Koje vrste trokuta poznajete? Oštrokutni, pravokutni i tupokutni trokut. Koji se oblik naziva trokut
Dnevnik uživo
Facebook
CvrkutStandardne oznake
Trokut s vrhovima A, B I C označava se kao (vidi sliku). Trokut ima tri strane:
Duljine stranica trokuta označene su malim latiničnim slovima (a, b, c):
Trokut ima sljedeće kutove:
Vrijednosti kuta na odgovarajućim vrhovima tradicionalno se označavaju grčkim slovima (α, β, γ).
Znakovi jednakosti trokuta
Trokut na euklidskoj ravnini može se jednoznačno odrediti (do podudarnosti) sljedećim trojkama osnovnih elemenata:
- a, b, γ (jednakost na dvije strane i kut koji leži između njih);
- a, β, γ (jednakost stranice i dva susjedna kuta);
- a, b, c (jednakost na tri strane).
Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:
- duž katete i hipotenuze;
- na dvije noge;
- duž noge i oštrog kuta;
- uz hipotenuzu i šiljasti kut.
Neke točke u trokutu su "uparene". Na primjer, postoje dvije točke iz kojih su sve strane vidljive ili pod kutom od 60° ili pod kutom od 120°. Zovu se Torricelli točkice. Također postoje dvije točke čije projekcije na stranice leže u vrhovima pravilnog trokuta. ovo - Apolonijeve točke. Bodovi i tako se zovu Brocard bodovi.
Direktno
U svakom trokutu težište, ortocentar i središte opisane kružnice leže na istoj ravnoj crti, tzv. Eulerova linija.
Pravac koji prolazi središtem opisane kružnice i Lemoineovom točkom naziva se Brocardova os. Na njoj leže Apolonijeve točke. Torricellijeva točka i Lemoineova točka također leže na istom pravcu. Osnovice vanjskih simetrala kutova trokuta leže na istoj ravnici tzv. osi vanjskih simetrala. Sjecišta pravaca koji sadrže stranice ortotrokuta s pravcima koji sadrže stranice trokuta također leže na istom pravcu. Ova linija se zove ortocentrična os, okomita je na Eulerov pravac.
Ako uzmemo točku na opisanoj kružnici trokuta, tada će njezine projekcije na stranice trokuta ležati na istoj ravnoj crti, tzv. Simson je čist ovu točku. Simsonove linije dijametralno suprotnih točaka su okomite.
Trokuti
- Trokut s vrhovima na bazama povučen kroz danu točku naziva se cevian trokut ovu točku.
- Trokut s vrhovima u projekcijama dane točke na stranice naziva se travnjak ili pedal trokut ovu točku.
- Trokut s vrhovima u drugim točkama sjecišta pravaca povučenih kroz vrhove i zadanu točku s opisanom kružnicom naziva se obodni trokut. Obodni trokut je sličan busen trokutu.
Krugovi
- Upisani krug- krug koji dodiruje sve tri stranice trokuta. Ona je jedina. Središte upisane kružnice naziva se incentar.
- Circurccircle- kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta. Opisani krug je također jedinstven.
- Excircle- krug koji dodiruje jednu stranicu trokuta i nastavak druge dvije stranice. Tri su takva kruga u trokutu. Njihovo radikalno središte je središte upisane kružnice medijalnog trokuta, tzv Spikerova točka.
Središta triju stranica trokuta, osnovice triju njegovih visina i središta triju odsječaka koji spajaju njegove vrhove s ortocentrom leže na jednoj kružnici tzv. krug od devet točaka ili Eulerov krug. Središte kružnice s devet točaka leži na Eulerovoj liniji. Kružnica od devet točaka dodiruje upisanu kružnicu i tri vankružnice. Dodirna točka između upisane kružnice i kružnice od devet točaka naziva se Feuerbachova točka. Ako iz svakog vrha položimo prema van trokuta na ravne crte koje sadrže strane, ortoze jednake duljine suprotnim stranama, tada dobivenih šest točaka leži na istoj kružnici - Conwayev krug. U bilo koji trokut mogu se upisati tri kružnice na način da svaka od njih dodiruje dvije stranice trokuta i druge dvije kružnice. Takvi se krugovi nazivaju Malfattijevi krugovi. Središta opisanih kružnica šest trokuta na koje je trokut podijeljen središnjama leže na jednoj kružnici koja se naziva opseg Lamuna.
Trokut ima tri kružnice koje dodiruju dvije stranice trokuta i opisanu kružnicu. Takvi se krugovi nazivaju poluupisan ili Verrierovi krugovi. Isječci koji spajaju dodirne točke Verrierovih kružnica s opisanom kružnicom sijeku se u jednoj točki tzv. Verrierova točka. Ona služi kao središte homotetije, koja transformira opisanu kružnicu u upisanu kružnicu. Dodirne točke Verrierovih kružnica sa stranicama leže na ravnoj liniji koja prolazi središtem upisane kružnice.
Segmenti koji spajaju dodirne točke upisane kružnice s vrhovima sijeku se u jednoj točki tzv. Gergonneova točka, a segmenti koji povezuju vrhove s dodirnim točkama izvankružnica su unutra Nagelova točka.
Elipse, parabole i hiperbole
Upisana konika (elipsa) i njen perspektivor
U trokut se može upisati beskonačan broj konika (elipsa, parabola ili hiperbola). Upišemo li proizvoljnu koniku u trokut i spojimo tangente sa suprotnim vrhovima, tada će se dobivene ravnice sijeći u jednoj točki tzv. perspektiva ležajevi. Za svaku točku ravnine koja ne leži na stranici ili na njezinom produžetku, u toj točki postoji upisana konika s perspektivom.
Opisana Steinerova elipsa i ceviani koji prolaze kroz njezina žarišta
U trokut se može upisati elipsa koja dodiruje stranice u sredini. Takva elipsa se zove upisana Steinerova elipsa(njegova perspektiva bit će težište trokuta). Opisana elipsa koja dodiruje pravce koji prolaze kroz vrhove paralelne sa stranicama naziva se opisana Steinerovom elipsom. Ako trokut transformiramo u pravilan trokut pomoću afine transformacije (“kosa”), tada će se njegova upisana i opisana Steinerova elipsa transformirati u upisanu i opisanu kružnicu. Chevianove linije povučene kroz žarišta opisane Steinerove elipse (Scutinove točke) su jednake (Scutinov teorem). Od svih opisanih elipsa opisana Steinerova elipsa ima najmanju površinu, a od svih upisanih elipsa najveću površinu ima upisana Steinerova elipsa.
Brocardova elipsa i njen perspektivor - Lemoineova točka
Elipsa sa žarištima u Brocardovim točkama naziva se Brocardova elipsa. Njegova perspektiva je Lemoineova točka.
Svojstva upisane parabole
Kiepertova parabola
Izgledi upisanih parabola leže na opisanoj Steinerovoj elipsi. Žarište upisane parabole leži na opisanoj kružnici, a direktrisa prolazi kroz ortocentar. Parabola upisana u trokut koja ima Eulerovu direktrisu kao direktrisu naziva se Kiepertova parabola. Njegov perspektivor je četvrta točka presjeka opisane kružnice i opisane Steinerove elipse, tzv. Steinerova točka.
Kiepertova hiperbola
Ako opisana hiperbola prolazi točkom presjeka visina, onda je ona jednakostrana (odnosno asimptote su joj okomite). Sjecište asimptota jednakostranične hiperbole leži na kružnici od devet točaka.
Transformacije
Ako se pravci koji prolaze kroz vrhove i neku točku koja ne leži na stranicama i njihovi produžeci reflektiraju u odnosu na odgovarajuće simetrale, tada će se i njihove slike sijeći u jednoj točki, što se naziva izogonalno konjugiran originalni (ako je točka ležala na opisanoj kružnici, tada će rezultirajuće linije biti paralelne). Mnogi parovi značajnih točaka su izogonalno konjugirani: središte opisanog kruga i ortocentar, težište i Lemoineova točka, Brocardove točke. Apolonijeve točke su izogonalno konjugirane Torricellijevim točkama, a središte upisane kružnice je izogonalno konjugirano samom sebi. Pod djelovanjem izogonalne konjugacije, prave se pretvaraju u opisane konike, a opisane konike u prave. Tako su Kiepertova hiperbola i Brocardova os, Jenzabekova hiperbola i Eulerova pravac, Feuerbachova hiperbola i linija središta upisane i opisane kružnice izogonalno konjugirane. Opisane kružnice trokuta izogonalno spregnutih točaka podudaraju se. Fokusi upisanih elipsa su izogonalno konjugirani.
Ako umjesto simetričnog ceviana uzmemo cevian čija je baza jednako udaljena od sredine stranice kao i baza izvornog, tada će se i takvi ceviani sijeći u jednoj točki. Dobivena transformacija naziva se izotomska konjugacija. Također pretvara ravne linije u opisane konike. Gergonneova i Nagelova točka su izotomski konjugirane. Pod afinim transformacijama, izotomski konjugirane točke se transformiraju u izotomski konjugirane točke. S izotomskom konjugacijom, opisana Steinerova elipsa će ići u beskonačno udaljenu ravnu liniju.
Ako u segmente odsječene stranicama trokuta od opisane kružnice upišemo kružnice koje dodiruju stranice na bazama ceviana povučenih kroz određenu točku, a zatim spojimo tangente tih kružnica s opisanom kružnicom sa suprotnim vrhovima, tada će se takve ravne linije sijeći u jednoj točki. Poziva se transformacija ravnine koja spaja izvornu točku s rezultirajućom izocirkularna transformacija. Sastav izogonalnih i izotomskih konjugata je sastav izocirkularne transformacije sa samim sobom. Ova kompozicija je projektivna transformacija, koja ostavlja stranice trokuta na mjestu, a transformira os vanjskih simetrala u ravnu crtu u beskonačnosti.
Ako stranice Chevianova trokuta neke točke nastavimo i uzmemo njihove sjecišne točke s odgovarajućim stranicama, tada će dobivene sjecišne točke ležati na jednoj ravnoj liniji, tzv. trilinearni polarni Polazna točka. Ortocentrična os je trilinearna polara ortocentra; trilinearna polara središta upisane kružnice je os vanjskih simetrala. Trilinearni polari točaka koje leže na opisanoj konici sijeku se u jednoj točki (za opisanu kružnicu to je Lemoineova točka, za opisanu Steinerovu elipsu to je težište). Kompozicija izogonalnog (ili izotomskog) konjugata i trilinearnog polara je transformacija dualnosti (ako točka izogonalno (izotomski) konjugirana s točkom leži na trilinearnom polaru točke, tada trilinearni polara točke izogonalno (izotomski) konjugirana na točku leži na trilinearnoj polari točke).
Kocke
Omjeri u trokutu
Bilješka: u ovom odjeljku, , su duljine triju stranica trokuta, a , su kutovi koji leže nasuprot ove tri strane (suprotni kutovi).
Nejednakost trokuta
U nedegeneriranom trokutu zbroj duljina njegovih dviju stranica veći je od duljine treće stranice, u degeneriranom trokutu jednak je. Drugim riječima, duljine stranica trokuta povezane su sljedećim nejednakostima:
Nejednakost trokuta jedan je od aksioma metrike.
Teorem zbroja kutova trokuta
Teorem sinusa
,gdje je R polumjer kruga opisanog oko trokuta. Iz teorema slijedi da ako je a< b < c, то α < β < γ.
Kosinusni teorem
Teorem o tangenti
Ostali omjeri
Metrički omjeri u trokutu dani su za:
Rješavanje trokuta
Izračunavanje nepoznatih stranica i kutova trokuta na temelju poznatih povijesno se nazivalo "rješavanje trokuta". Koriste se gornji opći trigonometrijski teoremi.
Površina trokuta
Posebni slučajevi NotacijaZa površinu vrijede sljedeće nejednakosti:
Izračunavanje površine trokuta u prostoru pomoću vektora
Neka vrhovi trokuta budu u točkama , , .
Uvedimo vektor površine. Duljina ovog vektora jednaka je površini trokuta i usmjerena je normalno na ravninu trokuta:
Postavimo , gdje su , , projekcije trokuta na koordinatne ravnine. pri čemu
i slično
Površina trokuta je.
Alternativa je izračunati duljine stranica (pomoću Pitagorinog teorema), a zatim pomoću Heronove formule.
Teoremi o trokutu
| Ovaj odjeljak nije dovršen. |
Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati s različitim vrstama trokuta.
Razmotrite geometrijske oblike i među njima pronađite onaj "više" (slika 1).
Riža. 1. Ilustracija za primjer
Vidimo da su figure br. 1, 2, 3, 5 četverokuti. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).
Riža. 2. Četverokuti
To znači da je "dodatna" figura trokut (slika 3).
Riža. 3. Ilustracija za primjer
Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na istoj liniji i tri segmenta koji te točke spajaju u parovima.
Bodovi se zovu vrhovi trokuta, segmenti - njegovi stranke. Formiraju se stranice trokuta Na vrhovima trokuta nalaze se tri kuta.
Glavna obilježja trokuta su tri strane i tri kuta. Prema veličini kuta trokuti su šiljasti, pravokutni i tupi.
Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta šiljasta, odnosno manja od 90° (slika 4).
Riža. 4. Oštrokutni trokut
Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90° (slika 5).
Riža. 5. Pravokutni trokut
Trokut se naziva tupokutnim ako mu je jedan od kutova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).
Riža. 6. Tupokutni trokut
Prema broju jednakih stranica trokuti su jednakostranični, jednakokračni, razmjerni.
Jednakokračni trokut je onaj kojemu su dvije stranice jednake (slika 7).
Riža. 7. Jednakokračni trokut
Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnova. U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki.
Postoje jednakokračni trokuti oštro i tupo(Sl. 8) .
Riža. 8. Oštri i tupi jednakokračni trokut
Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve tri stranice jednake (slika 9).
Riža. 9. Jednakostranični trokut
U jednakostraničnom trokutu svi kutovi su jednaki. Jednakostranični trokuti Stalno oštrokutni.
Razmjerni trokut je onaj u kojem sve tri stranice imaju različite duljine (slika 10).
Riža. 10. Scalenski trokut
Dovršite zadatak. Podijelite te trokute u tri skupine (slika 11).
Riža. 11. Ilustracija za zadatak
Prvo, rasporedimo prema veličini kutova.
Oštrokutni trokuti: br. 1, br. 3.
Pravokutni trokuti: br. 2, br. 6.
Tupokutni trokuti: br. 4, br. 5.
Iste trokute rasporedit ćemo u skupine prema broju jednakih stranica.
Razmjerni trokuti: br. 4, br. 6.
Jednakokračni trokuti: br. 2, br. 3, br. 5.
Jednakostranični trokut: br. 1.
Pogledaj slike.
Razmislite od kojeg je komada žice napravljen svaki trokut (slika 12).
Riža. 12. Ilustracija za zadatak
Možeš razmišljati i ovako.
Prvi komad žice podijelite na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazan treći.
Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da se može koristiti za izradu skalenskog trokuta. Prvo je prikazano na slici.
Treći komad žice podijelimo na tri dijela, pri čemu su dva dijela iste duljine, što znači da se od njega može napraviti jednakokračni trokut. Na slici je prikazan drugi.
Danas smo u razredu učili o različitim vrstama trokuta.
Bibliografija
- MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
- MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
- MI. Moro. Nastava matematike: Metodičke preporuke za nastavnike. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
- Regulatorni dokument. Praćenje i vrednovanje rezultata učenja. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
- “Škola Rusije”: Programi za osnovnu školu. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
- SI. Volkova. Matematika: ispitni radovi. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Domaća zadaća
1. Dovršite fraze.
a) Trokut je lik koji se sastoji od ... koje ne leže na istoj liniji i ... koje te točke spajaju u parove.
b) Točke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trokuta tvore se na vrhovima trokuta ….
c) Prema veličini kuta trokuti su ... , ... , ... .
d) Prema broju jednakih stranica trokuti su ... , ... , ... .
2. Crtanje
a) pravokutni trokut;
b) oštrokutni trokut;
c) tupokutni trokut;
d) jednakostranični trokut;
e) razmjerni trokut;
e) jednakokračni trokut.
3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.
Možda najosnovnija, najjednostavnija i najzanimljivija figura u geometriji je trokut. U srednjoškolskom tečaju proučavaju se njegova osnovna svojstva, ali ponekad je znanje o ovoj temi nepotpuno. Vrste trokuta u početku određuju njihova svojstva. Ali ovo stajalište ostaje mješovito. Stoga, sada pogledajmo ovu temu malo detaljnije.
Vrste trokuta ovise o stupnjevima mjere kutova. Ove figure su oštre, pravokutne i tupe. Ako svi kutovi ne prelaze 90 stupnjeva, tada se brojka može sigurno nazvati oštrom. Ako je barem jedan kut trokuta 90 stupnjeva, tada imate posla s pravokutnom podvrstom. Prema tome, u svim ostalim slučajevima onaj koji se razmatra naziva se tupokutnim.
Mnogo je problema za podtipove s oštrim kutom. Posebnost je unutarnji položaj sjecišta simetrala, medijana i visina. U drugim slučajevima ovaj uvjet možda neće biti ispunjen. Nije teško odrediti vrstu figure trokuta. Dovoljno je znati, na primjer, kosinus svakog kuta. Ako je bilo koja vrijednost manja od nule, tada je trokut u svakom slučaju tup. U slučaju indikatora nule, lik ima pravi kut. Sve pozitivne vrijednosti zajamčeno vam govore da gledate pod kutom.
Ne može se ne spomenuti pravilan trokut. Ovo je najidealniji pogled, gdje se sve sjecišne točke medijana, simetrala i visina poklapaju. Središte upisane i opisane kružnice također leži na istom mjestu. Da biste riješili probleme, morate znati samo jednu stranu, budući da su vam kutovi u početku zadani, a druge dvije strane su poznate. Odnosno, brojka je određena samo jednim parametrom. Postoje Njihova glavna značajka je jednakost dviju strana i kutova na bazi.
Ponekad se postavlja pitanje postoji li trokut sa zadanim stranicama. Ono što zapravo pitate je odgovara li navedeni opis glavnoj vrsti. Na primjer, ako je zbroj dviju strana manji od treće, tada u stvarnosti takva brojka uopće ne postoji. Ako zadatak od vas traži da pronađete kosinuse kutova trokuta sa stranicama 3,5,9, tada se očito može objasniti bez složenih matematičkih tehnika. Pretpostavimo da želite stići od točke A do točke B. Udaljenost u ravnoj liniji je 9 kilometara. Međutim, sjetili ste se da trebate otići do točke C u trgovini. Udaljenost od A do C je 3 kilometra, a od C do B je 5. Dakle, ispada da ćete u kretanju kroz trgovinu hodati jedan kilometar manje. Ali budući da se točka C ne nalazi na ravnici AB, morat ćete hodati još jednu udaljenost. Ovdje postoji kontradikcija. Ovo je, naravno, uvjetno objašnjenje. Matematika zna više od jednog načina da dokaže da sve vrste trokuta poštuju osnovni identitet. Kaže da je zbroj dviju stranica veći od duljine treće.
Bilo koja vrsta ima sljedeća svojstva:
1) Zbroj svih kutova je 180 stupnjeva.
2) Uvijek postoji ortocentar – sjecište sve tri visine.
3) Sva tri medijana povučena iz vrhova unutarnjih kutova sijeku se na jednom mjestu.
4) Oko bilo kojeg trokuta može se nacrtati krug. Također možete ucrtati krug tako da ima samo tri dodirne točke i da se ne proteže izvan vanjskih strana.
Sada ste upoznati s osnovnim svojstvima koje imaju različite vrste trokuta. U budućnosti je važno razumjeti s čime se suočavate kada rješavate problem.
Čak i djeca predškolske dobi znaju kako izgleda trokut. Ali djeca već počinju shvaćati kakvi su u školi. Jedna vrsta je tupokutni trokut. Najlakši način da shvatite što je to je da vidite njegovu sliku. A u teoriji ovo je ono što oni nazivaju "najjednostavniji poligon" s tri strane i vrhova, od kojih je jedan
Razumijevanje pojmova
U geometriji postoje ove vrste likova s tri strane: oštrokutni, pravokutni i tupokutni trokut. Štoviše, svojstva ovih najjednostavnijih poligona su ista za sve. Dakle, za sve navedene vrste bit će uočena ova nejednakost. Zbroj duljina bilo koje dvije stranice bit će nužno veći od duljine treće stranice.
Ali kako bismo bili sigurni da govorimo o cijeloj slici, a ne o skupu pojedinačnih vrhova, potrebno je provjeriti je li ispunjen glavni uvjet: zbroj kutova tupokutnog trokuta jednak je 180 stupnjeva . Isto vrijedi i za druge vrste figura s tri strane. Istina, u tupokutnom trokutu jedan od kutova bit će čak i veći od 90 °, a preostala dva sigurno će biti oštra. U ovom slučaju, to je najveći kut koji će biti nasuprot najduže stranice. Istina, ovo nisu sva svojstva tupokutnog trokuta. Ali čak i poznavajući samo ove značajke, školarci mogu riješiti mnoge probleme u geometriji.
Za svaki mnogokut s tri vrha također vrijedi da nastavljanjem bilo koje stranice dobivamo kut čija će veličina biti jednaka zbroju dvaju nesusjednih unutarnjih vrhova. Opseg tupokutnog trokuta izračunava se na isti način kao i za druge oblike. Jednaka je zbroju duljina svih njegovih stranica. Kako bi to odredili, matematičari su razvili različite formule, ovisno o tome koji su podaci inicijalno prisutni.
Ispravan stil
Jedan od najvažnijih uvjeta za rješavanje geometrijskih zadataka je ispravno crtanje. Profesori matematike često kažu da će to pomoći ne samo da vizualizirate što je zadano i što se od vas traži, već da se 80% približite točnom odgovoru. Zbog toga je važno znati konstruirati tupokutni trokut. Ako vam treba samo hipotetski lik, tada možete nacrtati bilo koji poligon s tri strane tako da jedan od kutova bude veći od 90 stupnjeva.
Ako su dane određene vrijednosti duljina stranica ili stupnjeva kutova, tada je potrebno nacrtati tupi trokut u skladu s njima. U tom slučaju potrebno je pokušati prikazati kutove što je točnije moguće, izračunavajući ih pomoću kutomjera, a stranice prikazati proporcionalno uvjetima danim u zadatku.
Glavne linije
Često školarcima nije dovoljno znati samo kako bi određene figure trebale izgledati. Ne mogu se ograničiti samo na informacije o tome koji je trokut tupokutan, a koji pravi. Matematički tečaj zahtijeva potpunije poznavanje osnovnih obilježja likova.
Dakle, svaki bi školarac trebao razumjeti definiciju simetrale, medijane, simetrale okomice i visine. Uz to mora poznavati njihova osnovna svojstva.
Dakle, simetrale dijele kut na pola, a suprotnu stranicu na segmente koji su proporcionalni susjednim stranicama.
Medijan dijeli bilo koji trokut na dva jednaka po površini. Na mjestu gdje se sijeku svaki od njih je podijeljen na 2 segmenta u omjeru 2:1, gledano iz vrha iz kojeg je izišao. U ovom slučaju, veliki medijan je uvijek povučen na svoju najmanju stranu.
Ništa se manje pažnje ne posvećuje visini. Ovo je okomito na stranu nasuprot kutu. Visina tupokutnog trokuta ima svoje karakteristike. Ako je povučen iz oštrog vrha, onda ne završava na strani ovog najjednostavnijeg poligona, već na njegovom nastavku.
Simetrala je odsječak koji se proteže od središta površine trokuta. Štoviše, nalazi se pod pravim kutom prema njemu.
Rad s krugovima
Na početku proučavanja geometrije djeci je dovoljno razumjeti kako nacrtati tupi trokut, naučiti ga razlikovati od drugih vrsta i zapamtiti njegova osnovna svojstva. No srednjoškolcima to znanje više nije dovoljno. Na primjer, na Jedinstvenom državnom ispitu često postoje pitanja o opisanim i upisanim krugovima. Prvi od njih dodiruje sva tri vrha trokuta, a drugi ima jednu zajedničku točku sa svim stranicama.
Konstruiranje upisanog ili opisanog tupokutnog trokuta mnogo je teže, jer da biste to učinili, prvo morate saznati gdje bi trebali biti središte kruga i njegov polumjer. Usput, u ovom slučaju, ne samo olovka s ravnalom, već i kompas postat će neophodan alat.
Iste poteškoće nastaju kod konstruiranja upisanih poligona s tri strane. Matematičari su razvili razne formule koje im omogućuju što točnije određivanje njihove lokacije.
Upisani trokuti
Kao što je ranije rečeno, ako krug prolazi kroz sva tri vrha, tada se naziva opisani krug. Njegovo glavno svojstvo je da je jedinstven. Da biste saznali kako bi se trebao nalaziti opisani krug tupokutnog trokuta, morate zapamtiti da je njegovo središte na sjecištu tri bisektoralne okomice koje idu na strane figure. Ako se u oštrokutnom poligonu s tri vrha ova točka nalazi unutar njega, tada će u tupokutnom poligonu biti izvan njega.
Znajući, na primjer, da je jedna od strana tupokutnog trokuta jednaka njegovom polumjeru, možete pronaći kut koji leži nasuprot poznatom licu. Njegov sinus bit će jednak rezultatu dijeljenja duljine poznate strane s 2R (gdje je R polumjer kruga). To jest, greška kuta bit će jednaka ½. To znači da će kut biti jednak 150°.
Ako trebate pronaći polumjer opisanog kruga tupokutnog trokuta, tada će vam trebati informacija o duljini njegovih stranica (c, v, b) i površini S. Uostalom, polumjer se izračunava ovako: (c x v x b) : 4 x S. Usput, nije važno koju vrstu figure imate: tupokutni trokut, jednakokračan, pravokutan ili oštrokutan. U bilo kojoj situaciji, zahvaljujući gornjoj formuli, možete saznati područje zadanog poligona s tri strane.
Opisani trokuti
Također često morate raditi s upisanim krugovima. Prema jednoj formuli, polumjer takve figure, pomnožen s ½ perimetra, bit će jednak površini trokuta. Istina, da biste to shvatili morate znati strane tupokutnog trokuta. Uostalom, da biste odredili ½ opsega, morate zbrojiti njihove duljine i podijeliti s 2.
Da bismo razumjeli gdje treba biti središte kružnice upisane u tupokutni trokut, potrebno je nacrtati tri simetrale. Ovo su linije koje dijele uglove. Na njihovom sjecištu će se nalaziti središte kruga. U ovom slučaju, bit će jednako udaljen sa svake strane.
Polumjer takve kružnice upisane u tupokutni trokut jednak je kvocijentu (p-c) x (p-v) x (p-b): p. U ovom slučaju, p je poluopseg trokuta, c, v, b su njegove stranice.