Как се изчисляват производната на произведение и производната на частно? Формули за производни Формула за намиране на производната на произведението на две функции

В този урок продължаваме да изучаваме производни на функции и преминаваме към по-напреднала тема, а именно производни на произведения и частни. Ако сте гледали предишния урок, вероятно сте разбрали, че разгледахме само най-простите конструкции, а именно производната на степенна функция, сбор и разлика. По-специално научихме, че производната на сбор е равна на техния сбор, а производната на разлика е равна съответно на тяхната разлика. За съжаление, в случай на частно и производни на продукта, формулите ще бъдат много по-сложни. Ще започнем с формулата за производната на произведение от функции.

Производни на тригонометрични функции

Като начало нека направя едно малко лирично отклонение. Факт е, че освен стандартната степенна функция - $y=((x)^(n))$, в този урок ще срещнем и други функции, а именно $y=\sin x$, както и $ y=\ cos x$ и друга тригонометрия - $y=tgx$ и, разбира се, $y=ctgx$.

Ако всички знаем отлично производната на степенна функция, а именно $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, тогава що се отнася до тригонометрични функции, трябва да се споменат отделно. Нека го запишем:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Но вие знаете тези формули много добре, нека продължим.

Какво е производното на продукт?

Първо, най-важното: ако една функция е продукт на две други функции, например $f\cdot g$, тогава производната на тази конструкция ще бъде равна на следния израз:

Както можете да видите, тази формула е значително различна и по-сложна от формулите, които разгледахме по-рано. Например, производната на сума се изчислява по елементарен начин - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, или производната на разлика, която също се изчислява по елементарен начин - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Нека се опитаме да приложим първата формула, за да изчислим производните на двете функции, които са ни дадени в задачата. Да започнем с първия пример:

Очевидно следната конструкция действа като произведение или по-точно като множител: $((x)^(3))$, можем да го разглеждаме като $f$ и $\left(x-5 \right) $ можем да разглеждаме като $g$. Тогава техният продукт ще бъде именно продукт на две функции. Ние решаваме:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ дясно))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \край (подравняване)\].

Сега нека разгледаме по-подробно всеки от нашите условия. Виждаме, че и първият, и вторият член съдържат степен $x$: в първия случай тя е $((x)^(2))$, а във втория е $((x)^(3)) $. Нека извадим най-малката степен от скоби, оставяйки в скоби:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\край (подравняване)\]

Това е, намерихме отговора.

Нека се върнем към нашите проблеми и се опитаме да разрешим:

И така, нека пренапишем:

Отново отбелязваме, че говорим за произведението на произведението на две функции: $x$, която може да бъде означена с $f$, и $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, която може се означава с $g$.

Така отново имаме пред себе си произведението на две функции. За да намерим производната на функцията $f\left(x \right)$ отново ще използваме нашата формула. Получаваме:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Отговорът е намерен.

Защо факторни производни?

Току-що използвахме няколко много важни математически факта, които сами по себе си не са свързани с производни, но без тяхното знание по-нататъшното изучаване на тази тема просто няма смисъл.

Първо, решавайки първия проблем и след като вече сме се отървали от всички знаци на производни, по някаква причина започнахме да разлагаме този израз на множители.

Второ, при решаването на следната задача преминахме няколко пъти от корен към степен с рационален показател и обратно, докато използвахме формулата за 8-9 клас, която би си струвало да повторим отделно.

Относно факторизацията - защо са необходими всички тези допълнителни усилия и трансформации? Всъщност, ако проблемът просто казва „намерете производната на функция“, тогава тези допълнителни стъпки не са необходими. Въпреки това, в реални задачи, които ви очакват на всякакви изпити и тестове, просто намирането на производната често не е достатъчно. Факт е, че производната е само инструмент, с който можете да разберете например нарастването или намаляването на функция, а за това трябва да решите уравнението и да го разложите на множители. И тук тази техника ще бъде много подходяща. И като цяло е много по-удобно и приятно да работите с функция, факторизирана в бъдеще, ако са необходими някакви трансформации. Следователно, правило № 1: ако производната може да бъде факторизирана, това е, което трябва да направите. И веднага правило № 2 (всъщност това е материал за 8-9 клас): ако задачата съдържа корен н-та степен и коренът очевидно е по-голям от две, тогава този корен може да бъде заменен с обикновена степен с рационален показател и в показателя ще се появи дроб, където н― точно тази степен ― ще бъде в знаменателя на тази дроб.

Разбира се, ако под корена има някаква степен (в нашия случай това е степента к), тогава не отива никъде, а просто завършва в числителя на същата тази степен.

След като разбирате всичко това, нека се върнем към производните на продукта и да изчислим още няколко уравнения.

Но преди да преминем директно към изчисленията, бих искал да ви напомня за следните модели:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Нека разгледаме първия пример:

Отново имаме произведение на две функции: първата е $f$, втората е $g$. Нека ви напомня формулата:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Да решим:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Да преминем към втората функция:

Отново $\left(3x-2 \right)$ е функция на $f$, $\cos x$ е функция на $g$. Общо производната на произведението на две функции ще бъде равна на:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ ляво(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Нека го запишем отделно:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Ние не разлагаме този израз на множители, защото това все още не е окончателният отговор. Сега трябва да решим втората част. Нека го напишем:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Сега нека се върнем към нашата първоначална задача и да съберем всичко заедно в една структура:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Това е, това е окончателният отговор.

Да преминем към последния пример - той ще бъде най-сложен и най-обемист откъм изчисления. И така, пример:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Ние броим всяка част поотделно:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Връщайки се към оригиналната функция, нека изчислим нейната производна като цяло:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа за производните произведения. Както можете да видите, основният проблем с формулата не е в запомнянето й, а във факта, че включва доста голямо количество изчисления. Но това е добре, защото сега преминаваме към частното производно, където ще трябва да работим много усилено.

Каква е производната на частното?

И така, формулата за производната на частното. Това е може би най-сложната формула в училищния курс за производни. Да кажем, че имаме функция от формата $\frac(f)(g)$, където $f$ и $g$ също са функции, от които също можем да премахнем простото число. След това ще се изчисли по следната формула:

Числителят донякъде ни напомня на формулата за производна на продукт, но има знак минус между членовете и квадратът на оригиналния знаменател също е добавен към знаменателя. Нека да видим как работи това на практика:

Нека се опитаме да решим:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Предлагам да напишете всяка част поотделно и да запишете:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ дясно))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\край (подравняване)\]

Нека пренапишем нашия израз:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(align)\]

Намерихме отговора. Да преминем към втората функция:

Съдейки по факта, че неговият числител е просто един, изчисленията тук ще бъдат малко по-прости. И така, нека напишем:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Нека изчислим всяка част от примера поотделно:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Нека пренапишем нашия израз:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Намерихме отговора. Както се очакваше, количеството изчисления се оказа значително по-малко, отколкото за първата функция.

Каква е разликата между обозначенията?

Внимателните ученици вероятно вече имат въпрос: защо в някои случаи означаваме функцията като $f\left(x \right)$, а в други случаи просто пишем $y$? Всъщност от гледна точка на математиката няма абсолютно никаква разлика - имате право да използвате както първото обозначение, така и второто и няма да има наказания на изпити или контролни. За тези, които все още се интересуват, ще обясня защо авторите на учебници и задачи в някои случаи пишат $f\left(x \right)$, а в други (много по-често) - просто $y$. Факт е, че като записваме функция във формата \, ние имплицитно загатваме на тези, които четат нашите изчисления, че говорим конкретно за алгебричната интерпретация на функционалната зависимост. Тоест, има определена променлива $x$, ние разглеждаме зависимостта от тази променлива и я обозначаваме с $f\left(x \right)$. В същото време, след като е видял такова обозначение, този, който чете вашите изчисления, например, инспекторът, подсъзнателно ще очаква, че в бъдеще го очакват само алгебрични трансформации - без графики и без геометрия.

От друга страна, използвайки нотации във формата \, т.е. обозначавайки променлива с една единствена буква, ние веднага изясняваме, че в бъдеще се интересуваме от геометричната интерпретация на функцията, т.е. интересуваме се първо от всичко, в неговата графика. Съответно, когато се сблъска със запис на формата\, читателят има право да очаква графични изчисления, т.е. графики, конструкции и т.н., но в никакъв случай аналитични трансформации.

Бих искал също така да насоча вниманието ви към една особеност на дизайна на задачите, които разглеждаме днес. Много ученици смятат, че давам твърде подробни изчисления и много от тях могат да бъдат пропуснати или просто решени наум. Въпреки това, точно такъв подробен запис ще ви позволи да се отървете от обидни грешки и значително да увеличите процента на правилно решени задачи, например в случай на самоподготовка за тестове или изпити. Ето защо, ако все още не сте сигурни в способностите си, ако току-що започвате да изучавате тази тема, не бързайте - опишете всяка стъпка подробно, запишете всеки фактор, всеки удар и много скоро ще се научите да решавате такива примери по-добре отколкото много училищни учители. Надявам се това да е ясно. Нека изброим още няколко примера.

Няколко интересни задачи

Този път, както виждаме, тригонометрията присъства в изчисляваните производни. Затова нека ви напомня следното:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Разбира се, не можем без производната на частното, а именно:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Нека разгледаме първата функция:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\край (подравняване)\]

Така че намерихме решение на този израз.

Да преминем към втория пример:

Очевидно нейната производна ще бъде по-сложна, дори само защото тригонометрията присъства както в числителя, така и в знаменателя на тази функция. Ние решаваме:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Имайте предвид, че имаме производно на продукта. В този случай тя ще бъде равна на:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ дясно))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Да се ​​върнем към нашите изчисления. Записваме:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Направихме сметката.

Как да редуцирам производната на частното до проста формула за производната на продукт?

И тук бих искал да направя една много важна забележка относно тригонометричните функции. Факт е, че нашата оригинална конструкция съдържа израз от формата $\frac(\sin x)(\cos x)$, който може лесно да бъде заменен просто с $tgx$. Така редуцираме производната на частното до по-проста формула за производната на произведение. Нека изчислим отново този пример и сравним резултатите.

Така че сега трябва да вземем предвид следното:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Нека пренапишем нашата оригинална функция $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$, като вземем предвид този факт. Получаваме:

Нека преброим:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Сега, ако сравним получения резултат с това, което сме получили по-рано при изчисление по различен начин, ще се убедим, че сме получили същия израз. По този начин, независимо по какъв начин тръгнем, когато изчисляваме производната, ако всичко е изчислено правилно, тогава отговорът ще бъде същият.

Важни нюанси при решаване на проблеми

В заключение бих искал да ви кажа още една тънкост, свързана с изчисляването на производната на частното. Това, което ще ви кажа сега, не беше в оригиналния сценарий на видео урока. Въпреки това, няколко часа преди снимките, учех с един от моите студенти и просто обсъждахме темата за частните производни. И както се оказа, много студенти не разбират тази точка. И така, да кажем, че трябва да изчислим хода за премахване на следната функция:

По принцип на пръв поглед в това няма нищо свръхестествено. В процеса на изчисление обаче можем да направим много глупави и обидни грешки, които бих искал да обсъдя сега.

И така, изчисляваме тази производна. На първо място, отбелязваме, че имаме термина $3((x)^(2))$, така че е подходящо да си припомним следната формула:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Освен това имаме термина $\frac(48)(x)$ - ще се справим с него чрез производната на частното, а именно:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

И така, нека решим:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Няма проблеми с първия срок, вижте:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Но с първия член, $\frac(48)(x)$, трябва да работите отделно. Факт е, че много ученици объркват ситуацията, когато трябва да намерят $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ и когато трябва да намерят $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Тоест, те се объркват, когато константата е в знаменателя и когато константата е в числителя, съответно, когато променливата е в числителя или в знаменателя.

Да започнем с първия вариант:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

От друга страна, ако се опитаме да направим същото с втората дроб, ще получим следното:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Същият пример обаче може да бъде изчислен по различен начин: на етапа, в който преминахме към производната на частното, можем да разглеждаме $\frac(1)(x)$ като степен с отрицателен показател, т.е. получаваме следното :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

И така, и така получихме същия отговор.

Така още веднъж се убеждаваме в два важни факта. Първо, една и съща производна може да се изчисли по напълно различни начини. Например $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ може да се разглежда както като производна на частно, така и като производна на степенна функция. Освен това, ако всички изчисления са извършени правилно, тогава отговорът винаги ще бъде един и същ. Второ, когато се изчисляват производни, съдържащи както променлива, така и константа, е фундаментално важно къде се намира променливата - в числителя или в знаменателя. В първия случай, когато променливата е в числителя, получаваме проста линейна функция, която може лесно да бъде изчислена. И ако променливата е в знаменателя, тогава получаваме по-сложен израз със съпътстващите изчисления, дадени по-рано.

На този етап урокът може да се счита за завършен, така че ако не разбирате нищо за производните на частно или продукт и като цяло, ако имате въпроси по тази тема, не се колебайте - отидете на моя уебсайт , пишете, обадете се и аз определено ще опитам мога ли да ви помогна.

Самите производни не са сложна тема, но са много обширни и това, което изучаваме сега, ще бъде използвано в бъдеще при решаването на по-сложни проблеми. Ето защо е по-добре незабавно да идентифицирате всички недоразумения, свързани с изчисляването на производни на коефициент или продукт, точно сега. Не когато са огромна снежна топка от неразбиране, а когато са малка топка за тенис, с която лесно се боравиш.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометрично и физическо значение на производната

Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е то:

производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: задайте константа

Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функцията:

Трето правило: производна на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: производна на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частното на две функции:

Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.

Операцията за намиране на производната се нарича диференциране.

В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Първите, които работят в областта на намирането на производни, са Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716).

Следователно, в наше време, за да намерите производната на която и да е функция, не е необходимо да изчислявате горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а трябва само да използвате таблицата на производни и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под главния знак разделят прости функции на компонентии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. След това намираме производните на елементарни функции в таблицата с производни, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата за производни и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1.Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сума от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "x" е равна на единица, а производната на синус е равна на косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата от производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:

Пример 2.Намерете производната на функция

Решение. Диференцираме като производна на сума, в която вторият член има постоянен фактор, той може да бъде изваден от знака на производната:

Ако все пак възникнат въпроси за това откъде идва нещо, те обикновено се изясняват след запознаване с таблицата на производните и най-простите правила за диференциране. В момента преминаваме към тях.

Таблица с производни на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги равно на нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "Х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните за дълго време
3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степени.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна на квадратен корен
6. Производна на синус
7. Производна на косинус
8. Производна на тангенс
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинус
11. Производна на аркосинус
12. Производна на арктангенс
13. Производна на аркотангенс
14. Производна на натурален логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на показателя
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбор или разлика
2. Производна на продукта
2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител
3. Производна на частното
4. Производна на сложна функция

Правило 1.Ако функциите

са диференцируеми в дадена точка, тогава функциите са диференцируеми в една и съща точка

и

тези. производната на алгебрична сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с постоянен член, тогава техните производни са равни, т.е.

Правило 2.Ако функциите

са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт е диференцируем в същата точка

и

тези. Производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки фактор и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3.Ако функциите

диференцируеми в даден момент И , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемоu/v и

тези. производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на бившият числител.

Къде да търсите неща на други страници

Когато се намира производната на произведение и частно в реални задачи, винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че в статията има повече примери за тези производни"Производна на произведение и частно на функции".

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сума и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средният ученик решава няколко примера от една и две части, той вече не допуска тази грешка.

И ако, когато диференцирате продукт или коефициент, имате термин u"v, в който u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (този случай е разгледан в пример 10).

Друга често срещана грешка е механичното решаване на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияе посветена отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете да правите без трансформиране на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководството в нови прозорци. Действия със сили и корениИ Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни на дроби със степени и корени, т.е. когато функцията изглежда като , след това следвайте урока „Производна на суми от дроби със степени и корени.“

Ако имате задача като , тогава ще вземете урока „Производни на прости тригонометрични функции“.

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3.Намерете производната на функция

Решение. Дефинираме частите на израза на функцията: целият израз представлява продукт, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции по производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай във всяка сума вторият член има знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "X" се превръща в едно, а минус 5 се превръща в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че ние умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните производни стойности:

Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:

Пример 4.Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частното: производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменател, а знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се приема със знак минус:

Ако търсите решения на задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например , тогава добре дошли в класа "Производна на суми от дроби със степени и корени" .

Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава урок за вас "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5.Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме произведение, един от множителите на което е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Използвайки правилото за диференциране на произведението и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

Пример 6.Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частно, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Използвайки правилото за диференциране на частните, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на квадратния корен, получаваме:

За да се отървете от дроб в числителя, умножете числителя и знаменателя по .

Какво е производна функция - това е основна математическа концепция, която е на същото ниво като интегралите в анализа. Тази функция в определена точка дава характеристика на скоростта на промяна на функцията в тази точка.
Понятия като диференциране и интегриране, първото се дешифрира като действие за търсене на производно, второто, напротив, възстановява функция, започваща от дадено производно.
Производните изчисления играят важна роля в диференциалните изчисления.
За ясен пример, нека изобразим производната на координатната равнина.

във функцията y=f(x) фиксираме точки M, в които (x0; f(X0)) и N f (x0+?x) към всяка абциса има увеличение във формата?x. Увеличаването е процесът, при който се променя абсцисата, след което се променя и ординатата. Означава се като?y.
Нека намерим тангенса на ъгъла в триъгълника MPN, използвайки точки M и N за това.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

As?x отива на 0. Пресечната MN се приближава до допирателната MT и ъгълът? ще?. Следователно, tg? максимална стойност за tg?.

tg? = lim от?x-0 tg ? = lim от?x-0 ?y/?x

Таблица с производни

Ако произнесете формулировката на всеки производни формули. Таблицата ще бъде по-лесна за запомняне.
1) Производната на постоянна стойност е 0.
2) X с просто число е равно на едно.
3) Ако има постоянен фактор, ние просто го изваждаме като производна.
4) За да намерите производна степен, трябва да умножите показателя на дадена степен по степен със същата основа, чиято степен е с 1 по-малка.
5) Намирането на корен е равно на 1, делено на 2 от тези корени.
6) Производната на едно делено на X е равно на едно делено на X на квадрат със знак минус.
7) P синус е равно на косинус
8) P косинус е равен на синус със знак минус.
9) P тангенс е равен на единица, делено на косинус на квадрат.
10) P котангенс е равен на единица със знак минус, делено на синус на квадрат.

Има и правила за разграничаване, които също са по-лесни за научаване, като ги изговаряте на глас.

1) Много просто, n от членовете е равно на тяхната сума.
2) Производната при умножение е равна на умножението на първата стойност по втората, добавяйки към себе си умножението на втората стойност по първата.
3) Производната при деление е равна на умножението на първата стойност по втората, като се извади умножението на втората стойност по първата. Дроб, разделена на втората стойност на квадрат.
4) Формулировката е частен случай на третата формула.