Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου εάν οι πλευρές είναι γνωστές. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου με ασυνήθιστο τρόπο. Τι μάθαμε

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκεται στην πραγματικότητα σχεδόν σε κάθε γωνία. Η γνώση των ιδιοτήτων ενός δεδομένου σχήματος, καθώς και η ικανότητα υπολογισμού του εμβαδού του, θα σας είναι αναμφίβολα χρήσιμη όχι μόνο για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας, αλλά και σε καταστάσεις ζωής.

Γεωμετρία τριγώνου

Στη στοιχειώδη γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία συνδεδεμένα τμήματα που σχηματίζουν τρεις γωνίες (δύο οξείες και μία ευθεία). Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα πρωτότυπο σχήμα που χαρακτηρίζεται από μια σειρά από σημαντικές ιδιότητες που αποτελούν το θεμέλιο της τριγωνομετρίας. Σε αντίθεση με ένα κανονικό τρίγωνο, οι πλευρές ενός ορθογώνιου σχήματος έχουν τα δικά τους ονόματα:

• Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου, απέναντι από τη σωστή γωνία.
• Τα πόδια είναι τμήματα που σχηματίζουν ορθή γωνία. Ανάλογα με τη γωνία που εξετάζουμε, το σκέλος μπορεί να είναι δίπλα του (που σχηματίζει αυτή τη γωνία με την υποτείνουσα) ή απέναντι (να βρίσκεται απέναντι από τη γωνία). Δεν υπάρχουν πόδια για μη ορθογώνια τρίγωνα.

Είναι η αναλογία των ποδιών και της υποτείνουσας που αποτελεί τη βάση της τριγωνομετρίας: τα ημίτονο, οι εφαπτομένες και οι τομές ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Ορθογώνιο τρίγωνο στην πραγματικότητα

Αυτός ο αριθμός έχει γίνει ευρέως διαδεδομένος στην πραγματικότητα. Τα τρίγωνα χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό και την τεχνολογία, επομένως ο υπολογισμός του εμβαδού μιας φιγούρας πρέπει να γίνεται από μηχανικούς, αρχιτέκτονες και σχεδιαστές. Οι βάσεις των τετραέδρων ή των πρισμάτων - τρισδιάστατες φιγούρες που είναι εύκολο να συναντηθούν στην καθημερινή ζωή - έχουν σχήμα τριγώνου. Επιπλέον, ένα τετράγωνο είναι η απλούστερη αναπαράσταση ενός "επίπεδου" ορθογωνίου τριγώνου στην πραγματικότητα. Το τετράγωνο είναι ένα εργαλείο μεταλλουργίας, σχεδίασης, κατασκευής και ξυλουργικής που χρησιμοποιείται για την κατασκευή γωνιών τόσο από μαθητές όσο και από μηχανικούς.

Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος είναι μια ποσοτική εκτίμηση για το πόσο από το επίπεδο οριοθετείται από τις πλευρές του τριγώνου. Το εμβαδόν ενός συνηθισμένου τριγώνου μπορεί να βρεθεί με πέντε τρόπους, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron ή χρησιμοποιώντας μεταβλητές όπως η βάση, η πλευρά, η γωνία και η ακτίνα του εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου. Ο απλούστερος τύπος για το εμβαδόν εκφράζεται ως:

όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου, h το ύψος του.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ακόμα πιο απλός:

όπου α και β είναι τα πόδια.

Δουλεύοντας με την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τρία ζεύγη παραμέτρων:

• δύο πόδια;
• πόδι και γειτονική γωνία.
• πόδι και αντίθετη γωνία.

Σε προβλήματα ή καθημερινές καταστάσεις θα σας δοθούν διαφορετικοί συνδυασμοί μεταβλητών, επομένως αυτή η μορφή της αριθμομηχανής σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου με διάφορους τρόπους. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Κεραμικό πλακάκι

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να καλύψετε τους τοίχους της κουζίνας με κεραμικά πλακάκια, τα οποία έχουν σχήμα ορθογώνιου τριγώνου. Για να προσδιορίσετε την κατανάλωση πλακιδίων, πρέπει να μάθετε την περιοχή ενός στοιχείου επένδυσης και τη συνολική επιφάνεια της επιφάνειας που υποβάλλεται σε επεξεργασία. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επεξεργαστείτε 7 τετραγωνικά μέτρα. Το μήκος των ποδιών ενός στοιχείου είναι 19 cm, τότε η περιοχή του πλακιδίου θα είναι ίση με:

Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή ενός στοιχείου είναι 24,5 τετραγωνικά εκατοστά ή 0,01805 τετραγωνικά μέτρα. Γνωρίζοντας αυτές τις παραμέτρους, μπορείτε να υπολογίσετε ότι για να τελειώσετε 7 τετραγωνικά μέτρα τοίχου θα χρειαστείτε 7/0,01805 = 387 στοιχεία από πλακάκια πρόσοψης.

Σχολική εργασία

Ας πούμε ότι σε ένα πρόβλημα σχολικής γεωμετρίας πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, γνωρίζοντας μόνο ότι η πλευρά του ενός ποδιού είναι 5 cm και η αντίθετη γωνία είναι 30 μοίρες. Η ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή συνοδεύεται από μια εικόνα που δείχνει τις πλευρές και τις γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου. Αν πλευρά a = 5 cm, τότε η αντίθετη γωνία της είναι γωνία άλφα, ίση με 30 μοίρες. Εισαγάγετε αυτά τα δεδομένα στη φόρμα αριθμομηχανής και λάβετε το αποτέλεσμα:

Έτσι, η αριθμομηχανή όχι μόνο υπολογίζει την περιοχή ενός δεδομένου τριγώνου, αλλά καθορίζει επίσης το μήκος του διπλανού σκέλους και της υποτείνουσας, καθώς και την τιμή της δεύτερης γωνίας.

συμπέρασμα

Τα ορθογώνια τρίγωνα βρίσκονται στη ζωή μας κυριολεκτικά σε κάθε γωνία. Ο προσδιορισμός της περιοχής τέτοιων σχημάτων θα σας είναι χρήσιμος όχι μόνο κατά την επίλυση σχολικών εργασιών στη γεωμετρία, αλλά και σε καθημερινές και επαγγελματικές δραστηριότητες.

Τύπος περιοχήςείναι απαραίτητο για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός σχήματος, το οποίο είναι μια συνάρτηση με πραγματική αξία που ορίζεται σε μια συγκεκριμένη κατηγορία ψηφίων του ευκλείδειου επιπέδου και ικανοποιεί 4 συνθήκες:

1. Θετικότητα - Η περιοχή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από το μηδέν.
2. Κανονικοποίηση - ένα τετράγωνο με πλευρική μονάδα έχει εμβαδόν 1.
3. Συμφωνία - τα ομοιόμορφα σχήματα έχουν ίσο εμβαδόν.
4. Προσθετικότητα - το εμβαδόν της ένωσης 2 ψηφίων χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους. Μια ορθή γωνία σε οποιοδήποτε σχήμα προσθέτει ιδιότητες σε αυτό και αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σωστή και γρήγορη επίλυση προβλημάτων.

Ορθογώνιο τρίγωνο

Αρχικά, ας συζητήσουμε το ίδιο το ορθογώνιο τρίγωνο, τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές του. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που περιέχει μια γωνία.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο δεν μπορεί να είναι αμβλύ, γιατί τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα ξεπεράσει τις 180 μοίρες και αυτό είναι αδύνατο.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, δύο από τα τρία υψόμετρα συμπίπτουν με τις πλευρές - τα πόδια. Για τον ίδιο λόγο, το σημείο τομής των υψομέτρων ενός ορθογωνίου τριγώνου συμπίπτει με την κορυφή σε ορθή γωνία.

Ρύζι. 1. Όλα τα ύψη ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Το ίδιο σημείο θα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται συνήθως χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο, ως το ήμισυ του γινόμενου της βάσης και του ύψους που τραβιέται σε αυτή τη βάση.

$$S=(1\over2)*a*h$$

Μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ως το μισό γινόμενο των πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους:

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Υπάρχουν πολύπλοκοι τύποι για την εύρεση της περιοχής, αλλά χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου βρίσκεται χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις αυτοί οι τύποι μπορούν να απλοποιηθούν.

Για παράδειγμα, μπορείτε να εκμεταλλευτείτε το γεγονός ότι τα υψόμετρα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο συμπίπτουν με τα σκέλη. Τότε ο τυπικός τύπος γίνεται:

$S=(1\over2)*a*b$, όπου a και b είναι τα σκέλη ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Αυτός είναι ένας από τους απλούστερους τύπους για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ας προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε τον δεύτερο τύπο.

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Αν θυμηθούμε ότι το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Στην περίπτωσή μας, συμβολίζουμε το αντίθετο σκέλος ως το γράμμα f, επειδή το a είναι ένα διπλανό σκέλος και μια οξεία γωνία μπορεί να γίνει μόνο μεταξύ του σκέλους και της υποτείνουσας. Άρα το b είναι η υποτείνουσα.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - όλα αποδεικνύονται τον ίδιο τύπο.

Ρύζι. 2. Εξαγωγή συμπερασμάτων.

Αυτό σημαίνει ότι εκτελέσαμε σωστά το πρώτο συμπέρασμα και ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μόνο έναν ειδικό τύπο για την εύρεση του εμβαδού. Εάν δεν λειτουργεί, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε γενικούς τύπους. Αυτοί είναι δύο πιθανοί τρόποι υπολογισμού της περιοχής.

Για παράδειγμα, εάν η υποτείνουσα είναι γνωστή σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, τότε μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε το ύψος που πέφτει στην υποτείνουσα και να προσδιορίσετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο. Χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή, μπορείτε να βρείτε την περιοχή μέσω του ημιτονοειδούς αν η υπόταση και το πόδι είναι γνωστά.

Ρύζι. 3. Υψόμετρο που τραβιέται στην υποτείνουσα.

Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι κάθε πρόβλημα έχει πάντα 3 λύσεις και λύστε την καθεμία με τον πιο βολικό τρόπο.

Τι μάθαμε;

Μιλήσαμε για ορθογώνια τρίγωνα και αντλήσαμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας τα σκέλη. Συζητήσαμε τους γενικούς τύπους για το εμβαδόν των τριγώνων και είπαμε ότι καθένας από αυτούς τους τύπους θα λειτουργούσε για την επίλυση ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Δοκιμή για το θέμα

Βαθμολογία άρθρου

Μέση βαθμολογία: 4.5. Συνολικές βαθμολογίες που ελήφθησαν: 115.

Στο μάθημα της γεωμετρίας στο γυμνάσιο, όλοι μας είπαν για τρίγωνα. Ωστόσο, ως μέρος του σχολικού προγράμματος σπουδών, λαμβάνουμε μόνο τις πιο απαραίτητες γνώσεις και μαθαίνουμε τις πιο κοινές και τυπικές μεθόδους υπολογισμού. Υπάρχουν ασυνήθιστοι τρόποι εύρεσης αυτής της ποσότητας;

Ως εισαγωγή, ας θυμηθούμε ποιο τρίγωνο θεωρείται ορθογώνιο και ας ορίσουμε επίσης την έννοια του εμβαδού.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα κλειστό γεωμετρικό σχήμα, του οποίου μία από τις γωνίες είναι ίση με 90 0. Ολοκληρωμένες έννοιες στον ορισμό είναι τα πόδια και η υποτείνουσα. Πόδια σημαίνει δύο πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία στο σημείο σύνδεσης. Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι ισοσκελές (οι δύο πλευρές του θα έχουν το ίδιο μέγεθος), αλλά ποτέ δεν θα είναι ισόπλευρο (όλες οι πλευρές θα έχουν το ίδιο μήκος). Δεν θα συζητήσουμε λεπτομερώς τους ορισμούς του ύψους, της διάμεσης, των διανυσμάτων και άλλων μαθηματικών όρων. Είναι εύκολο να βρεθούν σε βιβλία αναφοράς.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου. Σε αντίθεση με τα ορθογώνια, ο κανόνας για

το έργο των μερών στον καθορισμό δεν ισχύει. Αν μιλάμε με ξηρούς όρους, τότε το εμβαδόν ενός τριγώνου νοείται ως η ιδιότητα αυτού του σχήματος να καταλαμβάνει ένα μέρος του επιπέδου, που εκφράζεται με έναν αριθμό. Αρκετά δυσνόητο, θα συμφωνήσετε. Ας μην προσπαθήσουμε να εμβαθύνουμε στον ορισμό αυτό δεν είναι ο στόχος μας. Ας προχωρήσουμε στο κύριο πράγμα - πώς να βρείτε την περιοχή ενός ορθογώνιου τριγώνου; Δεν θα εκτελέσουμε τους ίδιους τους υπολογισμούς, θα υποδείξουμε μόνο τους τύπους. Για να γίνει αυτό, ας ορίσουμε τον συμβολισμό: A, B, C - πλευρές του τριγώνου, σκέλη - AB, BC. Η γωνία ACB είναι ευθεία. S είναι το εμβαδόν του τριγώνου, h n είναι το ύψος του τριγώνου, όπου nn είναι η πλευρά στην οποία είναι χαμηλωμένο.

Μέθοδος 1. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου εάν είναι γνωστό το μέγεθος των ποδιών του

Μέθοδος 2. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου

Μέθοδος 3. Υπολογισμός εμβαδού χρησιμοποιώντας ορθογώνιο

Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο τρίγωνο σε τετράγωνο (αν το τρίγωνο

ισοσκελές) ή ορθογώνιο. Παίρνουμε ένα απλό τετράπλευρο που αποτελείται από 2 ίδια ορθογώνια τρίγωνα. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν ενός από αυτά θα είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του σχήματος που προκύπτει. Το S ενός ορθογωνίου υπολογίζεται από το γινόμενο των πλευρών. Ας υποδηλώσουμε αυτήν την τιμή M. Η επιθυμητή τιμή επιφάνειας θα είναι ίση με το μισό M.

Μέθοδος 4. «Πυθαγόρειο παντελόνι». Το περίφημο Πυθαγόρειο θεώρημα

Όλοι θυμόμαστε τη διατύπωσή του: «το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών...». Αλλά δεν μπορούν όλοι

πες, τι σχέση έχουν κάποια «παντελόνια»; Γεγονός είναι ότι ο Πυθαγόρας αρχικά μελέτησε τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Έχοντας εντοπίσει μοτίβα στην αναλογία των πλευρών των τετραγώνων, μπόρεσε να βγάλει έναν τύπο γνωστό σε όλους μας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε περιπτώσεις όπου το μέγεθος μιας από τις πλευρές είναι άγνωστο.

Μέθοδος 5. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron

Αυτή είναι επίσης μια αρκετά απλή μέθοδος υπολογισμού. Ο τύπος περιλαμβάνει την έκφραση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω των αριθμητικών τιμών των πλευρών του. Για υπολογισμούς, πρέπει να γνωρίζετε τα μεγέθη όλων των πλευρών του τριγώνου.

S = (p-AC)*(p-BC), όπου p = (AB+BC+AC)*0,5

Εκτός από τα παραπάνω, υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι για να βρείτε το μέγεθος μιας τόσο μυστηριώδους φιγούρας όπως ένα τρίγωνο. Μεταξύ αυτών: υπολογισμός με τη μέθοδο του εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου, υπολογισμός με χρήση συντεταγμένων κορυφών, χρήση διανυσμάτων, απόλυτη τιμή, ημίτονο, εφαπτόμενες.

Στη στοιχειώδη γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία τμήματα συνδεδεμένα σε σημεία, με γωνίες δύο από τις οποίες είναι οξείες και μία ευθεία (δηλαδή ίση με 90°). Ορθογώνιο τρίγωνοχαρακτηρίζεται από μια σειρά από σημαντικές ιδιότητες, πολλές από τις οποίες αποτελούν τη βάση της τριγωνομετρίας (για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών του). Από το σχολείο όλοι ξέρουμε να υπολογίζουμε εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου, και στην καθημερινή ζωή συναντάμε αυτό το γεωμετρικό σχήμα αρκετά συχνά, μερικές φορές χωρίς καν να το προσέξουμε. Βρίσκει αρκετά ευρεία εφαρμογή στην τεχνολογία και ως εκ τούτου μηχανικοί, σχεδιαστές και αρχιτέκτονες πρέπει συχνά να λύσουν ένα τέτοιο πρόβλημα.

Οι αρχιτέκτονες πρέπει να προσδιορίσουν αυτή την τιμή όταν σχεδιάζουν κτίρια με αετώματα, τα οποία αποτελούν την ολοκλήρωση των προσόψεων και έχουν τριγωνικό σχήμαπου οριοθετείται από γείσο και στα πλάγια από πλαγιές στέγης. Συχνά η γωνία μεταξύ των πλαγιών είναι ευθεία και σε τέτοιες περιπτώσεις το αέτωμα έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η έκτασή του για τον απλούστατο λόγο ότι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ακριβώς την ποσότητα του οικοδομικού υλικού που απαιτείται για τη διαρρύθμισή του. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα αετώματα είναι υποχρεωτικά στοιχεία χαμηλών κτιρίων (εξοχικές κατοικίες, εξοχικές κατοικίες, κατοικίες).

Εύρεση του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου

ένα- πόδι

σι- πόδι

μικρό- εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Μορφή ορθογώνιο τρίγωνοέχουν πολλές από τις λεπτομέρειες από τις οποίες κατασκευάζονται τα μοντέρνα έπιπλα. Όπως γνωρίζετε, για να γίνει η πιο αποτελεσματική χρήση του χώρου του δωματίου, όλα τα στοιχεία της επίπλωσης πρέπει να τοποθετηθούν σε αυτό με τον βέλτιστο τρόπο. Μπορείτε να κάνετε καλή χρήση περιοχών όπως γωνίες χρησιμοποιώντας τραπέζια τριγωνικού σχήματος, οι κορυφές των οποίων στις περισσότερες περιπτώσεις είναι ορθογώνια τρίγωνα με πόδια δίπλα στους τοίχους. Κατά το σχεδιασμό και τον υπολογισμό αυτών των στοιχείων, οι σχεδιαστές παραγωγής επίπλων χρησιμοποιούν τον τύπο σύμφωνα με τον οποίο βρίσκοντας το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνουπραγματοποιείται με βάση το μήκος των πλευρών του. Επιπλέον, συχνά πρέπει να αναπτύξουν σχέδια για τραπέζια που συνδέονται απευθείας στους τοίχους, τα οποία περιλαμβάνουν στοιχεία στήριξης, τα οποία αντιπροσωπεύουν επίσης ορθογώνια τρίγωνα.

Οι οικοδόμοι που ασχολούνται συχνά με εργασίες αντιστάθμισης στις επαγγελματικές τους δραστηριότητες πρέπει να χρησιμοποιούν κεραμικά πλακίδια σε σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με πόδια του ίδιου ή διαφορετικού μήκους. Πρέπει επίσης να καθορίσουν την περιοχή αυτών των στοιχείων για να μάθουν τον απαιτούμενο αριθμό.

Μορφή ορθογώνιο τρίγωνοΈχει επίσης ένα τόσο σημαντικό και απαραίτητο εργαλείο μέτρησης όπως ένα τετράγωνο. Χρησιμοποιείται για την κατασκευή και τον έλεγχο ορθών γωνιών και χρησιμοποιείται πολύ ευρέως και από πολλούς: από απλούς μαθητές στα μαθήματα γεωμετρίας έως σχεδιαστές τεχνολογίας αιχμής.