Πώς υπολογίζεται η παράγωγος ενός προϊόντος και η παράγωγος ενός πηλίκου; Τύποι παραγώγων Τύπος για την εύρεση της παραγώγου του γινομένου δύο συναρτήσεων

Σε αυτό το μάθημα, συνεχίζουμε να μελετάμε τις παραγώγους των συναρτήσεων και να προχωρήσουμε σε ένα πιο προχωρημένο θέμα, δηλαδή τις παράγωγες προϊόντων και πηλίκων. Εάν παρακολουθήσατε το προηγούμενο μάθημα, πιθανότατα συνειδητοποιήσατε ότι εξετάσαμε μόνο τις απλούστερες κατασκευές, δηλαδή την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος, το άθροισμα και τη διαφορά. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμά τους και η παράγωγος μιας διαφοράς είναι ίση, αντίστοιχα, με τη διαφορά τους. Δυστυχώς, στην περίπτωση των παραγώγων πηλίκου και προϊόντος, οι τύποι θα είναι πολύ πιο περίπλοκοι. Θα ξεκινήσουμε με τον τύπο για την παράγωγο ενός γινομένου συναρτήσεων.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ξεκινώντας, επιτρέψτε μου να κάνω μια μικρή λυρική παρέκβαση. Το γεγονός είναι ότι εκτός από την τυπική συνάρτηση ισχύος - $y=((x)^(n))$, σε αυτό το μάθημα θα συναντήσουμε και άλλες συναρτήσεις, δηλαδή, $y=\sin x$, καθώς και $ y=\ cos x$ και άλλη τριγωνομετρία - $y=tgx$ και, φυσικά, $y=ctgx$.

Αν όλοι γνωρίζουμε πολύ καλά την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος, δηλαδή $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, τότε όσο για τριγωνομετρικές συναρτήσεις , πρέπει να αναφέρονται χωριστά. Ας το γράψουμε:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Αλλά ξέρετε πολύ καλά αυτούς τους τύπους, ας προχωρήσουμε.

Τι είναι το παράγωγο ενός προϊόντος;

Πρώτον, το πιο σημαντικό πράγμα: εάν μια συνάρτηση είναι το γινόμενο δύο άλλων συναρτήσεων, για παράδειγμα, $f\cdot g$, τότε η παράγωγος αυτής της κατασκευής θα είναι ίση με την ακόλουθη έκφραση:

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο τύπος είναι σημαντικά διαφορετικός και πιο περίπλοκος από τους τύπους που εξετάσαμε νωρίτερα. Για παράδειγμα, η παράγωγος ενός αθροίσματος υπολογίζεται με στοιχειώδη τρόπο - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ή η παράγωγος του μια διαφορά, η οποία υπολογίζεται επίσης με στοιχειώδη τρόπο - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τον πρώτο τύπο για να υπολογίσουμε τις παραγώγους των δύο συναρτήσεων που μας δίνονται στο πρόβλημα. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο παράδειγμα:

Προφανώς, η ακόλουθη κατασκευή λειτουργεί ως γινόμενο, ή πιο συγκεκριμένα, ως πολλαπλασιαστής: $((x)^(3))$, μπορούμε να το θεωρήσουμε ως $f$ και $\left(x-5 \right) $ μπορούμε να θεωρήσουμε ως $g$. Τότε το προϊόν τους θα είναι ακριβώς το γινόμενο δύο συναρτήσεων. Εμείς αποφασίζουμε:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \δεξιά))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ δεξιά))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(στοίχιση)\].

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε έναν από τους όρους μας. Βλέπουμε ότι τόσο ο πρώτος όσο και ο δεύτερος όρος περιέχουν τον βαθμό $x$: στην πρώτη περίπτωση είναι $((x)^(2))$, και στη δεύτερη είναι $((x)^(3)) $. Ας βγάλουμε τον μικρότερο βαθμό από αγκύλες, αφήνοντας μέσα σε αγκύλες:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(στοίχιση)\]

Αυτό ήταν, βρήκαμε την απάντηση.

Ας επιστρέψουμε στα προβλήματά μας και ας προσπαθήσουμε να λύσουμε:

Λοιπόν, ας ξαναγράψουμε:

Και πάλι, σημειώνουμε ότι μιλάμε για το γινόμενο δύο συναρτήσεων: $x$, που μπορεί να συμβολιστεί με $f$, και $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, που μπορεί συμβολίζεται με $g$.

Έτσι, έχουμε πάλι μπροστά μας το γινόμενο δύο συναρτήσεων. Για να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης $f\left(x \right)$ θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τον τύπο μας. Παίρνουμε:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \δεξιά))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(στοίχιση)\]

Η απάντηση βρέθηκε.

Γιατί παράγωγα παραγόντων;

Μόλις χρησιμοποιήσαμε αρκετά πολύ σημαντικά μαθηματικά γεγονότα, τα οποία από μόνα τους δεν σχετίζονται με παράγωγα, αλλά εν αγνοία τους, όλη η περαιτέρω μελέτη αυτού του θέματος απλά δεν έχει νόημα.

Πρώτον, λύνοντας το πρώτο πρόβλημα και έχοντας ήδη απαλλαγεί από όλα τα σημάδια των παραγώγων, για κάποιο λόγο αρχίσαμε να συνυπολογίζουμε αυτήν την έκφραση.

Δεύτερον, κατά την επίλυση του παρακάτω προβλήματος, περάσαμε πολλές φορές από τη ρίζα στη δύναμη με ορθολογικό εκθέτη και πίσω, ενώ χρησιμοποιούσαμε τον τύπο 8-9ου βαθμού, που θα άξιζε να επαναληφθεί ξεχωριστά.

Σχετικά με την παραγοντοποίηση - γιατί χρειάζονται όλες αυτές οι πρόσθετες προσπάθειες και μετασχηματισμοί; Στην πραγματικότητα, εάν το πρόβλημα λέει απλώς "βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης", τότε αυτά τα πρόσθετα βήματα δεν απαιτούνται. Ωστόσο, σε πραγματικά προβλήματα που σας περιμένουν σε κάθε είδους εξετάσεις και τεστ, η απλή εύρεση του παραγώγου συχνά δεν αρκεί. Το γεγονός είναι ότι η παράγωγος είναι μόνο ένα εργαλείο με το οποίο μπορείτε να μάθετε, για παράδειγμα, την αύξηση ή τη μείωση μιας συνάρτησης, και γι 'αυτό πρέπει να λύσετε την εξίσωση και να την παραμετροποιήσετε. Και εδώ είναι που αυτή η τεχνική θα είναι πολύ κατάλληλη. Και γενικά, είναι πολύ πιο βολικό και ευχάριστο να δουλεύεις με μια συνάρτηση που θα παραγοντοποιηθεί στο μέλλον, εάν απαιτούνται μετασχηματισμοί. Επομένως, κανόνας Νο. 1: εάν το παράγωγο μπορεί να παραγοντοποιηθεί, αυτό πρέπει να κάνετε. Και αμέσως ο κανόνας Νο. 2 (στην πραγματικότητα, αυτό είναι υλικό για την 8η-9η τάξη): αν το πρόβλημα περιέχει ρίζα n-ο βαθμό, και η ρίζα είναι σαφώς μεγαλύτερη από δύο, τότε αυτή η ρίζα μπορεί να αντικατασταθεί από έναν συνηθισμένο βαθμό με έναν ορθολογικό εκθέτη και ένα κλάσμα θα εμφανιστεί στον εκθέτη, όπου n― αυτός ακριβώς ο βαθμός ― θα είναι στον παρονομαστή αυτού του κλάσματος.

Φυσικά, αν υπάρχει κάποιος βαθμός κάτω από τη ρίζα (στην περίπτωσή μας αυτός είναι ο βαθμός κ), τότε δεν πάει πουθενά, αλλά απλώς καταλήγει στον αριθμητή αυτού του βαθμού.

Τώρα που τα καταλάβατε όλα αυτά, ας επιστρέψουμε στις παράγωγες του προϊόντος και ας υπολογίσουμε μερικές ακόμη εξισώσεις.

Αλλά πριν προχωρήσουμε απευθείας στους υπολογισμούς, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω τα ακόλουθα μοτίβα:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Ας εξετάσουμε το πρώτο παράδειγμα:

Έχουμε πάλι ένα γινόμενο δύο συναρτήσεων: η πρώτη είναι $f$, η δεύτερη είναι $g$. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον τύπο:

\[((\αριστερά(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Ας αποφασίσουμε:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\αριστερά(3\sin x+x\cdot \cos x \δεξιά) \\\end(στοίχιση)\]

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη συνάρτηση:

Και πάλι, το $\left(3x-2 \right)$ είναι συνάρτηση του $f$, το $\cos x$ είναι μια συνάρτηση του $g$. Συνολικά, η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων θα είναι ίση με:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ αριστερά(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\αριστερά(3x-2 \δεξιά)\cdot \sin x \\\end(στοίχιση)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Ας το γράψουμε ξεχωριστά:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end (στοίχιση)\]

Δεν παραγοντοποιούμε αυτήν την έκφραση, γιατί αυτή δεν είναι ακόμα η τελική απάντηση. Τώρα πρέπει να λύσουμε το δεύτερο μέρος. Ας το γράψουμε:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\αριστερά(\sin x \δεξιά))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(στοίχιση)\]

Τώρα ας επιστρέψουμε στην αρχική μας εργασία και ας τα βάλουμε όλα μαζί σε μια ενιαία δομή:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end (στοίχιση)\]

Αυτό είναι, αυτή είναι η τελική απάντηση.

Ας προχωρήσουμε στο τελευταίο παράδειγμα - θα είναι το πιο περίπλοκο και ογκώδες από πλευράς υπολογισμών. Λοιπόν, ένα παράδειγμα:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Μετράμε κάθε μέρος ξεχωριστά:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left((x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(στοίχιση)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Επιστρέφοντας στην αρχική συνάρτηση, ας υπολογίσουμε την παράγωγό της ως σύνολο:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω για τα παράγωγα έργα. Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο πρόβλημα με τον τύπο δεν είναι στην απομνημόνευσή του, αλλά στο γεγονός ότι περιλαμβάνει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό υπολογισμών. Αλλά αυτό είναι εντάξει, γιατί τώρα προχωράμε στην παράγωγο πηλίκου, όπου θα πρέπει να δουλέψουμε πολύ σκληρά.

Ποια είναι η παράγωγος ενός πηλίκου;

Άρα, ο τύπος για την παράγωγο του πηλίκου. Αυτή είναι ίσως η πιο σύνθετη φόρμουλα στο σχολικό μάθημα για τα παράγωγα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση της μορφής $\frac(f)(g)$, όπου οι $f$ και $g$ είναι επίσης συναρτήσεις από τις οποίες μπορούμε επίσης να αφαιρέσουμε τον πρώτο. Στη συνέχεια θα υπολογιστεί σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:

Ο αριθμητής μας θυμίζει κάπως τον τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος, αλλά υπάρχει ένα σύμβολο μείον μεταξύ των όρων και το τετράγωνο του αρχικού παρονομαστή έχει επίσης προστεθεί στον παρονομαστή. Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό στην πράξη:

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\αριστερά (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(\prime )))((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2)))\]

Προτείνω να γράψετε κάθε μέρος ξεχωριστά και να σημειώσετε:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left((x)^(2)) \ δεξιά))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(στοίχιση)\]

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\αριστερά(x+2 \δεξιά ))^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Βρήκαμε την απάντηση. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη συνάρτηση:

Κρίνοντας από το γεγονός ότι ο αριθμητής του είναι απλώς ένας, οι υπολογισμοί εδώ θα είναι λίγο πιο απλοί. Ας γράψουμε λοιπόν:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\αριστερά(((x)^(2))+4 \δεξιά))^(2)))\]

Ας υπολογίσουμε κάθε μέρος του παραδείγματος ξεχωριστά:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \δεξιά))^(2)))=-\frac(2x)((\αριστερά(((x)^(2))+4 \δεξιά))^(2)))\]

Βρήκαμε την απάντηση. Όπως ήταν αναμενόμενο, το ποσό του υπολογισμού αποδείχθηκε σημαντικά μικρότερο από ό,τι για την πρώτη συνάρτηση.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των ονομασιών;

Οι προσεκτικοί μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μια ερώτηση: γιατί σε ορισμένες περιπτώσεις συμβολίζουμε τη συνάρτηση ως $f\left(x \right)$ και σε άλλες περιπτώσεις γράφουμε απλώς $y$; Στην πραγματικότητα, από την άποψη των μαθηματικών, δεν υπάρχει καμία απολύτως διαφορά - έχετε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσετε τόσο τον πρώτο προσδιορισμό όσο και τον δεύτερο, και δεν θα υπάρχουν κυρώσεις σε εξετάσεις ή τεστ. Για όσους εξακολουθούν να ενδιαφέρονται, θα εξηγήσω γιατί οι συγγραφείς σχολικών βιβλίων και προβλημάτων σε ορισμένες περιπτώσεις γράφουν $f\left(x \right)$ και σε άλλες (πολύ συχνότερα) - απλά $y$. Το γεγονός είναι ότι γράφοντας μια συνάρτηση με τη μορφή \, υπονοούμε σιωπηρά σε όσους διαβάζουν τους υπολογισμούς μας ότι μιλάμε συγκεκριμένα για την αλγεβρική ερμηνεία της συναρτησιακής εξάρτησης. Δηλαδή, υπάρχει μια συγκεκριμένη μεταβλητή $x$, θεωρούμε την εξάρτηση από αυτή τη μεταβλητή και τη συμβολίζουμε $f\left(x \right)$. Ταυτόχρονα, έχοντας δει έναν τέτοιο προσδιορισμό, αυτός που διαβάζει τους υπολογισμούς σας, για παράδειγμα, ο επιθεωρητής, θα περιμένει υποσυνείδητα ότι στο μέλλον τον περιμένουν μόνο αλγεβρικοί μετασχηματισμοί - χωρίς γραφήματα και χωρίς γεωμετρία.

Από την άλλη, χρησιμοποιώντας συμβολισμούς της μορφής \, δηλαδή, δηλώνοντας μια μεταβλητή με ένα μόνο γράμμα, ξεκαθαρίζουμε αμέσως ότι στο μέλλον μας ενδιαφέρει η γεωμετρική ερμηνεία της συνάρτησης, δηλ. μας ενδιαφέρει, πρώτα όλα, στο γράφημα του. Αντίστοιχα, όταν βρίσκεται αντιμέτωπος με μια καταγραφή της φόρμας, ο αναγνώστης έχει το δικαίωμα να αναμένει γραφικούς υπολογισμούς, δηλαδή γραφήματα, κατασκευές κ.λπ., αλλά, σε καμία περίπτωση, αναλυτικούς μετασχηματισμούς.

Θα ήθελα επίσης να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα χαρακτηριστικό του σχεδιασμού των εργασιών που εξετάζουμε σήμερα. Πολλοί μαθητές πιστεύουν ότι δίνω πολύ λεπτομερείς υπολογισμούς και πολλοί από αυτούς θα μπορούσαν να παραβλεφθούν ή απλά να λυθούν στο μυαλό τους. Ωστόσο, είναι ακριβώς ένα τόσο λεπτομερές αρχείο που θα σας επιτρέψει να απαλλαγείτε από επιθετικά λάθη και να αυξήσετε σημαντικά το ποσοστό των σωστά λυμένων προβλημάτων, για παράδειγμα, στην περίπτωση της αυτο-προετοιμασίας για τεστ ή εξετάσεις. Επομένως, εάν δεν είστε ακόμα σίγουροι για τις ικανότητές σας, εάν μόλις αρχίζετε να μελετάτε αυτό το θέμα, μην βιαστείτε - περιγράψτε κάθε βήμα λεπτομερώς, σημειώστε κάθε παράγοντα, κάθε εγκεφαλικό επεισόδιο και πολύ σύντομα θα μάθετε να λύνετε καλύτερα τέτοια παραδείγματα από πολλούς δασκάλους. Ελπίζω ότι αυτό είναι ξεκάθαρο. Ας μετρήσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

Αρκετές ενδιαφέρουσες εργασίες

Αυτή τη φορά, όπως βλέπουμε, υπάρχει τριγωνομετρία στις παραγώγους που υπολογίζονται. Επιτρέψτε μου λοιπόν να σας υπενθυμίσω τα εξής:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Φυσικά, δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς την παράγωγο του πηλίκου, δηλαδή:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Ας εξετάσουμε την πρώτη συνάρτηση:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \δεξιά))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Βρήκαμε λοιπόν μια λύση σε αυτή την έκφραση.

Ας προχωρήσουμε στο δεύτερο παράδειγμα:

Προφανώς, η παράγωγός της θα είναι πιο σύνθετη, έστω και μόνο επειδή η τριγωνομετρία υπάρχει και στον αριθμητή και στον παρονομαστή αυτής της συνάρτησης. Εμείς αποφασίζουμε:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Σημειώστε ότι έχουμε ένα παράγωγο του προϊόντος. Στην περίπτωση αυτή θα ισούται με:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ δεξιά))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Ας επιστρέψουμε στους υπολογισμούς μας. Καταγράφουμε:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \δεξιά))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Κάναμε τα μαθηματικά.

Πώς να μειώσετε την παράγωγο ενός πηλίκου σε έναν απλό τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος;

Και εδώ θα ήθελα να κάνω μια πολύ σημαντική παρατήρηση σχετικά με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το γεγονός είναι ότι η αρχική μας κατασκευή περιέχει μια έκφραση της μορφής $\frac(\sin x)(\cos x)$, η οποία μπορεί εύκολα να αντικατασταθεί απλά από $tgx$. Έτσι, ανάγουμε την παράγωγο ενός πηλίκου σε έναν απλούστερο τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος. Ας υπολογίσουμε ξανά αυτό το παράδειγμα και ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Τώρα λοιπόν πρέπει να λάβουμε υπόψη τα εξής:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Ας ξαναγράψουμε την αρχική μας συνάρτηση $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός. Παίρνουμε:

Ας μετρήσουμε:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(στοίχιση) \]

Τώρα, αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα που λάβαμε με αυτό που λάβαμε νωρίτερα κατά τον υπολογισμό με διαφορετικό τρόπο, θα πειστούμε ότι έχουμε λάβει την ίδια έκφραση. Έτσι, όποια κατεύθυνση κι αν ακολουθήσουμε κατά τον υπολογισμό της παραγώγου, αν όλα υπολογιστούν σωστά, τότε η απάντηση θα είναι η ίδια.

Σημαντικές αποχρώσεις κατά την επίλυση προβλημάτων

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να σας πω μια ακόμη λεπτότητα που σχετίζεται με τον υπολογισμό της παραγώγου ενός πηλίκου. Αυτό που θα σας πω τώρα δεν ήταν στο αρχικό σενάριο του μαθήματος βίντεο. Ωστόσο, μια-δυο ώρες πριν από τα γυρίσματα, μελετούσα με έναν από τους μαθητές μου και απλώς συζητούσαμε το θέμα των παραγώγων πηλίκων. Και, όπως αποδείχθηκε, πολλοί μαθητές δεν καταλαβαίνουν αυτό το σημείο. Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε το stroke αφαίρεσης της ακόλουθης συνάρτησης:

Κατ 'αρχήν, με την πρώτη ματιά δεν υπάρχει τίποτα υπερφυσικό σε αυτό. Ωστόσο, στη διαδικασία υπολογισμού μπορούμε να κάνουμε πολλά ανόητα και προσβλητικά λάθη, τα οποία θα ήθελα να συζητήσουμε τώρα.

Έτσι, υπολογίζουμε αυτήν την παράγωγο. Πρώτα απ 'όλα, σημειώνουμε ότι έχουμε τον όρο $3((x)^(2))$, επομένως είναι σκόπιμο να υπενθυμίσουμε τον ακόλουθο τύπο:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Επιπλέον, έχουμε τον όρο $\frac(48)(x)$ - θα τον αντιμετωπίσουμε μέσω της παραγώγου του πηλίκου, δηλαδή:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Λοιπόν, ας αποφασίσουμε:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \δεξιά)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τον πρώτο όρο, βλ.

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Αλλά με τον πρώτο όρο, $\frac(48)(x)$, πρέπει να εργαστείτε ξεχωριστά. Το γεγονός είναι ότι πολλοί μαθητές συγχέουν την κατάσταση όταν πρέπει να βρουν το $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ και όταν πρέπει να βρουν το $((\left (\frac (48)(x) \δεξιά))^(\prime ))$. Δηλαδή, μπερδεύονται όταν η σταθερά είναι στον παρονομαστή και όταν η σταθερά είναι στον αριθμητή, αντίστοιχα, όταν η μεταβλητή είναι στον αριθμητή ή στον παρονομαστή.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη επιλογή:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Από την άλλη, αν προσπαθήσουμε να κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα, θα έχουμε το εξής:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Ωστόσο, το ίδιο παράδειγμα θα μπορούσε να υπολογιστεί διαφορετικά: στο στάδιο που περάσαμε στην παράγωγο του πηλίκου, μπορούμε να θεωρήσουμε το $\frac(1)(x)$ ως δύναμη με αρνητικό εκθέτη, δηλ. παίρνουμε το εξής :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \δεξιά))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Και έτσι, και έτσι λάβαμε την ίδια απάντηση.

Έτσι, πειστήκαμε και πάλι για δύο σημαντικά δεδομένα. Πρώτον, η ίδια παράγωγος μπορεί να υπολογιστεί με εντελώς διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, το $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ μπορεί να θεωρηθεί τόσο ως παράγωγος ενός πηλίκου όσο και ως παράγωγος μιας συνάρτησης ισχύος. Επιπλέον, εάν όλοι οι υπολογισμοί εκτελούνται σωστά, τότε η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια. Δεύτερον, κατά τον υπολογισμό των παραγώγων που περιέχουν και μια μεταβλητή και μια σταθερά, είναι θεμελιωδώς σημαντικό πού βρίσκεται η μεταβλητή - στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Στην πρώτη περίπτωση, όταν η μεταβλητή είναι στον αριθμητή, παίρνουμε μια απλή γραμμική συνάρτηση που μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Και αν η μεταβλητή είναι στον παρονομαστή, τότε παίρνουμε μια πιο σύνθετη έκφραση με τους συνοδευτικούς υπολογισμούς που δόθηκαν προηγουμένως.

Σε αυτό το σημείο, το μάθημα μπορεί να θεωρηθεί ολοκληρωμένο, οπότε αν δεν καταλαβαίνετε τίποτα για τα παράγωγα ενός πηλίκου ή ενός προϊόντος και γενικά, εάν έχετε ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα, μη διστάσετε - μεταβείτε στον ιστότοπό μου , γράψε, τηλεφώνησε και σίγουρα θα προσπαθήσω να σε βοηθήσω.

Τα ίδια τα παράγωγα δεν είναι ένα σύνθετο θέμα, αλλά είναι πολύ εκτεταμένο και αυτό που μελετάμε τώρα θα χρησιμοποιηθεί στο μέλλον κατά την επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων. Γι' αυτό είναι προτιμότερο να εντοπίζονται αμέσως τώρα όλες οι παρεξηγήσεις που σχετίζονται με τον υπολογισμό των παραγώγων ενός πηλίκου ή ενός προϊόντος. Όχι όταν είναι μια τεράστια χιονόμπαλα παρεξήγησης, αλλά όταν είναι ένα μικρό μπαλάκι του τένις που είναι εύκολο να το αντιμετωπίσεις.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα x και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία φοιτητών. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.

Η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων εύρεσης παραγώγων των απλούστερων (και όχι πολύ απλών) συναρτήσεων ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του επιχειρήματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και επακριβώς καθορισμένοι κανόνες διαφοροποίησης . Οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων ήταν ο Isaac Newton (1643-1727) και ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Επομένως, στην εποχή μας, για να βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν χρειάζεται να υπολογίσετε το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα τα παράγωγα και οι κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.

Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το πρώτο σύμβολο αναλύει τις απλές λειτουργίες σε στοιχείακαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων στον πίνακα των παραγώγων και τους τύπους για τις παραγώγους του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου - στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο πίνακας παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.

Από τον πίνακα των παραγώγων διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του «x» ισούται με ένα, και η παράγωγος του ημιτόνου ίση με το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 2.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Διαφοροποιούμε ως παράγωγο ενός αθροίσματος στο οποίο ο δεύτερος όρος έχει σταθερό παράγοντα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Εάν εξακολουθούν να προκύπτουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, συνήθως ξεκαθαρίζονται αφού εξοικειωθείτε με τον πίνακα των παραγώγων και τους απλούστερους κανόνες διαφοροποίησης. Προχωράμε σε αυτούς αυτή τη στιγμή.

Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων

1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα ίσο με μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά
2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "Χ". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να το θυμάστε για μεγάλο χρονικό διάστημα
3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε δυνάμεις.
4. Παράγωγος μεταβλητής στην ισχύ -1
5. Παράγωγο τετραγωνικής ρίζας
6. Παράγωγο ημιτόνου
7. Παράγωγο συνημίτονου
8. Παράγωγος εφαπτομένης
9. Παράγωγο συνεφαπτομένης
10. Παράγωγο αρσινίου
11. Παράγωγο αρκοσίνης
12. Παράγωγο του arctangent
13. Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου
14. Παράγωγος του φυσικού λογάριθμου
15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
16. Παράγωγος του εκθέτη
17. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Κανόνες διαφοροποίησης

1. Παράγωγο αθροίσματος ή διαφοράς
2. Παράγωγο του προϊόντος
2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα
3. Παράγωγος του πηλίκου
4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Κανόνας 1.Εάν οι λειτουργίες

είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο, τότε οι συναρτήσεις είναι διαφοροποιήσιμες στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. η παράγωγος ενός αλγεβρικού αθροίσματος συναρτήσεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.

Συνέπεια. Αν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά σταθερό όρο, τότε οι παράγωγοί τους είναι ίσες, δηλ.

Κανόνας 2.Εάν οι λειτουργίες

είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. Η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.

Συμπέρασμα 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Συμπέρασμα 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου κάθε παράγοντα και όλων των άλλων.

Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:

Κανόνας 3.Εάν οι λειτουργίες

διαφοροποιήσιμο σε κάποιο σημείο Και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμοu/v και

εκείνοι. η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του ο πρώην αριθμητής.

Πού να αναζητήσετε πράγματα σε άλλες σελίδες

Όταν βρίσκουμε την παράγωγο ενός προϊόντος και ένα πηλίκο σε πραγματικά προβλήματα, είναι πάντα απαραίτητο να εφαρμόζουμε αρκετούς κανόνες διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα για αυτές τις παραγώγους στο άρθρο"Παράγωγο του γινομένου και πηλίκο συναρτήσεων".

Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο σε άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του ισούται με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, βγαίνει από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό είναι ένα τυπικό λάθος που συμβαίνει στο αρχικό στάδιο της μελέτης των παραγώγων, αλλά καθώς ο μέσος μαθητής λύνει πολλά παραδείγματα ενός και δύο τμημάτων, δεν κάνει πλέον αυτό το λάθος.

Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, στο οποίο u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (αυτή η περίπτωση συζητείται στο παράδειγμα 10).

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η μηχανική επίλυση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Να γιατί παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερώνεται ένα ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παραγώγους απλών συναρτήσεων.

Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς να μεταμορφώσετε εκφράσεις. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε το εγχειρίδιο σε νέα παράθυρα. Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςΚαι Πράξεις με κλάσματα .

Αν ψάχνετε για λύσεις σε παραγώγους κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , μετά ακολουθήστε το μάθημα «Παράγωγος αθροισμάτων κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».

Εάν έχετε μια εργασία όπως , τότε θα πάρετε το μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».

Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο

Παράδειγμα 3.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Ορίζουμε τα μέρη της παράστασης συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει ένα προϊόν και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντος: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις από την παράγωγο της άλλης:

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα ο δεύτερος όρος έχει πρόσημο μείον. Σε κάθε άθροισμα βλέπουμε και μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "Χ" μετατρέπεται σε ένα και το μείον 5 μετατρέπεται σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται επί 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". Λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές παραγώγων:

Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 4.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση του πηλίκου: η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστής, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:

Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή στο τρέχον παράδειγμα, λαμβάνεται με πρόσημο μείον:

Αν ψάχνετε για λύσεις σε προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και δυνάμεις, όπως, για παράδειγμα, , τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Παράγωγο αθροισμάτων κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .

Εάν πρέπει να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις παραγώγους των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , τότε ένα μάθημα για εσάς "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .

Παράδειγμα 5.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του γινομένου και της πινακοποιημένης τιμής της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Παράδειγμα 6.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση βλέπουμε ένα πηλίκο του οποίου το μέρισμα είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης των πηλίκων, που επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την πινακοποιημένη τιμή της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Για να απαλλαγείτε από ένα κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .

Τι είναι μια παράγωγη συνάρτηση - αυτή είναι μια βασική μαθηματική έννοια που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τα ολοκληρώματα στην ανάλυση. Αυτή η συνάρτηση σε ένα ορισμένο σημείο δίνει ένα χαρακτηριστικό του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.
Έννοιες όπως η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση, η πρώτη αποκρυπτογραφείται ως η ενέργεια αναζήτησης μιας παραγώγου, η δεύτερη, αντίθετα, αποκαθιστά μια συνάρτηση ξεκινώντας από μια δεδομένη παράγωγο.
Οι υπολογισμοί παραγώγων παίζουν σημαντικό ρόλο στους διαφορικούς υπολογισμούς.
Για ένα σαφές παράδειγμα, ας απεικονίσουμε την παράγωγο στο επίπεδο συντεταγμένων.

στη συνάρτηση y=f(x) καθορίζουμε σημεία M στα οποία (x0; f(X0)) και N f (x0+?x) σε κάθε τετμημένη υπάρχει μια αύξηση στη μορφή;x. Αύξηση είναι η διαδικασία όταν αλλάζει η τετμημένη, τότε αλλάζει και η τεταγμένη. Συμβολίζεται ως?y.
Ας βρούμε την εφαπτομένη της γωνίας στο τρίγωνο MPN χρησιμοποιώντας τα σημεία M και N για αυτό.

tg; = NP/MP = ?у/?x.

Καθώς το?x πηγαίνει στο 0. Η τέμνουσα MN πλησιάζει περισσότερο την εφαπτομένη ΜΤ και τη γωνία; θα?. Επομένως, tg; μέγιστη τιμή για tg;.

tg; = lim από;x-0 tg ? = lim από;x-0 ?y/?x

Πίνακας παραγώγων

Αν προφέρετε τη διατύπωση του καθενός παράγωγοι τύποι. Το τραπέζι θα θυμάται πιο εύκολα.
1) Η παράγωγος μιας σταθερής τιμής είναι 0.
2) Χ με πρώτο ίσον ένα.
3) Αν υπάρχει σταθερός παράγοντας, απλά τον βγάζουμε ως παράγωγο.
4) Για να βρείτε μια παράγωγη ισχύ, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον εκθέτη μιας δεδομένης ισχύος με μια δύναμη με την ίδια βάση, της οποίας ο εκθέτης είναι 1 λιγότερος.
5) Η εύρεση μιας ρίζας ισούται με μία διαιρούμενη με 2 από αυτές τις ρίζες.
6) Η παράγωγος ενός διαιρούμενου με Χ ισούται με ένα διαιρούμενο με το Χ στο τετράγωνο, με πρόσημο μείον.
7) P ημίτονο ίσον συνημίτονο
8) P συνημίτονο ισούται με ημίτονο με αρνητικό πρόσημο.
9) Η εφαπτομένη P ισούται με ένα διαιρούμενο με το συνημίτονο στο τετράγωνο.
10) Η συνεφαπτομένη P ισούται με ένα με πρόσημο μείον, διαιρούμενο με το ημίτονο στο τετράγωνο.

Υπάρχουν επίσης κανόνες στη διαφοροποίηση, οι οποίοι μαθαίνονται επίσης πιο εύκολα λέγοντάς τους δυνατά.

1) Πολύ απλά, το n των όρων ισούται με το άθροισμά τους.
2) Η παράγωγος στον πολλαπλασιασμό ισούται με τον πολλαπλασιασμό της πρώτης τιμής με τη δεύτερη, προσθέτοντας στον εαυτό της τον πολλαπλασιασμό της δεύτερης τιμής με την πρώτη.
3) Η παράγωγος στη διαίρεση ισούται με τον πολλαπλασιασμό της πρώτης τιμής με τη δεύτερη, αφαιρώντας τον πολλαπλασιασμό της δεύτερης τιμής με την πρώτη. Κλάσμα διαιρούμενο με τη δεύτερη τιμή στο τετράγωνο.
4) Το σκεύασμα είναι ειδική περίπτωση του τρίτου τύπου.