В помощь школьнику / Игры / Формула пуазейля для плоского течения. Курсовая работа: Течение Пуазейля. Смотреть что такое "Течение Пуазейля" в других словарях

Формула пуазейля для плоского течения. Курсовая работа: Течение Пуазейля. Смотреть что такое "Течение Пуазейля" в других словарях

19.02.2024

Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости, аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых простейших видов течений эти уравнения имеют аналитические решения. Задачи, имеющие практическое значение, решаются в основном с помощью приближенных численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитического решения этих уравнений обусловлена нелинейным членом. В этом параграфе мы рассмотрим простейшие стационарные течения, для которых член тождественно равен нулю. Это течения Куэтта и Пуазейля .

Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах горизонтальной трубки или выводя трубку из горизонтального положения), или перемещая стенки, ограничивающие жидкость.

Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта. Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.

1 . Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и давлений в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY с нижней пластиной, для краевых условий получим:

. (19.64)

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет следующий вид:

(19.65)

а уравнение Навье-Стокса

. (19.66)

Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна составляющая скорости. Очевидно также, что скорость (как и давление) не может зависеть от координаты. В этом случае из уравнения неразрывности (19.65) следует, что =0, то есть не зависит также и от координаты x . Значит, . При этих условиях очевидно, что

. (19.67)

Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая, и что в течении Куэтта отсутствует падение давления вдоль течения, то есть p = p (z ), получим

. (19.68)

Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости, которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого уравнения получаем закон

Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64): . Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость имеет следующее распределение:

, (19.69)

представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в жидкости везде одинаково и равно по величине

(19.70)

причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней – противоположное направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не двигалась, к ней необходимо приложить силу, где – площадь поверхности пластины.

2 . Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины неподвижны, но вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:

. (19.71)

И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности, получим условие. Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя уравнение Навье-Стокса на оси X и Z , получим

. (19.72)

Из первого уравнения получаем. Подставляя его во второе уравнение, получим

(19.73)

левая часть которой зависит только от X , а правая – от z . Это возможно, если левая и правая части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в (19.73). Пользуясь условием (19.71), получим

(19.74)

где. Интегрирование уравнения (19.73) по z даст

. (19.74)

Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»

. (19.75)

Определив постоянные B , C и подставив их в (19.74), получим:

. (19.76)

Рис.19.14

Как видим, плоско-параллельное течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках направлено по оси X и равно.

3 . Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой трубке течение симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси направить ось, а с основанием связать координатную плоскость (рис. 19.15). Течение создается и поддерживается постоянной разностью давлений:

. (19.77)

Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую. Благодаря осевой симметрии течения, величины будут независимы от координаты (в этой задаче сила тяжести не учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что не может зависеть также от:

. (19.78)

В этом случае

С учетом последних, составляющие и уравнения Навье-Стокса дадут

. (19.79)

Из первого уравнения следует, что, а левая и правая части второго уравнения, будучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны одной и той же постоянной величине. Из условия (19.77) определим

рис.19.15

Подставляя это в (19.79) и интегрируя по, получим:

Из конечности скорости на оси следует, что, а определяется из краевого условия скорости:

(19.80)

где – радиус цилиндра. Значит, профиль скорости снова является параболическим

(19.81)

в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:

Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени, будет

(19.82)

то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и падения давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.

Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно

и направлено вдоль течения.

Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как твердые тела (пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные результаты применяются на практике, если, например, длина и ширина пластин намного больше расстояния между ними или если длина цилиндра намного больше его радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных цилиндрах, привели Хагена (1839) и Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии было теоретически получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат (19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях вязкости.

Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

Уравнение неразрывности

Закон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S, ограничивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадкуdS.Черезn обозначим единичный вектор внешней к Sнормали. Тогда произведение сV n dSбудет представлять собой массу, вытекающую из объема Wили поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадкеdS.Так какnвнешняя нормаль, тоV п > 0 на тех площадкахdS, где жидкость вытекает из объема W, и V п < 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Это изменение массы можно подсчитать и иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-за неодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом .

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени .

По теореме Остроградского – Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (1) можно переписать в виде

Так как объем Wпроизвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

(2)

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z =z (t), то

т. е. уравнение (2) будет иметь вид

(3)

гдеdс/dt- полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

(5)

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:

(7)

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

Эти уравнения называются уравнениями Навье - Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Уравнения движения невязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье - Стокса как частный случай при м=const; для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.

Система уравнений Навье - Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных:V x , V y , V z , р, с и м. Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).

В качестве уравнений, замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкости от параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другие термодинамические соотношения.

Для несжимаемой жидкости divV = 0, получим выражения, напрямую следующие из системы (8)

В векторной форме уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:

Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

Пусть вязкая жидкость течет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которых движется в своей плоскости с постоянной скоростью (см. рисунок).

а – схема течения; б – распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в – распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение в плоском канале).

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:

Из уравнения неразрывности сразу заключим, что а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:

Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т.е. p(y)=p(z)=0, и так как то можно перейти от частных производных к полным:

Обозначим , проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования и используем граничные условия:

Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:

(10)

Течение Куэтта

Течение Куэтта – безградиентное течение В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).

Касательное (вязкое) напряжение будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода через живое течение S=h·1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

6. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:

Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:

(12)

Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости

Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение

На стенках, т.е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения

А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя

Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость

(13)

Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р 0 * , получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае V y =V z =0 и V x =V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

· при y < h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· при y > h/2, щ z > 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.

Общий случай течения между параллельными стенками

Для этого случая характерно

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V 0 , во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме

которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.

Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор,МГД-генератор - энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную V max =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров . Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр . Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10 -4 Па·Чс=8,3·10 -8 Па·с .

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.

Список используемой литературы

1. Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.

2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.

3. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Постановка задачи

Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений . Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля ) - распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:

v - скорость жидкости вдоль трубопровода, м/с;
r - расстояние от оси трубопровода, м;
p 1 − p
l - длина трубы, м.

Так как такой же профиль (в соответствующих обозначениях) имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями, то такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля)

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Гагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубе круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (англ.) (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году . Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра трубы:

Q - расход жидкости в трубопроводе, м³/с;
d - диаметр трубопровода, м;
r - радиус трубопровода, м;
p 1 − p 2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы, Па;
μ - вязкость жидкости, Н·с/м²;
l - длина трубы, м.

Закон Пуазёйля примени́м только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства

Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

См. также

Течение Куэтта
Течение Куэтта - Тейлора

Литература

Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Течение Пуазейля" в других словарях:

Параболическое распределение скорости при течении Пуазейля. Пропеллеры показывают, что у этого течения ненулевая завихрённость. Течение Пуазёйля ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между… … Википедия

Механика сплошных сред … Википедия

Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Тече́ние Пуазёйля - ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля - одно из самых простых точных решений уравнений Навье - Стокса . Описывается законом Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля).

Постановка задачи

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v\left(r\right) =\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2),

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v - скорость жидкости вдоль трубопровода;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r - расстояние от оси трубопровода;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R - радиус трубопровода;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p_1-p_2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta - вязкость жидкости;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L - длина трубы.

Такой же профиль в соответствующих обозначениях имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями. Такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Гагена - Пуазёйля)

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Хагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году на основе экспериментальных данных и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году (также на основании эксперимента). Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi D^4 (p_1-p_2)}{128 \eta L}=\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta L},

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q - расход жидкости в трубопроводе;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): D - диаметр трубопровода;

Закон Пуазёйля работает только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития в трубке ламинарного течения с параболическим профилем скорости.

Свойства

Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

См. также

Напишите отзыв о статье "Течение Пуазёйля"

Литература

Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.

Ссылки

Отрывок, характеризующий Течение Пуазёйля

– Мы недавно... Он всё время приносит новых людей, а иногда и маленьких зверей, и потом они пропадают, а он приносит новых.
Я с ужасом посмотрела на Стеллу:
– Это самый настоящий, реальный мир, и совершенно реальная опасность!.. Это уже не та невинная красота, которую мы создавали!.. Что будем делать?
– Уходить. – Опять упорно повторила малышка.
– Мы ведь можем попробовать, правда? Да и бабушка нас не оставит, если уж будет по-настоящему опасно. Видимо пока мы ещё можем выбраться сами, если она не приходит. Ты не беспокойся, она нас не бросит.
Мне бы её уверенность!.. Хотя обычно я была далеко не из пугливых, но эта ситуация заставляла меня очень сильно нервничать, так как здесь находились не только мы, но и те, за кем мы пришли в эту жуть. А как из данного кошмара выкарабкиваться – я, к сожалению, не знала.
– Здесь нету времени, но он приходит обычно через одинаковый промежуток, примерно как были сутки на земле. – Вдруг ответил на мои мысли мальчик.
– А сегодня уже был? – явно обрадованная, спросила Стелла.
Мальчонка кивнул.
– Ну что – пошли? – она внимательно смотрела на меня и я поняла, что она просит «надеть» на них мою «защиту».
Стелла первая высунула свою рыжую головку наружу...
– Никого! – обрадовалась она. – Ух ты, какой же это ужас!..
Я, конечно, не вытерпела и полезла за ней. Там и правда был настоящий «ночной кошмар»!.. Рядом с нашим странным «местом заточения», совершенно непонятным способом, повешенные «пучками» вниз головой, висели человеческие сущности... Они были подвешены за ноги, и создавали как бы перевёрнутый букет.
Мы подошли ближе – ни один из людей не показывал признаков жизни...
– Они же полностью «откачаны»! – ужаснулась Стелла. – У них не осталось даже капельки жизненной силы!.. Всё, давайте удирать!!!
Мы понеслись, что было сил, куда-то в сторону, абсолютно не зная – куда бежим, просто подальше бы от всей этой, замораживающей кровь, жути... Даже не думая о том, что можем снова вляпаться в такую же, или же ещё худшую, жуть...
Вдруг резко потемнело. Иссиня-чёрные тучи неслись по небу, будто гонимые сильным ветром, хотя никакого ветра пока что не было. В недрах чёрных облаков полыхали ослепительные молнии, красным заревом полыхали вершины гор... Иногда набухшие тучи распарывало о злые вершины и из них водопадом лилась тёмно-бурая вода. Вся эта страшная картинка напоминала, самый жуткий из жутких, ночной кошмар....
– Папочка, родимый, мне так страшно! – тоненько взвизгивал, позабыв свою былую воинственность, мальчонка.
Вдруг одна из туч «порвалась», и из неё полыхнул ослепительно яркий свет. А в этом свете, в сверкающем коконе, приближалась фигурка очень худого юноши, с острым, как лезвие ножа, лицом. Вокруг него всё сияло и светилось, от этого света чёрные тучи «плавились», превращаясь в грязные, чёрные лоскутки.
– Вот это да! – радостно закричала Стелла. – Как же у него это получается?!.
– Ты его знаешь? – несказанно удивилась я, но Стелла отрицательно покачала головкой.
Юноша опустился рядом с нами на землю и ласково улыбнувшись спросил:
– Почему вы здесь? Это не ваше место.
– Мы знаем, мы как раз пытались выбраться на верх! – уже во всю щебетала радостная Стелла. – А ты поможешь нам вернуться наверх?.. Нам обязательно надо быстрее вернуться домой! А то нас там бабушки ждут, и вот их тоже ждут, но другие.

Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Анимация

Описание

Вследствие ламинарного (слоистого) характера течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе скорость потока некоторым образом распределена по сечению трубы (рис. 1).

Распределение скоростей у входа в трубу при ламинарном течении

Рис. 1

L1 - длина начального участка формирования постоянного профиля скоростей.

Закон Пуазейля (математическим выражением которого является формула Пуазейля ) устанавливает зависимость между объемом жидкости, протекающим через трубу в единицу времени (расходом), длиной и радиусом трубы, и перепадом давления в ней.

Пусть ось трубы совпадает с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат. При ламинарном течении скорость v жидкости во всех точках трубы параллельна оси Oz , т.е. v x = v y = 0, v z = v . Из уравнения неразрывности

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

где F - напряженность поля массовых сил;

р - давление;

r - плотность жидкости,

следует, что

дv/дz = 0, т.е. v = f(x,y) .

Из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса) следует:

дp/дx = дp/дy= 0,

дp/дz = dp/dz = h(д 2 v/дx 2 + д 2 v/дy 2 ) = const = -(D p/l) ,

где D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Для круглой цилиндрической трубы данное уравнение можно представить в виде

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

где r = sqr(x 2 + y 2 ) - расстояние от оси трубы.

Распределение скоростей по сечению трубы является параболическим и выражается формулой:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ) ,

где R - радиус трубы;

r - расстояние от оси до рассматриваемой точки поперечного сечения;

h - динамическая вязкость жидкости;

D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Секундный объемный расход жидкости определяется по формуле Пуазейля :

Q c = [(p R 4 ) /8 h l] D p.

Данная формула справедлива для ламинарных потоков, условие существования которых характеризуются критическим числом Рейнольдса Re кр (Re = 2Q c /p R n , n - кинематическая вязкость). При Re = Re кр ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких круглых труб Re кр » 2300.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -1 до 1);

Время существования (log tc от -1 до 5);

Время деградации (log td от -1 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от 0 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Закон Пуазейля применяется для определения коэффициентов различных жидкостей при различных температурах посредством капиллярных вискозиметров.

Техническая реализация эффекта

Рис. 2

Обозначения:

1 - контрольный участок трубы;

2 - баллон;

3 - редуктор;

4 - регулятор давления;

5 - манометр;

6 - вентиль;

7 - расходомер.

Уравнение Пуазейля играет важную роль в физиологии нашего кровообращения.

Применение эффекта

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Литература

1.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.

2. Разработка и эксплуатация нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений / Под ред. Ш.К. Гиматудинова.- М.: Недра, 1988.

Ключевые слова