В общем случае линейное уравнение имеет вид:

Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Общая характеристика разрешенной системы уравнений

Пример 20.1

Дать характеристику системе уравнений .

Решение :

1. Входит ли в состав противоречивое уравнение? (Если коэффициенты, в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым .)

• Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения

2. Найти все разрешенные переменные . (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).

3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной , если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)

Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (), а не входящие в набор — свободными ().

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:

На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).

Общее Частное Базисное решения

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

• Базисное решение (вектор) называется вырожденным , если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным , если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Теорема (1)

Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).

Пример 1. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений:

Решение :

1. Проверяем является ли система разрешенной?

• Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)

2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения .

3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор .

4. Находим частное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.

Ответ: частное решение (один из вариантов)

5. Находим базисное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.

Элементарные преобразования линейных уравнений

Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.

Теорема (2)

Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число , а остальные уравнения оставить без изменения, то . (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)

Теорема (3)

Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной . (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)

Следствие из Теорем (2 и 3)

Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной .

Формулы пересчета коэффициентов системы

Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.

Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).

Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:

Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .

Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системы

При делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:

Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.

Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.

Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
5. Далее заново переходят к пункту 1

Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса.

Найти : два общих и два соответствующих базисных решения

Решение :

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи" . В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы , поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы - буквой $\widetilde{A}$.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то решение есть; если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква $n$, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
2. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют - то сколько.

Пример №1

Исследовать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end{aligned}\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}$, запишем их:

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right);\; \widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right). $$

Нужно найти $\rang A$ и $\rang\widetilde{A}$. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе "Ранг матрицы" . Обычно для исследования таких систем применяют два метода: "Вычисление ранга матрицы по определению" или "Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований" .

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг - это наивысший порядок миноров матрицы , среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ - это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков" :

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Нам требуется найти также и $\rang\widetilde{A}$. Давайте посмотрим на структуру матрицы $\widetilde{A}$. До черты в матрице $\widetilde{A}$ находятся элементы матрицы $A$, причём мы выяснили, что $\Delta A\neq 0$. Следовательно, у матрицы $\widetilde{A}$ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы $\widetilde{A}$ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: $\rang\widetilde{A}=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы .

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может - ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Подробно это метод описан в соответствующей теме . Мы станем вычислять ранг матрицы $\widetilde{A}$. Почему именно матрицы $\widetilde{A}$, а не $A$? Дело в том, что матрица $A$ является частью матрицы $\widetilde{A}$, поэтому вычисляя ранг матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно найдем и ранг матрицы $A$.

\begin{aligned} &\widetilde{A} =\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \rightarrow \left|\text{меняем местами первую и вторую строки}\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ III-2\cdot II \end{array}\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}

Мы привели матрицу $\widetilde{A}$ к трапециевидной форме . На главной дагонали полученной матрицы $\left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right)$ расположены три ненулевых элемента: -1, 3 и -7. Вывод: ранг матрицы $\widetilde{A}$ равен 3, т.е. $\rang\widetilde{A}=3$. Делая преобразования с элементами матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы $A$, расположенные до черты. Матрица $A$ также приведена к трапециевидной форме: $\left(\begin{array} {ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \right)$. Вывод: ранг матрицы $A$ также равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество - это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса . Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор - это дело вкуса.

Ответ : Заданная СЛАУ совместна и определена.

Пример №2

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований . Расширенная матрица системы: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end{array} \right)$. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме . Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, $\rang A=3$. Матрица $A$ (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, $\rang A=2$.

Так как $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Ответ : система несовместна.

Пример №3

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Расширенная матрица системы имеет вид: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccccc|c} 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: $\left(\begin{array} {ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right)$.

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме . Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde{A}=\rang A < n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ : система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики.

Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени : без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.

В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:
Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:

Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения

Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.

Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::

– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод») ;
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы ;
– Решение системы по формулам Крамера ;
– Решение системы с помощью обратной матрицы ;
– Решение системы методом Гаусса .

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса».

Пример 1

Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Кроме того, система может быть несовместной (не иметь решений) .Не тушуйтесь, это общее определение =) У нас же будет всего лишь одно значение «икс» и одно значение «игрек», которые удовлетворяют каждому уравнению с-мы.

Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой . Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действия-действия.

Решаем : из первого уравнения выразим:
Полученное выражение подставляем во второе уравнение:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :

Далее вспоминаем про то, от чего плясали:
Значение нам уже известно, осталось найти:

Ответ :

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку (устно, на черновике либо калькуляторе) . Благо, делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ в первое уравнение :

– получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение :

– получено верное равенство.

Или, если говорить проще, «всё сошлось»

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из четырех способов – выразить из второго уравнения:

Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше вниманиена то, КАК я записал выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: .

Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях .

Именно , а не или !

Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий.

Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:

Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом . Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лох снизит оценку за использование «школьного метода».
Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции . Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.

При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.

Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:

Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.

Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:

Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить или .

Далее, выражение для подставляем во второе и третье уравнения системы:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Третье уравнение делим на 2:

Из второго уравнения выразим и подставим в третьей уравнение:

Практически всё готово, из третьего уравнения находим:
Из второго уравнения:
Из первого уравнения:

Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:

1)
2)
3)

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:

Я взял ту же систему, что и первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных .

Инструкция

Метод подстановки или последовательного исключения.Подстановку используют в системе с небольшим количеством неизвестных. Это простейший метод решения для несложных . Сначала из первого уравнения выражаем одно неизвестное через другие, подставляем это выражение во второе уравнение. Выражаем из преображенного второго уравнения второе неизвестное, подставляем полученное в третье уравнение и т.д. до тех пор, пока не вычислим последнее неизвестное. Затем подставляем его значение в предыдущее уравнение и узнаем предпоследнее неизвестное и т.д. Рассмотрим с неизвестными.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Выразим из первого уравнения x: x = 3 - y. Подставим во второе уравнение: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Подставляем в первое уравнение системы (или в выражение для x, что одно и то же): x + 1 - 3 = 0. Получим, что x = 2.

Метод почленного вычитания (или сложения).Этот метод часто сократить решения системы и упростить вычисления. Состоит он в том, чтобы проанализировав при неизвестных таким образом сложить (или вычесть) уравнения системы , чтобы исключить часть неизвестных из уравнения. Рассмотрим пример, возьмем ту же систему, что и в первом методе.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Легко видеть, что при y стоят одинаковые по модулю коэффициенты, но с знаком, поэтому если мы сложим два уравнения почленно, то yдастся исключить y. Выполним сложение: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 или 3x - 6 = 0. Таким образом, x = 2. Подставив это значение в любое уравнение, найдем y.
Можно, наоборот, исключить x. Коэффициенты при x одинаковы по знаку, поэтому будем вычитать одно уравнение из другого. Но в первом уравнении коэффициент при x - 1, а во втором - 2, поэтому просто не удастся исключить x. Умножим первое уравнение на 2, получим такую систему:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Теперь почленно вычтем из первого уравнения второе: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 или, приведя подобные, 3y - 3 = 0. Таким образом y = 1. Подставив в любое уравнение, найдем x.

Видео по теме

Совет 2: Как доказать совместимость системы линейных уравнений

Одно из заданий высшей математики – доказательство совместимости системы линейных уравнений. Доказательство необходимо проводить по теореме Кронкера-Капелли, согласно которой система совместна, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Инструкция

Запишите основную матрицу системы. Для этого приведите уравнения в стандартный вид (то есть выставьте все коэффициенты в одном и том же порядке, если какого либо из них нет – запишите, просто с числовым коэффициентом «0»). Выпишите все коэффициенты в виде таблицы, заключите ее в скобки (свободные члены, перенесенные в правую часть, не учитывайте).

Точно также запишите расширенную матрицу системы, только в этом случае поставьте справа вертикальную черту и запишите столбик свободных членов.

Посчитайте ранг основной матрицы, это наибольший ненулевой минор. Минор первого порядка – это любая цифра матрицы, очевидно, что она не равна нулю. Чтобы посчитать минор второго порядка, возьмите любые две строки и любые два столбца (у вас получится из четырех цифр). Посчитайте определитель, умножьте верхнее левое число на нижнее правое, вычтите из полученного числа произведение нижнего левого и верхнего правого. У вас получился минор второго порядка.

Сложнее посчитать минор третьего порядка. Для этого возьмите любые три строки и три столбца, у вас получится таблица из девяти чисел. Посчитайте определитель по формуле: ∆=а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31а22а13-а12а21а33-а11а23а32 (первая цифра коэффициента – номер строки, вторая цифра – номер столбца). Вы получили минор третьего порядка.

Точно так же найдите ранг расширенной матрицы. Обратите внимание, если количество уравнений в вашей системе совпадает с рангом (например, три уравнения, и ранг равен 3), рассчитывать ранг расширенной матрицы нет смысла – очевидно, что он также будет равен этому числу. В таком случае можно смело вывод о том, что система линейных уравнений совместна.

Видео по теме

Заданный вопрос полностью покрывает основную цель целого курса «Линейная алгебра». Поэтому ответ можно дать только в сжатом виде, без подробных выкладок и пояснений. В целом же линейные уравнения интересны тем, что решать их возможно чисто алгоритмическими методами.

Инструкция

Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1).
В ней аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п). Практический смысл такая система имеет в том случае, когда число ее уравнений не превышает число неизвестных, то есть при m≤n. Дело в том, что в противном случае «лишние» уравнения должны являться линейной комбинацией остальных. Это , что они их просто повторяют. Если нет, то и решение не существует (система не совместна).

Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – коэффициентов системы, Х – матрица- столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 2). Если m=n, т.е. есть количество неизвестных и число уравнений одинаково, то матрица А квадратная. Потому для нее определено понятие определителя матрицы ∆=|A|. При |A|≠0 существует обратная матрица A⁻¹. Ее базируется на равенстве АA⁻¹= A⁻¹A=E (E – единичная матрица). Формула для вычисления также присутствует на рисунке 2. Следует лишь добавить, что элементы Aij Ã, называемые алгебраическими дополнениями элементов aij матрицы А вычисляются следующим образом. Возьмите определитель |A|и вычеркните из него строку и столбец, на котором находится элемент aij. Оставшиеся коэффициенты запишите в виде определителя, который умножьте на (-1), если i+j не четно. Соответствующее число равно Aij. Алгебраические дополнения записываются по столбцам присоединенной матрицы.

Найдите решение системы матричным способом. Для этого обе части системы AX=B умножьте на A⁻¹ слева. Получите (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B или X=A⁻¹B. Все подробности проиллюстрированы на рис. 3. На этом же рисунке приведена