Οι μέγιστες και ελάχιστες συναρτήσεις είναι παραδείγματα λύσεων. Τι είναι τα άκρα μιας συνάρτησης: κρίσιμα σημεία μέγιστου και ελάχιστου. Απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο μιας συνάρτησης

Τιμές συνάρτησης και μέγιστα και ελάχιστα σημεία

Η μεγαλύτερη τιμή συνάρτησης

Η μικρότερη τιμή συνάρτησης

Όπως είπε ο νονός: «Τίποτα προσωπικό». Μόνο παράγωγα!

Η εργασία 12 της στατιστικής θεωρείται αρκετά δύσκολη και όλα αυτά επειδή τα παιδιά δεν διάβασαν αυτό το άρθρο (αστείο). Στις περισσότερες περιπτώσεις φταίει η απροσεξία.

Οι εργασίες 12 διατίθενται σε δύο τύπους:

1. Βρείτε το μέγιστο/ελάχιστο σημείο (ζητήστε να βρείτε τις τιμές "x").
2. Βρείτε τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης (ζητήστε να βρείτε τις τιμές «y»).

Πώς να ενεργήσετε σε αυτές τις περιπτώσεις;

Βρείτε το μέγιστο/ελάχιστο σημείο

1. Εξισώστε το με μηδέν.
2. Το "x" που βρέθηκε ή βρέθηκε θα είναι οι ελάχιστοι ή μέγιστοι πόντοι.
3. Προσδιορίστε τα σημάδια χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος και επιλέξτε ποιο σημείο χρειάζεται στην εργασία.

Καθήκοντα Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης:

Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης

• Παίρνουμε την παράγωγο:

Αυτό είναι σωστό, πρώτα η συνάρτηση αυξάνεται, μετά μειώνεται - αυτό είναι το μέγιστο σημείο!
Απάντηση: −15

Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης

• Ας μετασχηματίσουμε και πάρουμε την παράγωγο:

• Εξαιρετική! Πρώτα η συνάρτηση μειώνεται, μετά αυξάνεται - αυτό είναι το ελάχιστο σημείο!

Απάντηση: −2

Βρείτε τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης

1. Πάρτε την παράγωγο της προτεινόμενης συνάρτησης.
   
2. Εξισώστε το με μηδέν.
   
3. Το «x» που βρέθηκε θα είναι το ελάχιστο ή το μέγιστο σημείο.
   
4. Προσδιορίστε τα σημάδια χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος και επιλέξτε ποιο σημείο χρειάζεται στην εργασία.
5. Σε τέτοιες εργασίες, προσδιορίζεται πάντα ένα κενό: τα Χ που βρίσκονται στο βήμα 3 πρέπει να περιλαμβάνονται σε αυτό το κενό.
6. Αντικαταστήστε το μέγιστο ή ελάχιστο σημείο που προκύπτει στην αρχική εξίσωση και λαμβάνουμε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Καθήκοντα Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης:

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα [−4; −1]

Απάντηση: −6

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα

• Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι "11" στο μέγιστο σημείο (σε αυτό το τμήμα) "0".

Απάντηση: 11

Συμπεράσματα:

1. Το 70% των λαθών είναι ότι οι άνδρες δεν θυμούνται σε τι απαντούν η μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή της συνάρτησης θα πρέπει να γράφεται "y", και σε γράψτε το μέγιστο/ελάχιστο σημείο «x».
2. Δεν υπάρχει λύση στην παράγωγο όταν βρίσκουμε τις τιμές μιας συνάρτησης;Κανένα πρόβλημα, αντικαταστήστε τα ακραία σημεία του χάσματος!
3. Η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως αριθμός ή δεκαδικός.Οχι? Μετά ξανασκεφτείτε το παράδειγμα.
4. Στις περισσότερες εργασίες, θα πάρουμε έναν βαθμό και η τεμπελιά μας στον έλεγχο του μέγιστου ή του ελάχιστου θα είναι δικαιολογημένη. Έχουμε ένα σημείο - μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια.
5. Και εδώ Δεν πρέπει να το κάνετε αυτό όταν αναζητάτε την τιμή μιας συνάρτησης!Ελέγξτε ότι αυτό είναι το σωστό σημείο, διαφορετικά οι ακραίες τιμές του κενού μπορεί να είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες.

Ένας απλός αλγόριθμος για την εύρεση των ακρών..

• Εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης
• Εξισώνουμε αυτήν την παράγωγο με μηδέν
• Βρίσκουμε τις τιμές της μεταβλητής της έκφρασης που προκύπτει (τις τιμές της μεταβλητής στην οποία η παράγωγος μετατρέπεται σε μηδέν)
• Χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές, διαιρούμε τη γραμμή συντεταγμένων σε διαστήματα (μην ξεχνάτε τα σημεία διακοπής, τα οποία πρέπει επίσης να απεικονιστούν στη γραμμή), όλα αυτά τα σημεία ονομάζονται "ύποπτα" σημεία για το άκρο
• Υπολογίζουμε ποια από αυτά τα διαστήματα η παράγωγος θα είναι θετική και ποια αρνητική. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή από το διάστημα στην παράγωγο.

Από τα ύποπτα σημεία για ένα ακραίο, είναι απαραίτητο να βρείτε . Για να το κάνουμε αυτό, κοιτάμε τα διαστήματα μας στη γραμμή συντεταγμένων. Εάν, κατά τη διέλευση από κάποιο σημείο, το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, τότε αυτό το σημείο θα είναι ανώτατο όριο, και αν από μείον στο συν, τότε ελάχιστο.

Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα ακραία σημεία. Στη συνέχεια επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα
Βρίσκουμε την παράγωγο και την εξισώνουμε με μηδέν:

Σχεδιάζουμε τις λαμβανόμενες τιμές των μεταβλητών στη γραμμή συντεταγμένων και υπολογίζουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα. Λοιπόν, για παράδειγμα, για το πρώτο ας πάρουμε-2 , τότε η παράγωγος θα είναι ίση-0,24 , για το δεύτερο θα πάρουμε0 , τότε η παράγωγος θα είναι2 , και για το τρίτο παίρνουμε2 , τότε η παράγωγος θα είναι-0,24. Βάζουμε τα κατάλληλα σημάδια.

Βλέπουμε ότι κατά τη διέλευση από το σημείο -1, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, δηλαδή, αυτό θα είναι το ελάχιστο σημείο και όταν περνά από το 1, θα αλλάξει πρόσημο από συν σε μείον, αντίστοιχα, αυτό θα είναι το μέγιστο σημείο.

Θεώρημα. (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου) Εάν η συνάρτηση f(x) είναι διαφορίσιμη στο σημείο x = x 1 και το σημείο x 1 είναι ένα ακραίο σημείο, τότε η παράγωγος της συνάρτησης εξαφανίζεται σε αυτό το σημείο.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = x 1.

Τότε για αρκετά μικρό θετικό Dх>0 ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

A-priory:

Εκείνοι. αν Dх®0, αλλά Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, μετά f¢(x 1) 0 £.

Και αυτό είναι δυνατό μόνο εάν στο Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Για την περίπτωση που η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστο στο σημείο x 2, το θεώρημα αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συνέπεια. Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή. Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο είναι ίση με μηδέν, αυτό δεν σημαίνει ότι η συνάρτηση έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο. Εύγλωττο παράδειγμα αυτού είναι η συνάρτηση y = x 3, η παράγωγος της οποίας στο σημείο x = 0 είναι ίση με μηδέν, αλλά σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μόνο κλίση και όχι μέγιστο ή ελάχιστο.

Ορισμός.Κρίσιμα σημείασυναρτήσεις είναι τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης δεν υπάρχει ή είναι ίση με το μηδέν.

Το θεώρημα που συζητήθηκε παραπάνω μας δίνει τις απαραίτητες προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός άκρου, αλλά αυτό δεν αρκεί.

Παράδειγμα: f(x) = ôxô Παράδειγμα: f(x) =

y y

Στο σημείο x = 0 η συνάρτηση έχει ελάχιστο, αλλά στο σημείο x = 0 η συνάρτηση δεν έχει κανένα από τα δύο

δεν έχει παράγωγο. μέγιστο, χωρίς ελάχιστο, χωρίς παραγωγή

Σε γενικές γραμμές, η συνάρτηση f(x) μπορεί να έχει ακρότατο σε σημεία όπου η παράγωγος δεν υπάρχει ή είναι ίση με μηδέν.

Θεώρημα. (Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου)

Έστω η συνάρτηση f(x) συνεχής στο διάστημα (a, b), που περιέχει το κρίσιμο σημείο x 1, και διαφοροποιήσιμη σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος (εκτός, ίσως, από το ίδιο το σημείο x 1).

Αν, κατά τη διέλευση από το σημείο x 1 από αριστερά προς τα δεξιά, η παράγωγος της συνάρτησης f¢(x) αλλάζει πρόσημο από «+» σε «-», τότε στο σημείο x = x 1 η συνάρτηση f(x) έχει ένα μέγιστο, και αν η παράγωγος αλλάξει πρόσημο από "- " σε "+" - τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο.

Απόδειξη.

Αφήνω

Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1),όπου x< e < x 1 .

Τότε: 1) Αν x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Αν x > x 1, τότε e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Εφόσον οι απαντήσεις συμπίπτουν, μπορούμε να πούμε ότι f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Η απόδειξη του θεωρήματος για το ελάχιστο σημείο είναι παρόμοια.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Με βάση τα παραπάνω, μπορείτε να αναπτύξετε μια ενοποιημένη διαδικασία για την εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα:

1) Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.

2) Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία.

3) Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος.

4) Επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη από τις λαμβανόμενες τιμές.

Μελέτη μιας συνάρτησης για μια ακραία χρήση

παράγωγα υψηλότερων τάξεων.

Έστω στο σημείο x = x 1 f¢(x 1) = 0 και f¢¢(x 1) υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια γειτονιά του σημείου x 1.

Θεώρημα. Αν f¢(x 1) = 0, τότε η συνάρτηση f(x) στο σημείο x = x 1 έχει μέγιστο αν f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Απόδειξη.

Έστω f¢(x 1) = 0 και f¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Επειδή f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 στο x x 1 . Αυτό σημαίνει ότι όταν διέρχεται από το σημείο x = x 1, η παράγωγος f¢(x) αλλάζει πρόσημο από «+» σε «-», δηλ.

σε αυτό το σημείο η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο.

Για την περίπτωση ελάχιστης συνάρτησης, το θεώρημα αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο.

Αν f¢¢(x) = 0, τότε η φύση του κρίσιμου σημείου είναι άγνωστη. Απαιτείται περαιτέρω έρευνα για τον προσδιορισμό του.

Κυρτότητα και κοιλότητα καμπύλης.

Σημεία καμπής.

Ορισμός. Η καμπύλη είναι κυρτή πάνωστο διάστημα (α, β) αν όλα τα σημεία του βρίσκονται κάτω από οποιαδήποτε από τις εφαπτομένες του σε αυτό το διάστημα. Μια καμπύλη κυρτή προς τα πάνω ονομάζεται κυρτός, και ονομάζεται μια καμπύλη που βλέπει κυρτά προς τα κάτω κοίλος.

στο

Το σχήμα δείχνει μια απεικόνιση του παραπάνω ορισμού.

Θεώρημα 1. Αν σε όλα τα σημεία του διαστήματος (a, b) η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι αρνητική, τότε η καμπύλη y = f(x) είναι κυρτή προς τα πάνω (κυρτή).

Απόδειξη. Έστω x 0 О (a, b). Ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στην καμπύλη σε αυτό το σημείο.

Εξίσωση καμπύλης: y = f(x);

Εξίσωση εφαπτομένης:

Πρέπει να αποδειχθεί ότι.

Με το θεώρημα του Lagrange για f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange για

Έστω x > x 0 και μετά x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 και c – x 0 > 0, και επιπλέον, κατά συνθήκη

Ως εκ τούτου, .

Έστω x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Ομοίως αποδεικνύεται ότι αν f¢¢(x) > 0 στο διάστημα (a, b), τότε η καμπύλη y=f(x) είναι κοίλη στο διάστημα (a, b).

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός. Το σημείο που χωρίζει το κυρτό τμήμα της καμπύλης από το κοίλο ονομάζεται σημείο καμπής.

Προφανώς, στο σημείο καμπής η εφαπτομένη τέμνει την καμπύλη.

Θεώρημα 2. Έστω η καμπύλη να ορίζεται από την εξίσωση y = f(x). Εάν η δεύτερη παράγωγος f¢¢(a) = 0 ή f¢¢(a) δεν υπάρχει και όταν διέρχεται από το σημείο x = a f¢¢(x) αλλάζει πρόσημο, τότε το σημείο της καμπύλης με την τετμημένη x = α είναι ένα σημείο καμπής.

Απόδειξη. 1) Έστω f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 για x > a. Στη συνέχεια στο

Χ< a кривая выпукла, а при x >α η καμπύλη είναι κοίλη, δηλ. σημείο x = a – σημείο καμπής.

2) Έστω f¢¢(x) > 0 για x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >β – κυρτή προς τα πάνω. Τότε x = b είναι το σημείο καμπής.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ασύμπτωτοι.

Κατά τη μελέτη συναρτήσεων, συμβαίνει συχνά ότι όταν η συντεταγμένη x ενός σημείου σε μια καμπύλη κινείται στο άπειρο, η καμπύλη προσεγγίζει επ 'αόριστον μια ορισμένη ευθεία γραμμή.

Ορισμός. Η ευθεία λέγεται ασύμπτωτοκαμπύλη εάν η απόσταση από το μεταβλητό σημείο της καμπύλης σε αυτήν την ευθεία τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο μετακινείται στο άπειρο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχει κάθε καμπύλη ασύμπτωτο. Τα ασύμπτωτα μπορεί να είναι ίσια ή λοξά. Η μελέτη συναρτήσεων για την παρουσία ασυμπτωτών έχει μεγάλη σημασία και σας επιτρέπει να προσδιορίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια τη φύση της συνάρτησης και τη συμπεριφορά του γραφήματος καμπύλης.

Σε γενικές γραμμές, μια καμπύλη, που πλησιάζει επ' αόριστον την ασύμπτωσή της, μπορεί να την τέμνει, και όχι σε ένα σημείο, όπως φαίνεται στο γράφημα της συνάρτησης παρακάτω . Η λοξή του ασύμπτωτη είναι y = x.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα τις μεθόδους εύρεσης των ασυμπτωμάτων των καμπυλών.

Κάθετες ασύμπτωτες.

Από τον ορισμό της ασύμπτωτης προκύπτει ότι αν ή ή , τότε η ευθεία x = a είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης y = f(x).

Για παράδειγμα, για μια συνάρτηση, η ευθεία x = 5 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πλάγιες ασύμπτωτες.

Ας υποθέσουμε ότι η καμπύλη y = f(x) έχει μια λοξή ασύμπτωτη y = kx + b.

Ας υποδηλώσουμε το σημείο τομής της καμπύλης και την κάθετη στην ασύμπτωτη - M, P - το σημείο τομής αυτής της κάθετης με την ασύμπτωτη. Ας υποδηλώσουμε τη γωνία μεταξύ της ασύμπτωτης και του άξονα Ox ως j. Η κάθετη MQ στον άξονα Ox τέμνει την ασύμπτωτη στο σημείο N.

Τότε MQ = y είναι η τεταγμένη του σημείου της καμπύλης, NQ = είναι η τεταγμένη του σημείου N στην ασύμπτωτη.

Σύμφωνα με την συνθήκη: , ÐNMP = j, .

Η γωνία j είναι σταθερή και δεν ισούται με 90 0, λοιπόν

Επειτα .

Άρα, η ευθεία y = kx + b είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης. Για να προσδιοριστεί με ακρίβεια αυτή η γραμμή, είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας τρόπος υπολογισμού των συντελεστών k και b.

Στην παράσταση που προκύπτει βγάζουμε x από αγκύλες:

Επειδή x®¥, λοιπόν , επειδή b = const, λοιπόν .

Επειτα , ως εκ τούτου,

.

Επειδή , Οτι , ως εκ τούτου,

Σημειώστε ότι οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι μια ειδική περίπτωση λοξών ασυμπτωτών για k = 0.

Παράδειγμα. .

1) Κατακόρυφες ασύμπτωτες: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, επομένως, το x = 0 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη.

2) Πλάγιες ασύμπτωτες:

Έτσι, η ευθεία y = x + 2 είναι λοξή ασύμπτωτη.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση:

Παράδειγμα.Βρείτε ασύμπτωτες και γραφίστε τη συνάρτηση.

Οι ευθείες x = 3 και x = -3 είναι κάθετες ασύμπτωτες της καμπύλης.

Ας βρούμε τις πλάγιες ασύμπτωτες:

y = 0 – οριζόντια ασύμπτωτη.

Παράδειγμα.Βρείτε ασύμπτωτες και γραφίστε τη συνάρτηση .

Η ευθεία x = -2 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της καμπύλης.

Ας βρούμε τις πλάγιες ασύμπτωτες.

Συνολικά η ευθεία y = x – 4 είναι λοξή ασύμπτωτη.

Σχέδιο μελέτης συναρτήσεων

Η διαδικασία έρευνας λειτουργιών αποτελείται από διάφορα στάδια. Για την πληρέστερη κατανόηση της συμπεριφοράς της συνάρτησης και της φύσης του γραφήματος της, είναι απαραίτητο να βρείτε:

1) Το πεδίο ύπαρξης της συνάρτησης.

Αυτή η έννοια περιλαμβάνει τόσο τον τομέα των τιμών όσο και τον τομέα ορισμού μιας συνάρτησης.

2) Σημεία διακοπής. (Εάν είναι διαθέσιμο).

3) Διαστήματα αύξησης και μείωσης.

4) Μέγιστα και ελάχιστα μόρια.

5) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της.

6) Περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.

7) Σημεία καμπής (αν υπάρχουν).

8) Ασύμπτωτες (αν υπάρχουν).

9) Κατασκευή γραφήματος.

Ας δούμε την εφαρμογή αυτού του σχήματος χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.Εξερευνήστε τη συνάρτηση και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της.

Βρίσκουμε το πεδίο ύπαρξης της συνάρτησης. Είναι προφανές ότι τομέα ορισμούσυνάρτηση είναι η περιοχή (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Με τη σειρά του, είναι σαφές ότι οι ευθείες x = 1, x = -1 είναι κάθετες ασύμπτωτεςανέντιμος.

Εύρος τιμώναυτής της συνάρτησης είναι το διάστημα (-¥; ¥).

Ορια ΑΝΤΟΧΗΣΟι συναρτήσεις είναι σημεία x = 1, x = -1.

Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία.

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης

Κρίσιμα σημεία: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης

Ας προσδιορίσουμε την κυρτότητα και την κοιλότητα της καμπύλης κατά διαστήματα.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, κοίλη καμπύλη

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, κοίλη καμπύλη

< x < ¥, y¢¢ >0, κοίλη καμπύλη

Βρίσκοντας τα κενά αυξανόμενηΚαι φθίνωνλειτουργίες. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης σε διαστήματα.

-¥ < x < - , y¢ >0, η συνάρτηση αυξάνεται

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, η συνάρτηση αυξάνεται

Μπορεί να φανεί ότι το σημείο x = - είναι ένα σημείο ανώτατο όριο, και το σημείο x = είναι ένα σημείο ελάχιστο. Οι τιμές συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι ίσες με -3 /2 και 3 /2, αντίστοιχα.

Σχετικά με την κατακόρυφη ασύμπτωτοιέχει ήδη ειπωθεί παραπάνω. Τώρα ας βρούμε λοξοί ασύμπτωτοι.

Συνολικά, η εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης είναι y = x.

Ας χτίσουμε πρόγραμμαΧαρακτηριστικά:

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Όταν εξετάζουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, θα περιοριστούμε σε μια λεπτομερή περιγραφή των συναρτήσεων δύο μεταβλητών, καθώς όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται θα ισχύουν για συναρτήσεις αυθαίρετου αριθμού μεταβλητών.

Ορισμός: Εάν κάθε ζεύγος αμοιβαία ανεξάρτητων αριθμών (x, y) από ένα συγκεκριμένο σύνολο, σύμφωνα με κάποιον κανόνα, σχετίζεται με μία ή περισσότερες τιμές της μεταβλητής z, τότε η μεταβλητή z ονομάζεται συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Ορισμός: Αν ένα ζεύγος αριθμών (x, y) αντιστοιχεί σε μία τιμή z, τότε καλείται η συνάρτηση ξεκάθαρος, και αν περισσότερα από ένα, τότε - πολυσημασιολογικός.

Ορισμός:Τομέας ορισμούσυνάρτηση z είναι το σύνολο των ζευγών (x, y) για τα οποία υπάρχει η συνάρτηση z.

Ορισμός:Γειτονιά ενός σημείου M 0 (x 0, y 0) της ακτίνας r είναι το σύνολο όλων των σημείων (x, y) που ικανοποιούν την συνθήκη .

Ορισμός: Ο αριθμός Α ονομάζεται όριοσυνάρτηση f(x, y) καθώς το σημείο M(x, y) τείνει προς το σημείο M 0 (x 0, y 0), αν για κάθε αριθμό e > 0 υπάρχει ένας αριθμός r > 0 τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε σημείο M (x, y), για το οποίο ισχύει η συνθήκη

η συνθήκη είναι επίσης αληθής .

Σημειωσε:

Ορισμός: Έστω το σημείο M 0 (x 0, y 0) στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x, y). Τότε καλείται η συνάρτηση z = f(x, y). συνεχήςστο σημείο M 0 (x 0, y 0), αν

(1)

και το σημείο M(x, y) τείνει προς το σημείο M 0 (x 0, y 0) με αυθαίρετο τρόπο.

Εάν σε οποιοδήποτε σημείο η συνθήκη (1) δεν ικανοποιείται, τότε αυτό το σημείο καλείται σημείο διακοπήςσυναρτήσεις f(x, y). Αυτό μπορεί να συμβαίνει στις ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Η συνάρτηση z = f(x, y) δεν ορίζεται στο σημείο M 0 (x 0, y 0).

2) Δεν υπάρχει όριο.

3) Αυτό το όριο υπάρχει, αλλά δεν είναι ίσο με f(x 0 , y 0).

Ιδιοκτησία. Αν η συνάρτηση f(x, y, …) είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και

οριοθετημένος τομέας D, τότε σε αυτόν τον τομέα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

N(x 0 , y 0 , …), έτσι ώστε για τα υπόλοιπα σημεία η ανισότητα να είναι αληθής

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

καθώς και το σημείο N 1 (x 01, y 01, ...), έτσι ώστε για όλα τα άλλα σημεία η ανισότητα να είναι αληθής

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

τότε f(x 0 , y 0 , …) = M – υψηλότερη τιμήσυναρτήσεις και f(x 01 , y 01 , ...) = m – μικρότερη τιμήσυναρτήσεις f(x, y,…) στον τομέα D.

Μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό και οριοθετημένο πεδίο D φθάνει τη μεγαλύτερη τιμή της τουλάχιστον μία φορά και τη μικρότερη τιμή μία φορά.

Ιδιοκτησία. Εάν η συνάρτηση f(x, y, …) ορίζεται και είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο πεδίο D, και τα M και m είναι, αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης σε αυτόν τον τομέα, τότε για οποιοδήποτε σημείο m О υπάρχει ένα σημείο

N 0 (x 0 , y 0 , …) έτσι ώστε f(x 0 , y 0 , …) = m.

Με απλά λόγια, μια συνεχής συνάρτηση παίρνει στον τομέα D όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ M και m. Συνέπεια αυτής της ιδιότητας μπορεί να είναι το συμπέρασμα ότι αν οι αριθμοί M και m έχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε στον τομέα D η συνάρτηση εξαφανίζεται τουλάχιστον μία φορά.

Ιδιοκτησία. Συνάρτηση f(x, y, …), συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο πεδίο D, περιορισμένοςσε αυτήν την περιοχή, εάν υπάρχει ένας αριθμός K τέτοιος ώστε για όλα τα σημεία της περιοχής η ανισότητα να είναι αληθής .

Ιδιοκτησία. Εάν μια συνάρτηση f(x, y, …) ορίζεται και είναι συνεχής σε ένα κλειστό όριο πεδίου D, τότε ομοιόμορφα συνεχήςστην περιοχή αυτή, δηλ. για κάθε θετικό αριθμό e υπάρχει ένας αριθμός D > 0 τέτοιος ώστε για οποιαδήποτε δύο σημεία (x 1, y 1) και (x 2, y 2) της περιοχής που βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη από το D, ισχύει η ανισότητα

Οι παραπάνω ιδιότητες είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες των συναρτήσεων μιας μεταβλητής που είναι συνεχείς σε ένα διάστημα. Δείτε Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε ένα διάστημα.

Παράγωγοι και διαφορικά συναρτήσεων

αρκετές μεταβλητές.

Ορισμός. Έστω η συνάρτηση z = f(x, y) σε κάποιο πεδίο ορισμού. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y) και βάλουμε την αύξηση Dx στη μεταβλητή x. Τότε ονομάζεται η ποσότητα D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) μερική αύξηση της συνάρτησης σε x.

Μπορείτε να γράψετε

.

Τότε λέγεται μερική παράγωγοσυναρτήσεις z = f(x, y) σε x.

Ονομασία:

Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης ως προς το y προσδιορίζεται ομοίως.

Γεωμετρική αίσθησηη μερική παράγωγος (ας πούμε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης που χαράσσεται στο σημείο N 0 (x 0, y 0, z 0) στο τμήμα της επιφάνειας κατά το επίπεδο y = y 0.

Πλήρης αύξηση και πλήρες διαφορικό.

εφαπτομενικό επίπεδο

Έστω N και N 0 σημεία αυτής της επιφάνειας. Ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή NN 0. Το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο N 0 ονομάζεται εφαπτομενικό επίπεδοστην επιφάνεια εάν η γωνία μεταξύ του τέμνοντος NN 0 και αυτού του επιπέδου τείνει στο μηδέν, όταν η απόσταση NN 0 τείνει στο μηδέν.

Ορισμός.Κανονικόςστην επιφάνεια στο σημείο N 0 είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο N 0 κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο σε αυτήν την επιφάνεια.

Σε οποιοδήποτε σημείο η επιφάνεια έχει είτε μόνο ένα εφαπτόμενο επίπεδο είτε δεν το έχει καθόλου.

Εάν η επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση z = f(x, y), όπου f(x, y) είναι μια συνάρτηση διαφοροποιήσιμη στο σημείο M 0 (x 0, y 0), το εφαπτομενικό επίπεδο στο σημείο N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) υπάρχει και έχει την εξίσωση:

Η εξίσωση του κανονικού προς την επιφάνεια σε αυτό το σημείο είναι:

Γεωμετρική αίσθησηη συνολική διαφορά μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών f(x, y) στο σημείο (x 0, y 0) είναι η αύξηση της εφαρμογής (συντεταγμένες z) του εφαπτομένου επιπέδου στην επιφάνεια όταν κινείται από το σημείο (x 0 , y 0) στο σημείο (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Όπως μπορείτε να δείτε, η γεωμετρική σημασία του ολικού διαφορικού μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι ένα χωρικό ανάλογο της γεωμετρικής σημασίας του διαφορικού μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Παράδειγμα.Να βρείτε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και κάθετου στην επιφάνεια

στο σημείο Μ(1, 1, 1).

Εξίσωση εφαπτομενικού επιπέδου:

Κανονική εξίσωση:

Κατά προσέγγιση υπολογισμοί με χρήση συνολικών διαφορών.

Το συνολικό διαφορικό της συνάρτησης u ισούται με:

Η ακριβής τιμή αυτής της έκφρασης είναι 1,049275225687319176.

Μερικά παράγωγα υψηλότερων τάξεων.

Εάν μια συνάρτηση f(x, y) οριστεί σε κάποιο πεδίο D, τότε οι μερικές παράγωγοί της θα οριστούν επίσης στον ίδιο τομέα ή μέρος αυτού.

Θα ονομάσουμε αυτά τα παράγωγα μερικών παραγώγων πρώτης τάξης.

Οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων θα είναι επί μέρους παράγωγα δεύτερης τάξης.

Συνεχίζοντας να διαφοροποιούμε τις προκύπτουσες ισότητες, λαμβάνουμε μερικές παραγώγους υψηλότερων τάξεων.

1°

1°. Προσδιορισμός του άκρου μιας συνάρτησης.

Οι έννοιες μέγιστο, ελάχιστο και άκρο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι παρόμοιες με τις αντίστοιχες έννοιες μιας συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.

Αφήστε τη λειτουργία z =στ (Χ ; y)ορίζεται σε κάποια περιοχή ρετελεία Ν (x 0 ;y 0) ρε.

Τελεία (x 0 ;y 0)ονομάζεται ένα σημείο ανώτατο όριολειτουργίες z= στ (Χ ;y),αν υπάρχει τέτοια -γειτονιά του σημείου (x 0 ;y 0),ότι για κάθε σημείο (x;y),διαφορετικός από (x 0 ;y 0)από αυτή τη γειτονιά ισχύει η ανισότητα στ (Χ ;y)< στ (x 0 ;y 0).Στην Εικόνα 12: N 1 -μέγιστο σημείο, α N 2 -ελάχιστο σημείο της συνάρτησης z =στ (Χ ;y).

Το σημείο προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο ελάχιστολειτουργίες: για όλα τα σημεία (x 0 ;y 0),διαφορετικός από (x 0 ;y 0),από δ -γειτονιά ενός σημείου (x 0 ;y 0)ισχύει η ανισότητα: στ (x 0 ;y 0) >στ (x 0 ;y 0).

Το άκρο μιας συνάρτησης τριών ή περισσότερων μεταβλητών προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο.

Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο μέγιστο (ελάχιστο) σημείο μέγιστο (ελάχιστο)λειτουργίες.

Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης καλούνται άκρα.

Σημειώστε ότι, εξ ορισμού, το ακραίο σημείο της συνάρτησης βρίσκεται εντός του τομέα ορισμού της συνάρτησης. μέγιστο και ελάχιστο έχουν τοπικός(τοπικός) χαρακτήρας: η τιμή μιας συνάρτησης σε ένα σημείο (x 0 ;y 0)συγκρίνεται με τις τιμές του σε σημεία αρκετά κοντά στο (x 0 ;y 0).Στην περιοχή ρεμια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά άκρα ή κανένα.

2°. Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ.

Ας εξετάσουμε τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός άκρου μιας συνάρτησης.

Γεωμετρικές ισότητες φά"y (x 0 ;y 0)= 0 και φά"y (x 0 ;y 0) =Το 0 σημαίνει ότι στο ακραίο σημείο της συνάρτησης z = στ (Χ ; y)εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια που αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση στ (Χ ; y),παράλληλα με το επίπεδο Ωχ ουγιατί η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου είναι z =z 0.

Σχόλιο.Μια συνάρτηση μπορεί να έχει ακρότατο σε σημεία όπου δεν υπάρχει τουλάχιστον μία από τις μερικές παραγώγους. Για παράδειγμα, η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0;0), αλλά δεν έχει μερικά παράγωγα σε αυτό το σημείο.

Το σημείο στο οποίο οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της συνάρτησης z = στ (Χ ;y)είναι ίσα με μηδέν, δηλ. φά"Χ = 0, φά" y= 0, κλήθηκε ακίνητο σημείολειτουργίες z.

Τα ακίνητα σημεία και τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει τουλάχιστον μία μερική παράγωγος ονομάζονται κρίσιμα σημεία.

Σε κρίσιμα σημεία η συνάρτηση μπορεί να έχει ή να μην έχει ακρότατο. Η ισότητα των μερικών παραγώγων με το μηδέν είναι απαραίτητη αλλά όχι επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ακρότατου. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη συνάρτηση z = hu.Για αυτό, το σημείο 0(0; 0) είναι κρίσιμο (γυρίζει στο μηδέν). Ωστόσο, η ακραία λειτουργία σε αυτό είναι z = xyδεν έχει, γιατί σε αρκετά μικρή γειτονιά του σημείου Ο(0;0) υπάρχουν σημεία για τα οποία z> 0 (βαθμοί 1ου και 3ου δεκαλέπτου) και z< 0 (βαθμοί του II και IV τριμήνου).

Έτσι, για να βρούμε τα άκρα μιας συνάρτησης σε μια δεδομένη περιοχή, είναι απαραίτητο να υποβάλουμε κάθε κρίσιμο σημείο της συνάρτησης σε πρόσθετη έρευνα.

Τα ακίνητα σημεία βρίσκονται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων

fx (x, y) = 0, f"y (x, y) = 0

(απαραίτητες προϋποθέσεις για ένα εξτρέμ).

Το σύστημα (1) ισοδυναμεί με μία εξίσωση df(x, y)=0.Γενικά, στο ακραίο σημείο Ρ(α, β)λειτουργίες f(x, y)ή df(x, y)=0, ή df(a, b) δεν υπάρχει.

3°. Επαρκείς συνθήκες για εξτρέμ. Αφήνω P(a;b)- ακίνητο σημείο της συνάρτησης φά(x,y),δηλ. . df(a, b) = 0. Επειτα:

κι αν d2f (a, b)< 0 στο , τότε φά(α, β) Υπάρχει ανώτατο όριολειτουργίες φά (x, y);

β) εάν d2f (a, b) > 0στο , τότε φά(α, β)Υπάρχει ελάχιστολειτουργίες φά (x,y);

γ) εάν d2f (a, b)αλλάζει σημάδι, λοιπόν φά (α, β) δεν είναι ακρότατο της συνάρτησης φά (x, y).

Οι δεδομένες συνθήκες είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες: ας Και . Ας συνθέσουμε διακριτική Δ=AC -B².

1) αν Δ > 0, τότε η συνάρτηση έχει ακρότατο στο σημείο P(a;b)δηλαδή, το μέγιστο αν ΕΝΑ<0 (ή ΜΕ<0 ), και ένα ελάχιστο αν Α>0(ή С>0);

2) εάν Δ< 0, то экстремума в точке P(a;b)Οχι;

3) αν Δ =0, τότε το ερώτημα της παρουσίας ενός άκρου της συνάρτησης στο σημείο P(a;b)παραμένει ανοιχτό (απαιτείται περαιτέρω έρευνα).

4°. Η περίπτωση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Για μια συνάρτηση τριών ή περισσότερων μεταβλητών, οι απαραίτητες συνθήκες για την ύπαρξη ενός άκρου είναι παρόμοιες με τις συνθήκες (1), και οι επαρκείς συνθήκες είναι παρόμοιες με τις συνθήκες α), β), γ) 3°.

Παράδειγμα. Εξετάστε τη συνάρτηση ακραίου z=x³+3xy²-15x-12y.

Λύση. Ας βρούμε μερικές παραγώγους και ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων (1):

Λύνοντας το σύστημα, λαμβάνουμε τέσσερα ακίνητα σημεία:

Ας βρούμε τα παράγωγα 2ης τάξης

και να δημιουργήσει μια διάκριση Δ=AC - B²για κάθε ακίνητο σημείο.

1) Για το σημείο: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ακραίο σημείο στο σημείο.

2) Για το σημείο P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, Α>0. Στο σημείο P2 η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο. Αυτό το ελάχιστο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Για το σημείο: Α= -6, Β=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . Δεν υπάρχει ακραίο.

4) Για το σημείο P 4: Α=-12, Β=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Στο σημείο P4 η συνάρτηση έχει μέγιστο ίσο με Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Εξτρέμ υπό όρους. Στην πιο απλή περίπτωση υπό όρους ακραίολειτουργίες φά(x,y) είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης, που επιτυγχάνεται υπό την προϋπόθεση ότι τα ορίσματά της σχετίζονται με την εξίσωση φ(x,y)=0 (εξίσωση σύνδεσης). Για να βρείτε το υπό συνθήκη άκρο μιας συνάρτησης φά(x, y) παρουσία σχέσης φ(x,y) = 0, αποτελούν τα λεγόμενα Λειτουργία Lagrange

F (Χ,y )=στ (Χ,y )+λφ (Χ,y),

όπου το λ είναι ένας απροσδιόριστος σταθερός παράγοντας και αναζητείται το συνηθισμένο άκρο αυτής της βοηθητικής συνάρτησης. Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για ένα άκρο ανάγεται σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων

με τρεις αγνώστους x, y, λ, από το οποίο μπορεί κανείς, μιλώντας γενικά, να προσδιορίσει αυτά τα άγνωστα.

Το ζήτημα της ύπαρξης και της φύσης του ακραίου υπό όρους επιλύεται με βάση τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange

για το υπό δοκιμή σύστημα αξιών x, y, λ, που ελήφθη από (2) υπό τον όρο ότι dxΚαι dуπου σχετίζονται με την εξίσωση

.

Δηλαδή, η συνάρτηση φά(x,y) έχει ένα υπό όρους μέγιστο αν d²F< 0, και ένα ελάχιστο υπό όρους εάν d²F>0. Ειδικότερα, αν η διάκριση Δ για τη συνάρτηση F(x,y)είναι θετικό σε ένα ακίνητο σημείο, τότε σε αυτό το σημείο υπάρχει ένα υπό όρους μέγιστο της συνάρτησης φά(x, y), Αν ΕΝΑ< 0 (ή ΜΕ< 0), και ένα ελάχιστο υπό όρους εάν Α > Ω(ή С>0).

Ομοίως, το ακρότατο υπό όρους μιας συνάρτησης τριών ή περισσότερων μεταβλητών βρίσκεται παρουσία μιας ή περισσότερων εξισώσεων σύνδεσης (ο αριθμός των οποίων, ωστόσο, πρέπει να είναι μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών). Εδώ πρέπει να εισαγάγουμε τόσους αβέβαιους παράγοντες στη συνάρτηση Lagrange όσες και οι εξισώσεις σύζευξης.

Παράδειγμα. Βρείτε το άκρο της συνάρτησης z =6-4x -3yυπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές ΧΚαι στοικανοποιεί την εξίσωση x²+y²=1.

Λύση. Γεωμετρικά, το πρόβλημα έγκειται στην εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών της εφαρμογής zεπίπεδο z=6 - 4x - Zuγια τα σημεία τομής του με τον κύλινδρο x2+y2=1.

Μεταγλώττιση της συνάρτησης Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Εχουμε . Οι απαραίτητες συνθήκες δίνουν το σύστημα των εξισώσεων

λύνοντας το οποίο θα βρούμε:

.

,

d²F = 2λ (dx²+dy²).

Αν και , τότε d²F >0, και, επομένως, σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους. Αν και μετά d²φά<0, και, επομένως, σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα υπό όρους μέγιστο.

Ετσι,

6°. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης.

Αφήστε τη λειτουργία z =στ (Χ ; y)καθορισμένο και συνεχές σε μια περιορισμένη κλειστή περιοχή . Μετά φτάνει σε κάποια σημεία ο μεγαλύτερος σου Μκαι το λιγότερο Ττιμές (τα λεγόμενα παγκόσμιο άκρο).Αυτές οι τιμές επιτυγχάνονται από τη συνάρτηση σε σημεία που βρίσκονται εντός της περιοχής , ή σε σημεία που βρίσκονται στα σύνορα της περιοχής.

Το ακραίο σημείο μιας συνάρτησης είναι το σημείο στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο οποίο η τιμή της συνάρτησης παίρνει μια ελάχιστη ή μέγιστη τιμή. Οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία ονομάζονται ακραίες (ελάχιστες και μέγιστες) της συνάρτησης.

Ορισμός. Τελεία Χ1 τομέα συνάρτησης φά(Χ) λέγεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης , εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αρκετά κοντά σε αυτήν, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή η ανισότητα φά(Χ0 ) > φά(Χ 0 + Δ Χ) Χ1 ανώτατο όριο.

Ορισμός. Τελεία Χ2 τομέα συνάρτησης φά(Χ) λέγεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μικρότερη από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αρκετά κοντά σε αυτήν, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή η ανισότητα φά(Χ0 ) < φά(Χ 0 + Δ Χ) ). Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει στο σημείο Χ2 ελάχιστο.

Ας πούμε σημείο Χ1 - μέγιστο σημείο της λειτουργίας φά(Χ) . Στη συνέχεια στο διάστημα μέχρι Χ1 η λειτουργία αυξάνεται, επομένως η παράγωγος της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά "(Χ) > 0 ), και στο διάστημα μετά Χ1 η συνάρτηση μειώνεται, επομένως, παράγωγο συνάρτησηςλιγότερο από μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ). Тогда в точке Χ1

Ας υποθέσουμε επίσης ότι το σημείο Χ2 - ελάχιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) . Στη συνέχεια στο διάστημα μέχρι Χ2 η συνάρτηση είναι φθίνουσα και η παράγωγος της συνάρτησης είναι μικρότερη από το μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ), а в интервале после Χ2 η συνάρτηση αυξάνεται και η παράγωγος της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά "(Χ) > 0 ). Σε αυτή την περίπτωση και στο σημείο Χ2 η παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.

Θεώρημα Fermat (απαραίτητο σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης). Αν το σημείο Χ0 - ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ( φά "(Χ) = 0 ) ή δεν υπάρχει.

Ορισμός. Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα σημεία .

Παράδειγμα 1.Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση.

Στο σημείο Χ= 0 η παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν, άρα το σημείο Χ= 0 είναι το κρίσιμο σημείο. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο γράφημα της συνάρτησης, αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, οπότε το σημείο Χ= 0 δεν είναι το ακραίο σημείο αυτής της συνάρτησης.

Έτσι, οι συνθήκες ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει είναι απαραίτητες προϋποθέσεις για ένα άκρο, αλλά όχι επαρκείς, αφού μπορούν να δοθούν άλλα παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο στο αντίστοιχο σημείο. Να γιατί πρέπει να υπάρχουν επαρκή στοιχεία, επιτρέποντας σε κάποιον να κρίνει εάν υπάρχει ακρότατο σε ένα συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο και τι είδους άκρο είναι - μέγιστο ή ελάχιστο.

Θεώρημα (το πρώτο επαρκές σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 φά(Χ) εάν, κατά τη διέλευση από αυτό το σημείο, η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο, και εάν το πρόσημο αλλάξει από «συν» σε «μείον», τότε είναι μέγιστο σημείο και αν από «μείον» σε «συν», τότε είναι ένα ελάχιστο σημείο.

Αν είναι κοντά στο σημείο Χ0 , στα αριστερά και στα δεξιά του, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημό της, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είτε μειώνεται μόνο είτε αυξάνεται μόνο σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ0 . Στην προκειμένη περίπτωση, στο σημείο Χ0 δεν υπάρχει ακραίο.

Ετσι, για να προσδιορίσετε τα ακραία σημεία της συνάρτησης, πρέπει να κάνετε τα εξής :

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν και προσδιορίστε τα κρίσιμα σημεία.
3. Διανοητικά ή σε χαρτί, σημειώστε τα κρίσιμα σημεία στην αριθμογραμμή και προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου της συνάρτησης στα διαστήματα που προκύπτουν. Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από «συν» σε «μείον», τότε το κρίσιμο σημείο είναι το μέγιστο σημείο και αν από «μείον» σε «συν», τότε το ελάχιστο σημείο.
4. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα ακραία σημεία.

Παράδειγμα 2.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης .

Λύση. Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

Ας εξισώσουμε την παράγωγο με μηδέν για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία:

.

Εφόσον για οποιεσδήποτε τιμές του "x" ο παρονομαστής δεν είναι ίσος με μηδέν, εξισώνουμε τον αριθμητή με μηδέν:

Έχει ένα κρίσιμο σημείο Χ= 3. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα που οριοθετούνται από αυτό το σημείο:

στην περιοχή από μείον άπειρο έως 3 - ένα σύμβολο μείον, δηλαδή, η συνάρτηση μειώνεται,

στο διάστημα από το 3 έως το συν άπειρο υπάρχει ένα σύμβολο συν, δηλαδή, η συνάρτηση αυξάνεται.

περίοδος δηλαδή Χ= 3 είναι το ελάχιστο σημείο.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο:

Έτσι, το ακραίο σημείο της συνάρτησης βρίσκεται: (3; 0), και είναι το ελάχιστο σημείο.

Θεώρημα (το δεύτερο επαρκές σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) αν η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο δεν είναι ίση με μηδέν ( φά ""(Χ) ≠ 0 ), και αν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά ""(Χ) > 0 ), τότε το μέγιστο σημείο και αν η δεύτερη παράγωγος είναι μικρότερη από το μηδέν ( φά ""(Χ) < 0 ), то точкой минимума.

Σημείωση 1. Αν στο σημείο Χ0 Εάν εξαφανιστούν τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο παράγωγο, τότε σε αυτό το σημείο είναι αδύνατο να κριθεί η παρουσία ενός άκρου με βάση το δεύτερο επαρκές κριτήριο. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το πρώτο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης.

Παρατήρηση 2. Το δεύτερο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης δεν ισχύει ακόμη και όταν η πρώτη παράγωγος δεν υπάρχει σε ακίνητο σημείο (τότε δεν υπάρχει ούτε η δεύτερη παράγωγος). Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει επίσης να χρησιμοποιήσετε το πρώτο επαρκές σημάδι μιας ακραίας συνάρτησης.

Τοπική φύση των άκρων της συνάρτησης

Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι το άκρο μιας συνάρτησης έχει τοπική φύση - είναι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε σύγκριση με τις κοντινές τιμές.

Ας υποθέσουμε ότι εξετάζετε τα κέρδη σας σε μια περίοδο ενός έτους. Εάν τον Μάιο κερδίσατε 45.000 ρούβλια και τον Απρίλιο 42.000 ρούβλια και τον Ιούνιο 39.000 ρούβλια, τότε τα κέρδη Μαΐου είναι το μέγιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές τιμές. Αλλά τον Οκτώβριο κερδίσατε 71.000 ρούβλια, τον Σεπτέμβριο 75.000 ρούβλια και τον Νοέμβριο 74.000 ρούβλια, επομένως τα κέρδη Οκτωβρίου είναι το ελάχιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές τιμές. Και μπορείτε εύκολα να δείτε ότι το μέγιστο μεταξύ των τιμών Απριλίου-Μαΐου-Ιουνίου είναι μικρότερο από το ελάχιστο του Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου-Νοεμβρίου.

Σε γενικές γραμμές, σε ένα διάστημα μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά άκρα και μπορεί να αποδειχθεί ότι κάποιο ελάχιστο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε μέγιστο. Έτσι, για τη συνάρτηση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, .

Δηλαδή, δεν πρέπει να πιστεύουμε ότι το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι, αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της σε ολόκληρο το υπό εξέταση τμήμα. Στο μέγιστο σημείο, η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή μόνο σε σύγκριση με εκείνες τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο μέγιστο σημείο και στο ελάχιστο σημείο έχει τη μικρότερη τιμή μόνο σε σύγκριση με αυτές τις τιμές ότι έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο ελάχιστο σημείο.

Επομένως, μπορούμε να διευκρινίσουμε την παραπάνω έννοια των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης και να καλέσουμε ελάχιστα σημεία τοπικά ελάχιστα σημεία και μέγιστα σημεία τοπικά μέγιστα σημεία.

Ψάχνουμε μαζί τα άκρα της συνάρτησης

Παράδειγμα 3.

Λύση: Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Το παράγωγό του υπάρχει επίσης σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, τα κρίσιμα σημεία είναι μόνο εκείνα στα οποία, δηλ. , από πού και . Κρίσιμα σημεία και διαιρέστε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε τρία διαστήματα μονοτονίας: . Ας επιλέξουμε ένα σημείο ελέγχου σε καθένα από αυτά και ας βρούμε το πρόσημο της παραγώγου σε αυτό το σημείο.

Για το διάστημα, το σημείο ελέγχου μπορεί να είναι: εύρεση. Παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, παίρνουμε, και παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, έχουμε. Έτσι, στα διαστήματα και , και στο διάστημα . Σύμφωνα με το πρώτο επαρκές κριτήριο για ένα άκρο, δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο (καθώς η παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της στο διάστημα) και στο σημείο η συνάρτηση έχει ελάχιστο (αφού η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν όταν περνά μέσα από αυτό το σημείο). Ας βρούμε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης: , a . Στο διάστημα η συνάρτηση μειώνεται, αφού σε αυτό το διάστημα , και στο διάστημα αυξάνεται, αφού σε αυτό το διάστημα .

Για να διευκρινίσουμε την κατασκευή του γραφήματος, βρίσκουμε τα σημεία τομής του με τους άξονες συντεταγμένων. Όταν λάβουμε μια εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι και, δηλ., βρίσκονται δύο σημεία (0; 0) και (4; 0) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες που λάβαμε, κατασκευάζουμε ένα γράφημα (δείτε την αρχή του παραδείγματος).

Για αυτοέλεγχο κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαδικτυακή αριθμομηχανή παραγώγων .

Παράδειγμα 4.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης και φτιάξτε τη γραφική παράσταση της.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, εκτός από το σημείο, δηλ. .

Για να συντομεύσετε τη μελέτη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι ομοιόμορφη, αφού . Επομένως, η γραφική παράσταση του είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oyκαι η μελέτη μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο για το μεσοδιάστημα.

Εύρεση της παραγώγου και κρίσιμα σημεία της συνάρτησης:

1) ;

2) ,

αλλά η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια σε αυτό το σημείο, επομένως δεν μπορεί να είναι ένα ακραίο σημείο.

Έτσι, η δεδομένη συνάρτηση έχει δύο κρίσιμα σημεία: και . Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, θα ελέγξουμε μόνο το σημείο χρησιμοποιώντας το δεύτερο επαρκές κριτήριο για ένα άκρο. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο και προσδιορίστε το πρόσημο του στο: παίρνουμε . Αφού και , είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, και .

Για να έχουμε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του γραφήματος μιας συνάρτησης, ας μάθουμε τη συμπεριφορά της στα όρια του τομέα ορισμού:

(εδώ το σύμβολο υποδηλώνει την επιθυμία Χστο μηδέν από τα δεξιά, και Χπαραμένει θετικό? ομοίως σημαίνει φιλοδοξία Χστο μηδέν από τα αριστερά, και Χπαραμένει αρνητικό). Έτσι, εάν , τότε . Στη συνέχεια, βρίσκουμε

,

εκείνοι. αν τότε .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τους άξονες. Η εικόνα βρίσκεται στην αρχή του παραδείγματος.

Για αυτοέλεγχο κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαδικτυακή αριθμομηχανή παραγώγων .

Συνεχίζουμε να ψάχνουμε για ακρότατα της συνάρτησης μαζί

Παράδειγμα 8.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.

Λύση. Ας βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Εφόσον η ανισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί, λαμβάνουμε από .

Ας βρούμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης.