Tulla sisään
Auttamaan koululaista
  • Tapa- ja astelauseet Monimutkainen lause, jossa on astelause
  • Kuvaus reaktorin toiminnasta
  • Katedraalikoodin valmistelu
  • Haisee siltä, ​​että jotain on paistettu, ja kaikki mikä ei ole aikataulun mukaan, on ajanhukkaa
  • Adjektiivit, jotka kuvaavat henkilöä hyvällä puolella - täydellisin luettelo Nykyaikainen adjektiiviluettelo
  • Charodol-prinssi (Noitaristi) Charodol 2 Charodol-prinssi luettu
  • Lineaariyhtälöjärjestelmät. Ekvivalentit lineaariyhtälöjärjestelmät ja järjestelmän alkeismuunnokset Matriisin alkeismuunnokset ja lineaariyhtälöjärjestelmät

    Lineaariyhtälöjärjestelmät.  Ekvivalentit lineaariyhtälöjärjestelmät ja järjestelmän alkeismuunnokset Matriisin alkeismuunnokset ja lineaariyhtälöjärjestelmät

    Määritelmä 1. Lineaariyhtälöjärjestelmä muotoa (1), jossa , kenttä, kutsutaan m lineaarisen yhtälön järjestelmä n tuntemattomassa kentässä, - tuntemattomien kertoimet, , , - järjestelmän vapaat termit (1).

    Määritelmä 2. Tilattu n-ka (), jossa , kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen(1), jos kun muuttuja korvataan kullakin yhtälöllä, järjestelmä (1) muuttuu oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

    Määritelmä 3. liitos, jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Muussa tapauksessa kutsutaan järjestelmää (1). ei-nivel.

    Määritelmä 4. Lineaariyhtälöjärjestelmää (1) kutsutaan varma, jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Muussa tapauksessa kutsutaan järjestelmää (1). epävarma.

    Lineaarinen yhtälöjärjestelmä

    (on ratkaisu) (ei ratkaisuja)

    yhteinen ei-nivel

    (ainoa ratkaisu) (ei ainoa ratkaisu)

    ehdottomasti epävarma

    Määritelmä 5. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä kentän päällä R nimeltään homogeeninen, jos kaikki sen vapaat ehdot ovat nolla. Muuten järjestelmä kutsutaan heterogeeninen.

    Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää (1). Sitten muodon homogeenista järjestelmää kutsutaan homogeeniseksi järjestelmäksi, liittyvät järjestelmällä (1). Homogeeninen SLN on aina johdonmukainen, koska sillä on aina ratkaisu.

    Jokaiselle SLN:lle voidaan ottaa huomioon kaksi matriisia - päämatriisi ja laajennettu matriisi.

    Määritelmä 6. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän päämatriisi(1) on matriisi, joka koostuu seuraavan muodon tuntemattomien kertoimista: .

    Määritelmä 7. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän laajennettu matriisi(1) kutsutaan matriisiksi, joka saadaan matriisista lisäämällä siihen sarake vapaita termejä: .

    Määritelmä 8.Lineaariyhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset Seuraavia kutsutaan: 1) järjestelmän jonkin yhtälön molempien puolten kertominen skalaarilla; 2) lisätään järjestelmän yhden yhtälön molemmille puolille toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna elementillä; 3) muodon yhtälön lisääminen tai hylkääminen.

    Määritelmä 9. Kaksi lineaarista yhtälöjärjestelmää kentän päällä R suhteessa muuttujiin kutsutaan vastaava, jos niiden ratkaisujoukot ovat samat.

    Lause 1 . Jos yksi lineaariyhtälöjärjestelmä saadaan toisesta käyttämällä alkeismuunnoksia, niin tällaiset järjestelmät ovat ekvivalentteja.

    On kätevää soveltaa alkeismuunnoksia ei lineaariyhtälöjärjestelmään, vaan sen laajennettuun matriisiin.

    Määritelmä 10. Olkoon annettu matriisi, jossa on alkioita kentästä P. Elementaariset muunnokset Matriiseja kutsutaan seuraavasti:

    1) kerrotaan minkä tahansa rivin kaikki elementit matriiseilla aО Р #:lla;

    2) minkä tahansa rivin kaikkien elementtien kertominen matriiseilla aО Р #:lla ja yhteenlasku toisen rivin vastaavilla elementeillä;



    3) matriisin minkä tahansa kahden rivin uudelleenjärjestely;

    4) nollarivin lisääminen tai poistaminen.

    8. SLU-ratkaisu: m menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin (Gaussin menetelmä).

    Tarkastellaan yhtä tärkeimmistä menetelmistä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, jota kutsutaan Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen poissulkemiseen, tai muuten, Gaussin menetelmä. Harkitse järjestelmää (1) m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon kentän yli R:(1) .

    Järjestelmässä (1) ainakin yksi kertoimista for ei ole yhtä suuri 0 . Muuten (1) on yhtälöjärjestelmä, jossa on () tuntemattomia - tämä on ristiriidassa ehdon kanssa. Vaihdetaan yhtälöt niin, että kerroin for ensimmäisessä yhtälössä ei ole yhtä suuri kuin 0 . Voimme siis olettaa, että. Kerrotaan ensimmäisen yhtälön molemmat puolet ja lisätään toisen, kolmannen, ..., vastaaviin osiin, m vastaavasti yhtälöt. Saamme järjestelmän muodossa: , missä s- pienin luku, jolla vähintään yksi kertoimista ei ole yhtä suuri 0 . Vaihdetaan yhtälöt niin, että toisella rivillä muuttujan kerroin ei ole yhtä suuri kuin 0 , eli voimme olettaa, että. Sitten kerromme toisen yhtälön molemmat puolet ja lisäämme kolmannen yhtälön vastaaviin osiin ..., m vastaavasti yhtälöt. Jatkamalla tätä prosessia, saamme seuraavan muotoisen järjestelmän:

    Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka Lauseen 1 mukaan vastaa järjestelmää (1) . Järjestelmää kutsutaan vaiheittaiseksi lineaaristen yhtälöiden järjestelmäksi. Kaksi tapausta on mahdollista: 1) Ainakin yksi elementeistä ei ole yhtä suuri 0 . Olkoon esimerkiksi. Sitten lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä on yhtälö muotoa , mikä on mahdotonta. Tämä tarkoittaa, että järjestelmällä ei ole ratkaisuja, ja siksi järjestelmällä (1) ei ole ratkaisuja (tässä tapauksessa (1) on epäjohdonmukainen järjestelmä).

    2) Olkoon ,…, . Sitten alkeismuunnoksen 3) avulla saadaan järjestelmä - järjestelmä r lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon. Tässä tapauksessa kutsutaan kertoimien muuttujia päämuuttujat(tämä on), niitä on kaikkia r. Loput ( n-r) muuttujia kutsutaan vapaa.

    Kaksi tapausta on mahdollista: 1) Jos r = n, niin se on kolmiojärjestelmä. Tässä tapauksessa viimeisestä yhtälöstä löydämme muuttujan , toiseksi viimeisestä - muuttujan ,..., ensimmäisestä yhtälöstä - muuttujan . Siten saamme ainutlaatuisen ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle ja siten lineaariyhtälöjärjestelmälle (1) (tässä tapauksessa järjestelmä (1) on määritelty).

    2) Anna r . Tässä tapauksessa päämuuttujat ilmaistaan ​​vapaina ja saadaan yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle (1). Antamalla mielivaltaisia ​​arvoja vapaille muuttujille saadaan erilaisia ​​lineaariyhtälöjärjestelmän (1) osaratkaisuja (tässä tapauksessa järjestelmä (1) on määrittelemätön).

    Kun ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä, on kätevää suorittaa alkeismuunnoksia ei järjestelmälle, vaan sen laajennetulle matriisille.

    Määritelmä. Matriisin A järjestys on minkä tahansa echelon-matriisin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä, johon A on pelkistetty alkeismuunnoksilla. Matriisin A järjestys on merkitty r(A) tai rang(A).

    Algoritmi lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä

    1. Muodosta laajennettu matriisi lineaariyhtälöjärjestelmästä (1) ja saa se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon.

    2. Suorita tutkimus: a) jos , niin järjestelmä (1) on epäjohdonmukainen;

    b) jos , niin järjestelmä (1) on johdonmukainen.

    Lisäksi jos r = n, niin järjestelmä (1) määritellään jos r , niin järjestelmä (1) on määrittelemätön.

    3. Etsi tuloksena olevaa askelmatriisia vastaavalle järjestelmälle ratkaisu.

    Antaa – vektorijärjestelmä m alkaen . Vektorijärjestelmän tärkeimmät alkeismuunnokset ovat

    1. - lisäämällä yhteen vektoreista (vektoriin) muiden lineaarinen yhdistelmä.

    2. - yhden vektorin (vektorin) kertominen luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla.

    3. kahden vektorin () uudelleenjärjestely paikoissa. Vektorijärjestelmiä kutsutaan ekvivalenteiksi (nimitys), jos on olemassa alkeismuunnosten ketju, joka muuttaa ensimmäisen järjestelmän toiseksi.

    Huomioikaa esitellyn vektorekvivalenssin käsitteen ominaisuudet

    (heijastuskyky)

    Tästä seuraa, että (symmetria)

    Jos ja , niin (transitiivisuus) Lause. Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja se on ekvivalentti, niin järjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Todiste. Ilmeisesti riittää todistaa lause systeemille, joka saadaan käyttämällä yhtä alkeismuunnosta. Oletetaan, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Siitä sitten seuraa, että. Saadaan systeemi käyttämällä yhtä alkeismuunnosta. On selvää, että vektorien uudelleenjärjestely tai yhden vektorin kertominen luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, ei muuta vektorijärjestelmän lineaarista riippumattomuutta. Oletetaan nyt, että vektorijärjestelmä saadaan järjestelmästä lisäämällä vektoriin lineaarinen yhdistelmä lopuista, . On tarpeen vahvistaa, että (1) seuraa, että Koska , Sitten alkaen (1) saamme . (2)

    Koska järjestelmä on lineaarisesti riippumaton, sitten (2):sta seuraa, että kaikille .

    Täältä saamme. Q.E.D.

    57. Matriisit. matriisien yhteenlasku, matriisin kertominen skalaarilla matriisin vektoriavaruuden sen ulottuvuuden.

    Matriisityyppi: neliö

    Matriisin lisäys



    Matriisilisäyksen ominaisuudet:

    1. kommutatiivisuus: A+B = B+A;

    Matriisin kertominen luvulla

    Matriisin A kertominen luvulla ¥ (nimitys: ¥A) koostuu matriisin B muodostamisesta, jonka alkiot saadaan kertomalla jokainen matriisin A alkio tällä luvulla, eli jokainen matriisin B alkio on yhtä suuri: Bij= ¥Aij

    Matriisien luvulla kertomisen ominaisuudet:

    2. (λβ)A = λ(βA)

    3. (λ+β)A = λA + βA

    4. λ(A+B) = λA + λB

    Rivivektori ja sarakevektori

    Matriisit, joiden koko on m x 1 ja 1 x n, ovat avaruuden K^n ja K^m elementtejä, vastaavasti:

    matriisia, jonka koko on m x1, kutsutaan sarakevektoriksi ja sillä on erityinen merkintä:

    Matriisia, jonka koko on 1 x n, kutsutaan rivivektoriksi ja sillä on erityinen merkintä:

    58. Matriisit. Matriisien yhteen- ja kertolasku. Matriisit renkaana, matriisirenkaan ominaisuudet.

    Matriisi on suorakaiteen muotoinen lukutaulukko, joka koostuu m yhtä pitkästä rivistä tai n yhtä pitkästä välähdyksestä.

    aij on matriisielementti, joka sijaitsee i. rivillä ja j. sarakkeella.

    Matriisityyppi: neliö

    Neliömatriisi on matriisi, jossa on sama määrä sarakkeita ja rivejä.

    Matriisin lisäys

    Matriisien A + B yhteenlasku on operaatio, jossa etsitään matriisi C, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin matriisien A ja B kaikkien vastaavien alkioiden pareittainen summa, eli jokainen matriisin alkio on yhtä suuri kuin Cij = Aij + Bij

    Matriisilisäyksen ominaisuudet:

    1. kommutatiivisuus: A+B = B+A;

    2. assosiatiivisuus: (A+B)+C =A+(B+C);

    3.lisäys nollamatriisilla: A + Θ = A;

    4.vastakkaisen matriisin olemassaolo: A + (-A) = Θ;

    Kaikki lineaarioperaatioiden ominaisuudet toistavat lineaarisen avaruuden aksioomia ja siksi lause pätee:

    Kaikkien samankokoisten mxn matriisien joukko kentän P elementeillä (kaikkien reaali- tai kompleksilukujen kenttä) muodostaa lineaarisen avaruuden kentän P päälle (jokainen tällainen matriisi on tämän avaruuden vektori).

    Matriisin kertolasku

    Matriisin kertolasku (nimitys: AB, harvemmin kertomerkillä A x B) on matriisin C laskentatoimenpide, jonka jokainen alkio on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän ja sarakkeen vastaavalla rivillä olevien elementtien tulojen summa. toinen.

    Matriisin A sarakkeiden lukumäärän on vastattava matriisin B rivien lukumäärää, toisin sanoen matriisin A on oltava yhdenmukainen matriisin B kanssa. Jos matriisin A mitat ovat m x n, B - n x k, niin niiden tulon AB=C mitat on m x k.

    Matriisin kertolaskuominaisuudet:

    1.assosiatiivisuus (AB)C = A(BC);

    2.ei-kommutatiivisuus (yleisessä tapauksessa): AB BA;

    3. tulo on kommutatiivinen, kun kyseessä on kertolasku identiteettimatriisilla: AI = IA;

    4.jakauma: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

    5.assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus suhteessa kertomiseen luvulla: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

    59.*Käännettävät matriisit. Matriisirivien singulaariset ja ei-singulaariset alkeismuunnokset. Elementaariset matriisit. Kertominen alkeismatriiseilla.

    käänteinen matriisi- sellainen matriisi A-1, kun kerrotaan millä, alkuperäinen matriisi A tuloksena on identiteettimatriisi E:

    Perusmerkkijonon muunnokset nimeltään:

    Samalla tavalla määritelty perussarakemuunnoksia.

    Elementaariset muunnokset käännettävä.

    Merkintä osoittaa, että matriisi voidaan saada alkeismuunnoksilla (tai päinvastoin).

    Määritelmä 5. Elementaariset muunnokset Lineaarista yhtälöjärjestelmää kutsutaan sen seuraavista muunnoksista:

    1) minkä tahansa kahden yhtälön uudelleenjärjestely;

    2) kerrotaan yhtälön molemmat puolet millä tahansa luvulla;

    3) lisäämällä yhden yhtälön molemmille puolille toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna millä tahansa luvulla k;

    (kun kaikki muut yhtälöt pysyvät ennallaan).

    Nolla yhtälö kutsumme seuraavaa yhtälöä:

    Lause 1. Mikä tahansa äärellinen alkeismuunnosten sarja ja nollayhtälön poistava muunnos muuttaa yhden lineaariyhtälöjärjestelmän toiseksi sitä vastaavaksi lineaariyhtälöjärjestelmäksi.

    Todiste. Edellisen kappaleen ominaisuuden 4 perusteella riittää, että jokaisen muunnoksen lause todistetaan erikseen.

    1. Järjesteltäessä yhtälöitä järjestelmään, yhtälöt eivät itsessään muutu, joten tuloksena oleva järjestelmä on määritelmän mukaan sama kuin alkuperäinen.

    2. Todistuksen ensimmäisen osan perusteella riittää, kun todistetaan ensimmäisen yhtälön väite. Kerrotaan järjestelmän (1) ensimmäinen yhtälö luvulla , saadaan järjestelmä

    (2)

    Antaa  järjestelmät (1) . Sitten luvut täyttävät kaikki järjestelmän (1) yhtälöt. Koska kaikki järjestelmän (2) yhtälöt ensimmäistä lukuun ottamatta ovat yhtäpitäviä järjestelmän (1) yhtälöiden kanssa, luvut täyttävät kaikki nämä yhtälöt. Koska luvut täyttävät järjestelmän (1) ensimmäisen yhtälön, oikea numeerinen yhtälö pätee:

    Kerrotaan se numerolla K, saamme oikean numeerisen yhtälön:

    Että. vahvistamme sen järjestelmät (2).

    Takaisin jos järjestelmän (2) ratkaisu, silloin luvut täyttävät kaikki järjestelmän (2) yhtälöt. Koska kaikki järjestelmän (1) yhtälöt ensimmäistä lukuun ottamatta ovat yhtäpitäviä järjestelmän (2) yhtälöiden kanssa, luvut täyttävät kaikki nämä yhtälöt. Koska luvut täyttävät järjestelmän (2) ensimmäisen yhtälön, niin numeerinen yhtälö (4) on tosi. Jakamalla sen molemmat osat luvulla, saadaan numeerinen yhtäläisyys (3) ja todistetaan se järjestelmän (1) ratkaisu.

    Näin ollen määritelmän 4 mukaan järjestelmä (1) vastaa järjestelmää (2).

    3. Todistuksen ensimmäisen osan perusteella riittää, kun todistetaan järjestelmän ensimmäisen ja toisen yhtälön väite. Lisätään järjestelmän ensimmäisen yhtälön molemmille puolille toisen vastaavat osat kerrottuna luvulla K, saamme järjestelmän

    (5)

    Antaa järjestelmän ratkaisu (1) . Sitten luvut täyttävät kaikki järjestelmän (1) yhtälöt. Koska kaikki järjestelmän (5) yhtälöt ensimmäistä lukuun ottamatta ovat yhtäpitäviä järjestelmän (1) yhtälöiden kanssa, luvut täyttävät kaikki nämä yhtälöt. Koska luvut täyttävät järjestelmän (1) ensimmäisen yhtälön, oikeat numeeriset yhtälöt tapahtuvat:

    Lisätään termi kerrallaan ensimmäiseen yhtälöön ja toiseen, kerrottuna luvulla K saamme oikean numeerisen yhtälön.

    Alla tarkastellaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä muuttujien kentässä LISÄMÄÄRITELMÄ. Kahden lineaarisen yhtälöjärjestelmän sanotaan olevan ekvivalentti, jos jommankumman järjestelmän ratkaisu on toisen järjestelmän ratkaisu.

    Seuraavat lauseet ilmaisevat ekvivalenssin määritelmästä seuraavat ekvivalenssiominaisuudet ja edellä mainitut järjestelmien yhdenmukaisuuden ominaisuudet.

    EHDOTUS 2.2. Kaksi lineaariyhtälöjärjestelmää ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos kukin näistä järjestelmistä on seurausta toisesta järjestelmästä.

    EHDOTUS 2.3. Kaksi lineaariyhtälöjärjestelmää ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos yhden järjestelmän kaikkien ratkaisujen joukko osuu yhteen toisen järjestelmän kaikkien ratkaisujen joukon kanssa.

    EHDOTUS 2.4. Kaksi lineaariyhtälöjärjestelmää ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos näiden järjestelmien määrittämät predikaatit ovat ekvivalentteja.

    MÄÄRITELMÄ. Seuraavia muunnoksia kutsutaan lineaariyhtälöjärjestelmän alkeismuunnoksiksi:

    (a) kerrotaan järjestelmän jonkin yhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla skalaarilla;

    (P) lisätään (vähennetään) järjestelmän minkä tahansa yhtälön molemmille puolille järjestelmän toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna skalaarilla;

    Lineaarisen yhtälön poissulkeminen järjestelmästä tai lisääminen järjestelmään, jossa on nolla kerrointa ja nolla vapaa termi.

    LAUSE 2.5. Jos yksi lineaarinen yhtälöjärjestelmä saadaan toisesta lineaariyhtälöjärjestelmästä alkeismuunnosten ketjun tuloksena, nämä kaksi järjestelmää ovat ekvivalentteja.

    Todiste. Olkoon järjestelmä annettu

    Jos kerromme yhden sen yhtälöistä, esimerkiksi ensimmäisen, nollasta poikkeavalla skalaarilla X, saamme järjestelmän

    Jokainen ratkaisu järjestelmään (1) on myös ratkaisu järjestelmään (2).

    Kääntäen: jos - mikä tahansa järjestelmän (2) ratkaisu,

    sitten kertomalla ensimmäinen yhtälö ja muuttamatta myöhempiä yhtäläisyyksiä, saadaan yhtälöt, jotka osoittavat, että vektori on ratkaisu järjestelmään (1). Näin ollen järjestelmä (2) vastaa alkuperäistä järjestelmää (1). On myös helppo varmistaa, että alkeismuunnoksen (P) yksittäinen soveltaminen järjestelmään (1) tai johtaa alkuperäistä järjestelmää (1) vastaavaan järjestelmään. Koska ekvivalenssirelaatio on transitiivinen, alkeismuunnosten toistuva soveltaminen johtaa yhtälöjärjestelmään, joka vastaa alkuperäistä järjestelmää (1).

    JOHTOPÄÄTÖS 2.6. Jos lisäät järjestelmän muiden yhtälöiden lineaarisen yhdistelmän johonkin lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhtälöön, saat yhtälöjärjestelmän, joka vastaa alkuperäistä yhtälöä.

    JOHTOPÄÄTÖS 2.7. Jos jätät lineaarisen yhtälöjärjestelmän ulkopuolelle tai lisäät siihen yhtälön, joka on järjestelmän muiden yhtälöiden lineaarinen yhdistelmä, saat yhtälöjärjestelmän, joka vastaa alkuperäistä järjestelmää.


    Kaksi lineaarista yhtälöjärjestelmää yhdestä joukosta x 1 ,..., x n tuntematonta ja vastaavasti m ja p yhtälöistä

    Niitä kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niiden ratkaisujoukot ja yhtenevät (eli osajoukot ja K n:ssä ovat samat, ). Tämä tarkoittaa, että: joko ne ovat samanaikaisesti tyhjiä osajoukkoja (eli molemmat järjestelmät (I) ja (II) ovat epäjohdonmukaisia) tai ne ovat samanaikaisesti ei-tyhjiä ja (eli jokainen ratkaisu järjestelmään I on ratkaisu järjestelmään II, ja jokainen ratkaisujärjestelmä II on ratkaisu järjestelmään I).

    Esimerkki 3.2.1.

    Gaussin menetelmä

    Gaussin ehdottaman algoritmin suunnitelma oli melko yksinkertainen:

    1. soveltaa lineaariyhtälöjärjestelmään peräkkäisiä muunnoksia, jotka eivät muuta ratkaisujoukkoa (siten säilytämme alkuperäisen järjestelmän ratkaisujoukon) ja siirrymme vastaavaan järjestelmään, jolla on "yksinkertainen muoto" (ns. askel muoto);
    2. järjestelmän "yksinkertaiselle muodolle" (askelmatriisilla) kuvaile ratkaisujoukko, joka on sama kuin alkuperäisen järjestelmän ratkaisujoukko.

    Huomaa, että samanlainen menetelmä, "fan-chen", tunnettiin jo muinaisessa kiinalaisessa matematiikassa.

    Lineaaristen yhtälöjärjestelmien (matriisirivien) alkeismuunnokset

    Määritelmä 3.4.1 (tyypin 1 perusmuunnos). Kun järjestelmän i. yhtälö lisätään k:nneen yhtälöön, kerrottuna luvulla (nimitys: (i)"=(i)+c(k); eli vain yksi i. yhtälö (i) korvataan uudella yhtälöllä (i)"=(i)+c(k) ). Uudella i:nnellä yhtälöllä on muoto (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k tai lyhyesti

    Eli uudessa i:nnessä yhtälössä a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.

    Määritelmä 3.4.2 (tyypin 2 perusmuunnos). Kun i- ja k-yhtälöt vaihdetaan, muut yhtälöt eivät muutu (merkintä: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; kertoimille tämä tarkoittaa seuraavaa: j= 1,...,n

    Huomautus 3.4.3. Mukavuussyistä tietyissä laskelmissa voit käyttää 3. tyypin alkeismuunnosta: i -yhtälö kerrotaan nollasta poikkeavalla luvulla , (i)"=c(i) .

    Ehdotus 3.4.4. Jos siirrymme järjestelmästä I järjestelmään II käyttämällä äärellistä määrää 1. ja 2. tyypin alkeismuunnoksia, niin järjestelmästä II voimme palata järjestelmään I käyttämällä myös 1. ja 2. tyypin alkeismuunnoksia.

    Todiste.

    Huomautus 3.4.5. Väite pitää paikkansa myös, kun alkeismuunnosten määrään sisällytetään 3. tyypin alkeismuunnos. Jos ja (i)"=c(i) , sitten ja (i) = c -1 (i)".

    Lause 3.4.6.Sovellettuaan peräkkäin äärellinen määrä 1. tai 2. tyypin alkeismuunnoksia lineaariyhtälöjärjestelmään saadaan lineaariyhtälöjärjestelmä, joka vastaa alkuperäistä yhtälöä.

    Todiste. Huomaa, että riittää, kun tarkastellaan tapausta siirtymisestä järjestelmästä I järjestelmään II käyttämällä yhtä alkeismuunnosta ja todistetaan ratkaisujoukkojen sisällyttäminen (koska todistetun ehdotuksen perusteella järjestelmästä II voimme palata järjestelmään I ja siksi meillä on osallisuus, eli se on todistettu tasa-arvo).

    2005-2017, HOCHU.UA