aydınlaşdırır (lat. vektor, daşıyıcı). Beləliklə, hər bir istiqamətlənmiş seqment müstəvi və ya fəzanın bəzi paralel ötürülməsini unikal şəkildə müəyyənləşdirir: məsələn, bir vektor A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) təbii olaraq hansı nöqtədə tərcüməni təyin edir A (\displaystyle A) nöqtəsinə gedəcək B (\displaystyle B), həmçinin əksinə, paralel köçürmə, hansı A (\displaystyle A) daxil olur B (\displaystyle B), tək istiqamətlənmiş seqmenti müəyyən edir A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(yeganə odur ki, əgər biz eyni istiqamətin bütün istiqamətlənmiş seqmentlərini bərabər hesab etsək və - yəni onları belə hesab etsək; həqiqətən, paralel tərcümə ilə bütün nöqtələr eyni istiqamətə eyni məsafəyə sürüşür, buna görə də bu anlayışda A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2))) )=(\üst sağarrow (A_(3)B_(3)))=\nöqtələr )).

Bir vektorun köçürmə kimi təfsiri bizə təbii və intuitiv olaraq aşkar şəkildə əməliyyat təqdim etməyə imkan verir - iki (və ya bir neçə) köçürmənin tərkibi (ardıcıl tətbiqi) kimi; eyni vektorun ədədə vurulması əməliyyatına da aiddir.

Əsas anlayışlar

Bir vektor biri başlanğıc, digəri isə son hesab edilən iki nöqtədən qurulmuş istiqamətlənmiş seqmentdir.

Vektorun koordinatları onun başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatları arasındakı fərq kimi müəyyən edilir. Məsələn, koordinat müstəvisində, başlanğıc və son koordinatları verilirsə: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1))) Və T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), onda vektor koordinatları olacaq: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Vektor uzunluğu V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) iki nöqtə arasındakı məsafədir T 1 (\displaystyle T_(1)) Və T 2 (\displaystyle T_(2)), adətən işarə olunur | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overrightarrow (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)-) x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Vektorlar arasında sıfırın rolunu başlanğıcı və sonu üst-üstə düşən sıfır vektor oynayır T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1)=T_(2)); ona digər vektorlardan fərqli olaraq heç bir istiqamət təyin edilmir.

Vektorların koordinat təsviri üçün konsepsiya böyük əhəmiyyət kəsb edir vektorun oxa proyeksiyası(istiqamətli düz xətt, şəklə bax). Proyeksiya, vektorun başlanğıc və son nöqtələrinin müəyyən bir xəttə proyeksiyalarından əmələ gələn seqmentin uzunluğudur və proyeksiyanın istiqaməti oxun istiqamətinə uyğundursa, proyeksiyaya artı işarəsi verilir, əks halda - mənfi işarəsi. Proyeksiya orijinal vektorun uzunluğunun orijinal vektor ilə ox arasındakı bucağın kosinusuna vurulmasına bərabərdir; vektorun ona perpendikulyar olan oxa proyeksiyası sıfırdır.

Tətbiqlər

Vektorlardan həndəsə və tətbiqi elmlərdə geniş istifadə olunur, burada istiqaməti (qüvvələr, sürətlər və s.) olan kəmiyyətləri təmsil etmək üçün istifadə olunur. Vektorların istifadəsi bir sıra əməliyyatları asanlaşdırır - məsələn, düz xətlər və ya seqmentlər arasında bucaqların müəyyən edilməsi, fiqurların sahələrinin hesablanması. Kompüter qrafikasında bədən üçün düzgün işıqlandırma yaratmaq üçün normal vektorlardan istifadə olunur. Vektorların istifadəsi koordinat metodu üçün əsas kimi istifadə edilə bilər.

Vektorların növləri

Bəzən vektorlar toplusunu nəzərə almaq əvəzinə hər kəs yönəldilmiş seqmentlər (başlanğıcları və sonları üst-üstə düşməyən bütün istiqamətlənmiş seqmentlər kimi nəzərə alınmaqla), onlar bu çoxluğun (amil dəstinin) yalnız bəzi modifikasiyasını götürürlər, yəni bəzi istiqamətlənmiş seqmentlər eyni istiqamətə və uzunluğa malik olsalar da bərabər hesab olunurlar. onların müxtəlif başlanğıcı (və sonu) ola bilər, yəni eyni uzunluqda və istiqamətdə yönəldilmiş seqmentlər eyni vektoru təmsil edir; Beləliklə, hər bir vektor, uzunluğu və istiqaməti ilə eyni olan, lakin başlanğıcı (və sonu) ilə fərqlənən, müvafiq bütün istiqamətlənmiş seqmentlər sinfinə sahib olur.

Bəli, danışırlar "pulsuz", "sürüşmə" Və "sabit" vektorlar. Bu tiplər iki vektorun bərabərliyi anlayışı ilə fərqlənir.

• Sərbəst vektorlar haqqında danışarkən, eyni istiqamətə və uzunluğa malik olan istənilən vektorları müəyyənləşdirirlər;
• sürüşmə vektorları haqqında danışarkən əlavə edirlər ki, bərabər sürüşən vektorların mənşəyi üst-üstə düşməli və ya bu vektorları təmsil edən istiqamətlənmiş seqmentlərin yerləşdiyi eyni düz xətt üzərində yatmalıdır (belə ki, biri onun göstərdiyi istiqamətdə başqa bir hərəkətlə birləşdirilə bilər);
• sabit vektorlar haqqında danışarkən deyirlər ki, yalnız istiqamətləri və mənşəyi üst-üstə düşən vektorlar bərabər hesab olunur (yəni bu halda faktorizasiya yoxdur: bərabər sayılacaq fərqli mənşəli iki sabit vektor yoxdur).

Formal olaraq:

Bunu deyirlər Pulsuz vektorlar A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) və xal varsa bərabərdirlər E (\displaystyle E) Və F (\displaystyle F) belə ki, dördbucaqlılar A B F E (\displaystyle ABFE) Və C D F E (\displaystyle CDFE)- paraleloqramlar.

Bunu deyirlər sürüşən vektorlar A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Və C D → (\displaystyle \ (\ yuxarı sağarrow (CD))) bərabərdirsə

Sürüşən vektorlardan mexanikada xüsusilə istifadə olunur. Mexanikada sürüşmə vektorunun ən sadə nümunəsi sərt cismə təsir edən qüvvədir. Qüvvə vektorunun başlanğıcını onun yerləşdiyi düz xətt boyunca yerdəyişməsi heç bir nöqtəyə nisbətən qüvvənin momentini dəyişmir; vektorun böyüklüyünü və istiqamətini dəyişdirməsəniz belə, onu başqa bir düz xəttə köçürmək onun anının dəyişməsinə səbəb ola bilər (hətta demək olar ki, həmişə olacaq): buna görə də anı hesablayarkən qüvvə sərbəst hesab edilə bilməz. vektor, yəni sərt cisimlərin ixtiyari nöqtəsinə tətbiq edilmiş hesab edilə bilməz.

Bunu deyirlər sabit vektorlar A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Və C D → (\displaystyle \ (\ yuxarı sağarrow (CD))) xallar cüt-cüt üst-üstə düşərsə bərabərdir A (\displaystyle A) Və C (\displaystyle C), B (\displaystyle B) Və D (\displaystyle D).

Bir halda vektor yönəldilmiş seqmentdir, digər hallarda isə müxtəlif vektorlar hansısa xüsusi ekvivalentlik əlaqəsi ilə təyin olunan istiqamətlənmiş seqmentlərin müxtəlif ekvivalentlik sinifləridir. Üstəlik, ekvivalentlik əlaqəsi vektorun növünü təyin edərək fərqli ola bilər ("sərbəst", "sabit" və s.). Sadə dillə desək, ekvivalentlik sinfi daxilində ona daxil olan bütün istiqamətlənmiş seqmentlər tamamilə bərabər hesab olunur və hər biri bütün sinfi bərabər şəkildə təmsil edə bilər.

Vektorlar üzrə bütün əməliyyatlar (toplama, ədədə vurma, skalyar və vektor hasilləri, modulun və ya uzunluğun hesablanması, vektorlar arasındakı bucaq və s.) prinsipcə, bütün növ vektorlar üçün eyni şəkildə müəyyən edilir bununla əlaqədar yalnız hərəkət edən və sabit olanlar üçün fərqli başlanğıcları olan iki vektor arasında əməliyyatların yerinə yetirilməsi imkanlarına məhdudiyyət qoyulur (məsələn, iki sabit vektor üçün əlavə qadağandır - və ya mənası yoxdur - əgər başlanğıcları fərqlidir, lakin bu əməliyyata icazə verilən və ya mənası olan bütün hallarda bu, sərbəst vektorlarla eynidir). Buna görə də, çox vaxt vektor tipi heç də açıq şəkildə ifadə edilmir, onun kontekstdən aydın olduğu güman edilir; Üstəlik, məsələnin kontekstindən asılı olaraq, eyni vektor sabit, sürüşən və ya sərbəst hesab edilə bilər, məsələn, mexanikada nəticəni taparkən tətbiq nöqtəsindən asılı olmayaraq, cismə tətbiq olunan qüvvələrin vektorları ümumiləşdirilə bilər; (kütlə mərkəzinin hərəkəti, impulsun dəyişməsi və s. öyrənilərkən həm statik, həm də dinamikada), lakin fırlanma momenti hesablanarkən tətbiq nöqtələri nəzərə alınmadan bir-birinə əlavə edilə bilməz (həmçinin statik və dinamikada) .

Vektorlar arasında əlaqələr

Koordinasiya təmsili

Vektorlarla işləyərkən tez-tez müəyyən bir Kartezian koordinat sistemi tətbiq edilir və vektorun koordinatları onu əsas vektorlara parçalayaraq müəyyən edilir. Əsas genişlənmə koordinat oxlarına vektor proyeksiyalarından istifadə etməklə həndəsi şəkildə təmsil oluna bilər. Vektorun başlanğıcının və sonunun koordinatları məlumdursa, vektorun son koordinatlarından onun başlanğıcının koordinatlarını çıxmaqla vektorun özünün koordinatları alınır.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x),) AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Koordinat vahidi vektorları, ilə işarələnir i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), oxlara uyğundur x , y , z (\displaystyle x,y,z). Sonra vektor a → (\displaystyle (\vec (a))) kimi yazmaq olar

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

İstənilən həndəsi xassə koordinatlarda yazıla bilər, bundan sonra həndəsidən öyrənmə cəbri olur və çox vaxt sadələşdirilir. Əksi, ümumiyyətlə desək, tamamilə doğru deyil: adətən demək olar ki, yalnız hər hansı bir Kartezyen koordinat sistemində mövcud olan münasibətlərin "həndəsi şərhi" var. invariant).

Vektorlar üzərində əməliyyatlar

Vektor modulu

Vektor modulu A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) seqmentin uzunluğuna bərabər ədəddir A B (\displaystyle AB). kimi qeyd olunur | A B → | (\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|). Koordinatlar vasitəsilə aşağıdakı kimi hesablanır:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Vektor əlavəsi

Koordinat təsvirində cəmi vektor terminlərin müvafiq koordinatlarını toplamaq yolu ilə əldə edilir:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_) (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Cəm vektorunu həndəsi şəkildə qurmaq c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) müxtəlif qaydalardan (metodlardan) istifadə edir, lakin onların hamısı eyni nəticə verir. Bu və ya digər qaydadan istifadə həll olunan problemlə əsaslandırılır.

Üçbucaq qaydası

Üçbucaq qaydası ən təbii olaraq vektorun köçürmə kimi başa düşülməsindən irəli gəlir. İki transferin ardıcıl tətbiqinin nəticəsi olduğu aydındır a → (\displaystyle (\vec (a))) və bəzi məqamlar bu qaydaya uyğun bir anda bir köçürmə tətbiq etməklə eyni olacaq. İki vektor əlavə etmək üçün a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → (\displaystyle (\vec (b)))üçbucaq qaydasına görə bu vektorların hər ikisi özlərinə paralel köçürülür ki, onlardan birinin başlanğıcı digərinin sonu ilə üst-üstə düşsün. Sonra cəm vektoru yaranan üçbucağın üçüncü tərəfi ilə verilir və onun başlanğıcı birinci vektorun başlanğıcı ilə, sonu isə ikinci vektorun sonu ilə üst-üstə düşür.

Bu qayda birbaşa və təbii olaraq istənilən sayda vektora çevrilərək ümumiləşdirilə bilər qırıq xətt qaydası:

Üç nöqtə qaydası

Əgər seqment A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) vektoru təsvir edir a → (\displaystyle (\vec (a))), və seqment B C → (\displaystyle (\overrightarrow (BC))) vektoru təsvir edir b → (\displaystyle (\vec (b))), sonra seqment A C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))) vektoru təsvir edir a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Çoxbucaqlı qaydası

İkinci vektorun başlanğıcı birincinin sonu, üçüncünün başlanğıcı ikincinin sonu ilə üst-üstə düşür və s. n (\displaystyle n) vektorlar vektordur, başlanğıcı birincinin başlanğıcı ilə, sonu isə sonu ilə üst-üstə düşür n (\displaystyle n)-th (yəni, polixətti bağlayan yönəldilmiş seqment ilə təsvir edilmişdir). Qırılmış xətt qaydası da adlanır.

Paraleloqram qaydası

İki vektor əlavə etmək üçün a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → (\displaystyle (\vec (b))) Paraleloqram qaydasına görə, bu vektorların hər ikisi mənşəyi üst-üstə düşməsi üçün özlərinə paralel köçürülür. Sonra cəmi vektor ümumi mənşəyindən başlayaraq onların üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalı ilə verilir. (Üçbucaq qaydasından istifadə edərkən bu diaqonalın üçbucağın üçüncü tərəfi ilə üst-üstə düşdüyünü görmək asandır).

Paraleloqram qaydası, hər iki terminin tətbiq olunduğu eyni nöqtəyə dərhal tətbiq edilən cəmi vektorunu təsvir etmək ehtiyacı olduqda xüsusilə əlverişlidir - yəni hər üç vektoru ümumi mənşəli kimi təsvir etmək.

Vektor cəmi modulu

İki vektorun cəminin modulu kosinus teoremi ilə hesablana bilər:

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), Harada a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → (\displaystyle (\vec (b))).

Vektorlar üçbucaq qaydasına uyğun olaraq təsvir edilirsə və bucaq rəsmə uyğun olaraq götürülürsə - üçbucağın tərəfləri arasında - bu vektorlar arasındakı bucağın adi tərifi ilə üst-üstə düşmür və buna görə də yuxarıda göstərilən bucaq düsturla, onda sonuncu müddətli mənfi işarə əldə edir ki, bu da birbaşa ifadəsində kosinus teoreminə uyğun gəlir.

İxtiyari sayda vektorların cəmi üçün oxşar düstur tətbiq olunur, burada kosinus ilə daha çox termin var: cəmlənmiş çoxluqdan hər bir vektor cütü üçün belə bir termin mövcuddur. Məsələn, üç vektor üçün düstur belə görünür:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec) (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c)))).)

Vektor çıxması

İki vektor a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b))) və onların fərqinin vektoru

Koordinat şəklində fərqi əldə etmək üçün vektorların müvafiq koordinatlarını çıxarmaq lazımdır:

a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_) (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Fərq vektorunu əldə etmək üçün c → = a → − b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) vektorların başlanğıcları vektorun başlanğıcı ilə əlaqələndirilir c → (\displaystyle (\vec (c))) bir sonu olacaq b → (\displaystyle (\vec (b))) və son sondur a → (\displaystyle (\vec (a))). Vektor nöqtələrindən istifadə edərək yazsaq, onda A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Vektor fərq modulu

Üç vektor a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), əlavə ilə olduğu kimi, üçbucaq yaradır və fərq modulu üçün ifadə oxşardır:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ))

Harada cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- vektorlar arasındakı bucağın kosinusu a → (\displaystyle (\vec (a))) Və b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

Cəmin modulu üçün düsturdan fərq kosinusun qarşısındakı işarədədir, bu halda hansı bucağın götürüldüyünü diqqətlə izləmək lazımdır (cəm modulu üçün düsturun arasındakı bucaq ilə); üçbucaq qaydasına uyğun cəmlənərkən üçbucağın tərəfləri fərqin modulu üçün bu düsturdan formaca fərqlənmir, lakin sizdə olmalıdır Qeyd edək ki, burada müxtəlif bucaqlar götürülür: cəmi halda bucaq vektor alındıqda b → (\displaystyle (\vec (b))) vektorun sonuna qədər aparılır a → (\displaystyle (\vec (a))), fərqin modulu axtarıldıqda bir nöqtəyə tətbiq olunan vektorlar arasındakı bucaq alınır; fərqin modulu üçün bu ifadədə olduğu kimi eyni bucaqdan istifadə edərək cəminin modulu üçün ifadə, kosinusun qarşısındakı işarə ilə fərqlənir).

Evklid həndəsəsində nöqtə və düz xətt müstəvilər nəzəriyyəsinin əsas elementləri olduğu kimi, paraleloqram da qabarıq dördbucaqlıların əsas fiqurlarından biridir. Ondan, bir topdan iplər kimi, "düzbucaqlı", "kvadrat", "romb" və digər həndəsi kəmiyyətlər anlayışları axır.

ilə təmasda

Paraleloqramın tərifi

qabarıq dördbucaqlı, hər bir cütü paralel olan seqmentlərdən ibarət olan həndəsə paraleloqram kimi tanınır.

Klassik paraleloqramın necə görünməsi dördbucaqlı ABCD ilə təsvir edilmişdir. Tərəflərə əsaslar (AB, BC, CD və AD), hər hansı təpədən bu təpənin əks tərəfinə çəkilmiş perpendikulyar hündürlük (BE və BF), AC və BD xətləri diaqonallar adlanır.

Diqqət! Kvadrat, romb və düzbucaqlı paraleloqramın xüsusi hallarıdır.

Tərəflər və açılar: əlaqənin xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyətlər, ümumiyyətlə, təyinatın özü ilə əvvəlcədən müəyyən edilir, onlar teoremlə isbat edilir. Bu xüsusiyyətlər aşağıdakılardır:

1. Qarşı tərəflər cütlükdə eynidir.
2. Bir-birinə əks olan bucaqlar cütlükdə bərabərdir.

Sübut: ABCD dördbucağını AC düz xəttinə bölmək yolu ilə əldə edilən ∆ABC və ∆ADC-ni nəzərdən keçirək. ∠BCA=∠CAD və ∠BAC=∠ACD, çünki AC onlar üçün ümumidir (müvafiq olaraq BC||AD və AB||CD üçün şaquli bucaqlar). Buradan belə çıxır: ∆ABC = ∆ADC (üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlaməti).

∆ABC-də AB və BC seqmentləri ∆ADC-də CD və AD xətlərinə cüt-cüt uyğun gəlir, bu da onların eyni olduğunu bildirir: AB = CD, BC = AD. Beləliklə, ∠B ∠D-ə uyğundur və onlar bərabərdir. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD olduğundan, onlar da cütlükdə eynidir, onda ∠A = ∠C olur. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Fiqurun diaqonallarının xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyət paraleloqramın bu xətlərindən: kəsişmə nöqtəsi onları yarıya bölür.

Sübut: ABCD fiqurunun AC və BD diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi olsun. Onlar iki mütənasib üçbucaq əmələ gətirir - ∆ABE və ∆CDE.

AB=CD, çünki onlar əksdir. Xətlərə və sekanta görə ∠ABE = ∠CDE və ∠BAE = ∠DCE.

Bərabərliyin ikinci meyarına görə, ∆ABE = ∆CDE. Bu o deməkdir ki, ∆ABE və ∆CDE elementləri: AE = CE, BE = DE və eyni zamanda AC və BD-nin mütənasib hissələridir. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Bitişik künclərin xüsusiyyətləri

Bitişik tərəflər 180 ° -ə bərabər olan bucaqların cəminə malikdir, çünki onlar paralel xətlərin və eninənin eyni tərəfində yerləşirlər. Dördbucaqlı ABCD üçün:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektorun xassələri:

1. , bir tərəfə endirilmiş, perpendikulyardır;
2. əks təpələrin paralel bisektorları var;
3. bissektrisa çəkməklə alınan üçbucaq ikitərəfli olacaq.

Teoremdən istifadə etməklə paraleloqramın xarakterik xüsusiyyətlərinin təyini

Bu rəqəmin xüsusiyyətləri onun aşağıdakıları ifadə edən əsas teoremindən irəli gəlir: dördbucaqlı paraleloqram hesab olunur onun diaqonallarının kəsişməsi halında və bu nöqtə onları bərabər seqmentlərə ayırır.

Sübut: ABCD dördbucağının AC və BD xətləri i.e.-də kəsişsin. ∠AED = ∠BEC, və AE+CE=AC BE+DE=BD olduğundan, ∆AED = ∆BEC (üçbucaqların bərabərliyinin birinci meyarına görə). Yəni, ∠EAD = ∠ECB. Onlar həm də AD və BC xətləri üçün AC sekantının daxili çarpaz bucaqlarıdır. Beləliklə, paralelliyin tərifinə görə - AD || B.C. BC və CD xətlərinin oxşar xassəsi də əldə edilir. Teorem sübut edilmişdir.

Fiqurun sahəsinin hesablanması

Bu rəqəmin sahəsi bir neçə üsulla tapılırən sadələrindən biri: çəkildiyi hündürlüyün və bazanın çarpılması.

Sübut: B və C təpələrindən BE və CF perpendikulyarlarını çəkin. AB = CD və BE = CF olduğundan ∆ABE və ∆DCF bərabərdir. ABCD ölçüsünə görə EBCF düzbucağına bərabərdir, çünki onlar mütənasib fiqurlardan ibarətdir: S ABE və S EBCD, həmçinin S DCF və S EBCD. Buradan belə çıxır ki, bu həndəsi fiqurun sahəsi düzbucaqlının sahəsi ilə eynidir:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paraleloqramın sahəsinin ümumi formulunu müəyyən etmək üçün hündürlüyü kimi işarə edək hb, və yan - b. Müvafiq olaraq:

Ərazini tapmağın digər yolları

Ərazi hesablamaları paraleloqramın və bucağın tərəfləri vasitəsiləəmələ gətirdikləri ikinci məlum üsuldur.

,

Spr-ma - sahə;

a və b onun tərəfləridir

α a və b seqmentləri arasındakı bucaqdır.

Bu üsul praktiki olaraq birinciyə əsaslanır, lakin bilinməyən halda. həmişə parametrləri triqonometrik eyniliklərlə tapılan düzbucaqlı üçbucağı kəsir, yəni. Münasibəti çevirərək, alırıq. Birinci metodun tənliyində hündürlüyü bu məhsulla əvəz edirik və bu formulun etibarlılığının sübutunu əldə edirik.

Paraleloqramın və bucağın diaqonalları vasitəsilə, kəsişdikləri zaman meydana gətirdikləri ərazini də tapa bilərsiniz.

Sübut: AC və BD dörd üçbucaq yaratmaq üçün kəsişir: ABE, BEC, CDE və AED. Onların cəmi bu dördbucağın sahəsinə bərabərdir.

Bunların hər birinin sahəsi ∆ ifadəsi ilə tapıla bilər, burada a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Çünki hesablamalar tək sinus dəyərindən istifadə edir. ki . AE+CE=AC= d 1 və BE+DE=BD= d 2 olduğundan, sahə düsturu azalır:

.

Vektor cəbrində tətbiq

Bu dördbucağın tərkib hissələrinin xüsusiyyətləri vektor cəbrində, yəni iki vektorun əlavə edilməsində tətbiq tapmışdır. Paraleloqram qaydası bunu bildirir vektorlar verilmişdirsəVəyoxkollineardır, onda onların cəmi bu rəqəmin diaqonalına bərabər olacaq, əsasları bu vektorlara uyğundur.

Sübut: özbaşına seçilmiş başlanğıcdan - yəni. - vektorları qurmaq və . Sonra OA və OB seqmentlərinin tərəflər olduğu OASV paraleloqramını qururuq. Beləliklə, ƏS vektor və ya cəmi üzərində yerləşir.

Paraleloqramın parametrlərinin hesablanması üçün düsturlar

Şəxsiyyətlər aşağıdakı şərtlərlə verilir:

1. a və b, α - tərəflər və onların arasındakı bucaq;
2. d 1 və d 2, γ - diaqonallar və onların kəsişmə nöqtəsində;
3. h a və h b - a və b tərəflərinə endirilən hündürlüklər;

Parametr	Düstur
Tərəfləri tapmaq
diaqonallar boyunca və aralarındakı bucağın kosinusu
diaqonallar və tərəflər boyunca
hündürlükdən və əks təpədən keçir
Diaqonalların uzunluğunu tapmaq
tərəflərdə və onların arasındakı zirvənin ölçüsü
tərəflər və diaqonallardan biri boyunca	 Nəticə Paraleloqram, həndəsənin əsas fiqurlarından biri kimi, həyatda, məsələn, bir saytın sahəsini və ya digər ölçmələri hesablayarkən tikintidə istifadə olunur. Buna görə də, fərqli xüsusiyyətlər və onun müxtəlif parametrlərinin hesablanması üsulları haqqında biliklər həyatın istənilən vaxtında faydalı ola bilər.

Qüvvələrin əlavə edilməsi vektor əlavəsi qaydasından istifadə etməklə həyata keçirilir. Və ya sözdə paraleloqram qaydası. Güc vektor kimi təsvir edildiyindən, yəni uzunluğu qüvvənin ədədi qiymətini, istiqaməti isə qüvvənin təsir istiqamətini göstərən bir seqmentdir. Sonra vektorların həndəsi cəmindən istifadə edərək qüvvələri, yəni vektorları əlavə edirlər.

Digər tərəfdən, qüvvələrin əlavə edilməsi bir neçə qüvvənin nəticəsini tapmaqdır. Yəni bədənə bir neçə fərqli qüvvə təsir etdikdə. Həm ölçüsü, həm də istiqaməti ilə fərqlənir. Nəticədə bütövlükdə bədənə təsir edəcək qüvvəni tapmaq lazımdır. Bu halda, paraleloqram qaydasından istifadə edərək qüvvələri cüt-cüt əlavə edə bilərsiniz. Əvvəlcə iki qüvvə əlavə edirik. Onların nəticəsinə daha birini əlavə edirik. Və bütün qüvvələr birləşdirilənə qədər.

Şəkil 1 - Paraleloqram qaydası.

Paraleloqram qaydasını aşağıdakı kimi təsvir etmək olar. Bir nöqtədən çıxan və aralarında sıfırdan və ya 180 dərəcədən fərqli bucaq olan iki qüvvə üçün. Bir paraleloqram qura bilərsiniz. Bir vektorun başlanğıcını digərinin sonuna köçürməklə. Bu paraleloqramın diaqonalı bu qüvvələrin nəticəsi olacaqdır.

Ancaq güc çoxbucaqlı qaydasından da istifadə edə bilərsiniz. Bu vəziyyətdə başlanğıc nöqtəsi seçilir. Bu nöqtədən bədənə təsir edən qüvvənin birinci vektoru çıxır, sonra paralel ötürmə üsulu ilə onun sonuna növbəti vektor əlavə edilir. Və s. güc çoxbucaqlı əldə olunana qədər. Sonda belə bir sistemdəki bütün qüvvələrin nəticəsi başlanğıc nöqtəsindən sonuncu vektorun sonuna qədər çəkilmiş vektor olacaqdır.

Şəkil 2 - Qüvvə çoxbucaqlı.

Bir cisim bədənin müxtəlif nöqtələrinə tətbiq olunan bir neçə qüvvənin təsiri altında hərəkət edərsə. Onun müəyyən bir cismin kütlə mərkəzinə tətbiq olunan nəticə qüvvəsinin təsiri altında hərəkət etdiyini düşünə bilərik.

Hərəkət hesablamalarını sadələşdirmək üçün qüvvələrin əlavə edilməsi ilə yanaşı, qüvvənin parçalanması metodundan da istifadə olunur. Adından da göründüyü kimi, metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, cismə təsir edən bir qüvvə komponent qüvvələrə parçalanır. Bu halda qüvvənin komponentləri bədənə ilkin qüvvə kimi eyni təsir göstərir.

Qüvvələrin parçalanması da paraleloqram qaydasına uyğun olaraq həyata keçirilir. Onlar bir nöqtədən çıxmalıdırlar. Ayrıyan qüvvənin çıxdığı eyni nöqtədən. Bir qayda olaraq, parçalanmış qüvvə perpendikulyar oxlar üzərində proyeksiyalar şəklində təmsil olunur. Məsələn, maili müstəvidə uzanan bloka təsir edən cazibə qüvvəsi və sürtünmə qüvvəsi kimi.

Şəkil 3 - Maili müstəvidə blok.