Teorema o promjeni kinetičke energije materijalne tačke. Teorem dinamike dinamike Moskovskog državnog univerziteta štampe o promjeni kinetičke energije

Integralni (konačni) oblik. Teorema o promjeni kinetičke energije materijalne tačke: promjena kinetičke energije materijalne tačke pri nekom njenom pomaku jednaka je algebarskom zbiru rada svih sila koje djeluju na ovu tačku pri istom pomaku.

Formulisana je teorema o promeni kinetičke energije mehaničkog sistema: promjena kinetičke energije mehaničkog sistema kada se kreće iz jednog položaja u drugi jednaka je zbiru rada svih vanjskih i unutrašnjih sila koje se primjenjuju na sistem tokom ovog kretanja:

U slučaju nepromjenjivog sistema, zbir rada unutrašnjih sila na bilo kojem pomaku jednak je nuli (), tada

Zakon održanja mehaničke energije. Kada se mehanički sistem kreće pod uticajem sila koje imaju potencijal, promene kinetičke energije sistema određene su zavisnostima:

gdje,

Zove se zbroj kinetičke i potencijalne energije sistema ukupna mehanička energija sistema.

Dakle, Kada se mehanički sistem kreće u stacionarnom potencijalnom polju, ukupna mehanička energija sistema tokom kretanja ostaje nepromenjena.

Zadatak. Mehanički sistem, pod uticajem gravitacije, dolazi u pokret iz stanja mirovanja. Uzimajući u obzir trenje klizanja tijela 3, zanemarujući druge sile otpora i mase niti za koje se pretpostavlja da su nerastegljive, odredite brzinu i ubrzanje tijela 1 u trenutku kada put koji se njime pređe postane jednak s(Sl. 3.70).

U zadatku prihvatite:

Rješenje. Na mehanički sistem djeluju aktivne sile , , . Primjenjujući princip oslobađanja sistema od ograničenja, prikazat ćemo reakcije zglobno-fiksnog nosača 2 i hrapave kose površine. Prikazaćemo pravce brzina tela sistema uzimajući u obzir činjenicu da se telo 1 spušta.

Rešimo problem primenom teoreme o promeni kinetičke energije mehaničkog sistema:

Gdje T i kinetička energija sistema u početnoj i krajnjoj poziciji; - algebarski zbir rada izvršenog od strane vanjskih sila primijenjenih na sistem kako bi se sistem pomjerio od početne do krajnje pozicije; - zbir rada izvršenog od strane unutrašnjih sila sistema pri istom pomaku.

Za sistem koji se razmatra, koji se sastoji od apsolutno krutih tijela povezanih nerastavljivim nitima:

Pošto je sistem mirovao u početnoj poziciji, onda . dakle:

Kinetička energija sistema je zbir kinetičkih energija tela 1, 2, 3:

Kinetička energija tereta 1 koji se kreće naprijed jednaka je:

Kinetička energija bloka 2 koji rotira oko ose Oz, okomito na ravan crteža:

Kinetička energija tijela 3 u njegovom kretanju naprijed:

dakle,

Izraz za kinetičku energiju sadrži nepoznate brzine svih tijela u sistemu. Definicija mora početi sa . Oslobodimo se nepotrebnih nepoznanica kreiranjem jednadžbi veza.

Jednačine ograničenja nisu ništa više od kinematičkih odnosa između brzina i kretanja tačaka u sistemu. Prilikom sastavljanja jednadžbi ograničenja, sve nepoznate brzine i kretanja tijela sistema ćemo izraziti kroz brzinu i kretanje tereta 1.

Brzina bilo koje tačke na obodu malog poluprečnika jednaka je brzini tela 1, kao i proizvodu ugaone brzine tela 2 i poluprečnika rotacije r:

Odavde izražavamo ugaonu brzinu tela 2:

Brzina rotacije bilo koje tačke na obodu bloka velikog poluprečnika, s jedne strane, jednaka je umnošku ugaone brzine bloka i poluprečnika rotacije, as druge strane, brzini tela 3 :

Zamjenom vrijednosti ugaone brzine dobijamo:

Integrisavši izraze (a) i (b) pod početnim uslovima, zapisujemo omjer pomaka tačaka sistema:

Poznavajući glavne zavisnosti brzina tačaka sistema, vraćamo se na izraz kinetičke energije i u njega unosimo jednačine (a) i (b):

Moment inercije tijela 2 jednak je:

Zamjenjujući vrijednosti tjelesnih masa i momenta inercije tijela 2, pišemo:

Određivanje zbira rada svih vanjskih sila sistema pri datom pomaku.

Sada, prema teoremi o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema, izjednačavamo vrijednosti T I

Brzina tijela 1 se dobija iz izraza (g)

Ubrzanje tijela 1 može se odrediti diferenciranjem jednakosti (g) s obzirom na vrijeme.

Primjer rješavanja zadatka korištenjem teoreme o promjeni kinetičke energije sistema s krutim tijelima, blokovima, remenicama i oprugom.

Sadržaj

Zadatak

Mehanički sistem se sastoji od utega 1 i 2, stepenaste remenice 3 sa poluprečnikom stepenica R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m i radijus rotacije u odnosu na os rotacije ρ 3 = 0,2 m, blok 4 radijus R 4 = 0,2 m i pokretni blok 5. Blok 5 se smatra čvrstim homogenim cilindrom. Koeficijent trenja opterećenja 2 na ravni f = 0,1 . Tijela sistema su međusobno povezana nitima prebačenim preko blokova i namotanim na remenicu 3. Presjeci navoja su paralelni sa odgovarajućim ravnima. Na pokretni blok 5 pričvršćena je opruga sa koeficijentom krutosti c = 280 N/m.

Pod uticajem sile F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, u zavisnosti od pomaka s tačke njegove primene, sistem počinje da se kreće iz stanja mirovanja. Deformacija opruge u trenutku pokretanja je nula. Kada se kreće, na remenicu 3 djeluje konstantni moment M = 1,6 Nm sile otpora (od trenja u ležajevima). Tjelesne mase: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Odrediti vrijednost centra mase tijela 5 V C 5 u trenutku kada pomak s tereta 1 postane jednak s 1 = 0,2 m.

Bilješka. Kada rješavate problem, koristite teorema promjene kinetičke energije.

Rješenje problema

Dato: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

Pronađite: V C 5 .

Oznake varijabli

R 3 , r 3- radijusi stepenica remenice 3;
ρ 3 - radijus inercije remenice 3 u odnosu na osu rotacije;
R 5 - poluprečnik bloka 5;
V 1 , V 2 - brzine tijela 1 i 2;
ω 3 - ugaona brzina rotacije remenice 3;
V C 5 - brzina centra mase C 5 blok 5;
ω 5 - ugaona brzina rotacije bloka 5;
s 1 , s 2 - kretanje tijela 1 i 2;
φ 3 - ugao rotacije remenice 3;
s C 5 - kretanje centra mase C 5 blok 5;
s A, s B - pokretne tačke A i B.

Uspostavljanje kinematičkih odnosa

Uspostavimo kinematičke odnose. Budući da su tereti 1 i 2 povezani jednim navojem, njihove brzine su jednake:
V 2 = V 1.
Budući da je navoj koji povezuje opterećenje 1 i 2 namotan na vanjski stupanj remenice 3, točke vanjskog stupnja remenice 3 se kreću brzinom V 2 = V 1. Tada je ugaona brzina rotacije remenice:
.
Brzina centra mase V C 5 blok 5 jednak je brzini točaka unutrašnjeg stupnja remenice 3:
.
Brzina tačke K je nula. Dakle, to je centar trenutne brzine bloka 5. Ugaona brzina rotacije bloka 5:
.
Brzina tačke B - slobodnog kraja opruge - jednaka je brzini tačke A:
.

Izrazimo brzine u V C 5 .
;
;
.

Sada instalirajmo veze između pokreta tijela i uglova rotacije remenica i blok. Budući da su brzine i ugaone brzine vremenski derivati ​​pomaka i uglova rotacije
,
tada će iste veze biti između pomaka i uglova rotacije:
s 2 = s 1;
;
;
.

Određivanje kinetičke energije sistema

Nađimo kinetičku energiju sistema. Opterećenje 2 vrši translacijsko kretanje brzinom V 2 . Remenica 3 vrši rotacijsko kretanje s kutnom brzinom rotacije ω 3 . Blok 5 izvodi ravno-paralelno kretanje. Rotira ugaonom brzinom ω 5 a njegov centar mase se kreće brzinom V C 5 . Kinetička energija sistema:
.

Budući da je zadan polumjer inercije remenice u odnosu na os rotacije, moment inercije remenice u odnosu na os rotacije određuje se formulom:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Pošto je blok 5 čvrst homogeni cilindar, njegov moment inercije u odnosu na centar mase jednak je
.

Koristeći kinematičke relacije, izražavamo sve brzine kroz V C 5 i zamijenite izraze za momente inercije u formulu za kinetičku energiju.
,
gde smo uneli konstantu
kg.

Dakle, našli smo zavisnost kinetičke energije sistema od brzine centra mase V C 5 pokretni blok:
, gdje je m = 75 kg.

Određivanje količine rada vanjskih sila

Uzmite u obzir vanjske sile, djelujući na sistem.
Istovremeno, ne razmatramo sile zatezanja niti, jer su niti nerastavljive i stoga ne proizvode rad. Iz tog razloga ne razmatramo unutrašnja naprezanja koja djeluju u tijelima, jer su ona apsolutno čvrsta.
Na tijelo 1 (sa nultom masom) djeluje data sila F.
Na opterećenje 2 djeluje gravitacija P 2 = m 2 g 2 i sila trenja F T .
Na remenicu 3 djeluje gravitacija P 3 = m 3 g, sila pritiska N osi 3 i moment sile trenja M.
Remenica 4 (sa nultom masom) je pod utjecajem sile pritiska N ose 4 .
Na pokretni blok 5 djeluje gravitacija P 5 = m 5 g, elastična sila F y opruge i sila zatezanja navoja T K u tački K.

Rad koji radi sila pri pomicanju tačke njene primjene malim pomakom jednak je skalarnom proizvodu vektora, odnosno proizvodu apsolutnih vrijednosti vektora F i ds kosinusom ugla između njima. Zadata sila primijenjena na tijelo 1 je paralelna kretanju tijela 1. Dakle, rad sile kada se tijelo 1 pomjeri za udaljenost s 1 je jednako:


J.

Razmotrimo opterećenje 2. Na njega djeluje sila gravitacije P 2 , površinska sila pritiska N 2 , sila zatezanja konca T 23 , T 24 i sila trenja F T . Budući da se teret ne kreće u vertikalnom smjeru, projekcija njegovog ubrzanja na vertikalnu os je nula. Dakle, zbir projekcija sila na vertikalnu os jednak je nuli:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Sila trenja:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Snage P 2 i N 2 okomito na pomak s 2 , tako da ne proizvode rad.
Rad sile trenja:
J.

Ako posmatramo opterećenje 2 kao izolovani sistem, onda moramo uzeti u obzir rad koji proizvode sile zatezanja niti T 23 i T 24 . Međutim, zanima nas ceo sistem, koji se sastoji od tela 1, 2, 3, 4 i 5. Za takav sistem, sile zatezanja niti su unutrašnje sile. A pošto su niti nerastavljive, zbir njihovog rada je nula. U slučaju opterećenja 2, također morate uzeti u obzir sile zatezanja niti koje djeluju na remenicu 3 i blok 4. One su jednake po veličini i suprotne u smjeru sila T 23 i T 24 . Prema tome, rad koji vrše sile zatezanja navoja 23 i 24 nad opterećenjem 2 jednak je po veličini i suprotnog predznaka radu koji vrše sile zatezanja ovih navoja preko remenice 3 i bloka 4. Kao rezultat toga, iznos od rad koji stvaraju sile zatezanja niti je nula.

Razmotrimo remenicu 3. Kako se njeno središte mase ne pomiče, rad koji vrši gravitacija P 3 jednaka nuli.
Zbog C osi 3 je nepomična, tada je sila pritiska N ose 3 ne proizvodi rad.
Rad koji obavlja obrtni moment izračunava se slično radu sile:
.
U našem slučaju, vektori momenta sila trenja i kuta rotacije remenice usmjereni su duž osi rotacije remenice, ali suprotno u smjeru. Dakle, rad momenta sila trenja:
J.

Pogledajmo blok 5.
Pošto je brzina tačke K nula, sila T K ne proizvodi rad.
Centar mase bloka C 5 premjestio na udaljenost s C 5 gore. Dakle, rad koji vrši gravitacija bloka je:
J.
Rad elastične sile opruge jednak je promjeni potencijalne energije opruge sa predznakom minus. Pošto opruga u početku nije deformisana, onda
J.

Zbir rada svih sila:

J.

Primjena teoreme o promjeni kinetičke energije sistema

Primijenimo teoremu o promjeni kinetičke energije sistema u integralnom obliku.
.
Pošto je sistem na početku mirovao, njegova kinetička energija na početku njegovog kretanja je
T 0 = 0 .
Onda
.
Odavde
gospođa.

Kinetička energija mehaničkog sistema sastoji se od kinetičkih energija svih njegovih tačaka:

Razlikujući svaki dio ove jednakosti s obzirom na vrijeme, dobijamo

Koristeći osnovni zakon dinamike za To tačku sistema m k 2i k= Fj., dolazimo do jednakosti

Zove se skalarni proizvod sile F i brzine v u tački njene primjene snaga sile i označiti R:

Koristeći ovu novu notaciju, predstavljamo (11.6) u sljedećem obliku:

Rezultirajuća jednakost izražava diferencijalni oblik teoreme o promjeni kinetičke energije: brzina promjene kinetičke energije mehaničkog sistema jednaka je zbiru j snaga svih cm koji djeluju na sistem.

Predstavljanje izvedenice f u (8.5) u obliku razlomaka -- i performanse

zatim odvajanjem varijabli dobijamo:

Gdje dT- diferencijal kinetičke energije, tj. njegova promjena u beskonačno malom vremenskom periodu dr, dr k = k dt - elementarno kretanje Za- te tačke sistema, tj. kretanje u vremenu dt.

Skalarni proizvod sile F i elementarnog pomaka dr njene tačke primene se nazivaju osnovni rad sile i označavaju dA:

Koristeći svojstva skalarnog proizvoda, elementarni rad sile možemo predstaviti iu obliku

Evo ds = dr - dužina luka putanje tačke primene sile, koja odgovara njenom elementarnom pomaku s/g; A - ugao između pravaca vektora sile F i vektora elementarnog pomaka c/r; F„ F y , F,- projekcije vektora sile F na kartezijanske ose; dx, dy, dz - projekcije na kartezijanske ose vektora elementarnog pomaka s/g.

Uzimajući u obzir notaciju (11.9), jednakost (11.8) se može predstaviti u sljedećem obliku:

one. diferencijal kinetičke energije sistema jednak je zbiru elementarnih radova svih sila koje djeluju na sistem. Ova jednakost, poput (11.7), izražava diferencijalni oblik teoreme o promjeni kinetičke energije, ali se razlikuje od (11.7) po tome što ne koristi derivate, već infinitezimalne priraštaje - diferencijale.

Izvodeći pojam integraciju jednakosti (11.12), dobijamo

pri čemu se kao granice integracije koriste: 7 0 - kinetička energija sistema u trenutku? 0 ; 7) - kinetička energija sistema u trenutku tx.

Definitivni integrali tokom vremena ili A(F):

Napomena 1. Za izračunavanje rada ponekad je zgodnije koristiti nelučnu parametrizaciju putanje Gospođa), i koordinirati M(x(t), y(/), z(f)). U ovom slučaju, za elementarni rad prirodno je uzeti prikaz (11.11) i predstaviti krivolinijski integral u obliku:

Uzimajući u obzir notaciju (11.14) za rad na konačnom pomaku, jednakost (11.13) ima oblik

i predstavlja konačni oblik teoreme o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema.

Teorema 3. Promjena kinetičke energije mehaničkog sistema kada se kreće iz početnog položaja u krajnji položaj jednaka je zbiru rada svih sila koje djeluju na tačke sistema pri tom kretanju.

Komentar 2. Desna strana jednakosti (11.16) uzima u obzir rad svom snagom, djelujući na sistem, vanjski i unutrašnji. Ipak, postoje mehanički sistemi za koje je ukupan rad svih unutrašnjih sila jednak nuli. Ego tzv nepromjenjivi sistemi, u kojoj se udaljenosti između materijalnih tačaka u interakciji ne mijenjaju. Na primjer, sistem čvrstih tijela povezanih šarkama bez trenja ili fleksibilnim nerastezljivim nitima. Za takve sisteme, u jednakosti (11.16) dovoljno je uzeti u obzir samo rad vanjskih sila, tj. Teorema (11.16) ima oblik:

2.4.1. Kinetička energija mehaničkog sistema. Kinetička energija materijalne tačke mase koja se kreće brzinom naziva se količina

Kinetička energija mehaničkog sistema je zbir kinetičkih energija materijalnih tačaka uključenih u ovaj sistem:

U slučajevima kada se masa sistema distribuira kontinuirano, sumiranje u izrazu (7) se zamjenjuje integracijom po području raspodjele.

Odnos između vrijednosti kinetičke energije mehaničkog sistema u dva referentna sistema, od kojih je jedan stacionaran, a drugi se kreće translatorno brzinom, gdje je tačka C centar mase mehaničkog sistema, dat je kao Koenigova teorema:

. (8)

Evo - kinetička energija mehaničkog sistema u pokretnom koordinatnom sistemu.

Korištenje izraza (6, 7, 8) omogućava vam da napišete formule za izračunavanje kinetičke energije čvrstog tijela:

Kada se tijelo mase kreće naprijed brzinom

Pri rotaciji ugaonom brzinom oko fiksne ose tijela sa momentom inercije

u ravno-paralelnom kretanju krutog tijela s ugaonom brzinom pri vrijednosti središnjeg momenta inercije u odnosu na osu okomitu na ravan gibanja i vrijednosti momenta inercije u odnosu na trenutnu os rotacije

. (11)

2.4.2. Energetske karakteristike. Energetske karakteristike sile uključuju njenu snagu, rad i potencijalnu energiju.

Snaga sila, čija se tačka primjene kreće brzinom, naziva se veličina

Posao snagu na elementarnom intervalu vrijeme i elementarni pomak tačke primjene koji odgovara ovom vremenskom periodu određuje se pravilom

Posao snagu na konačnom intervalu vrijeme i odgovarajuća promjena polumjera - vektor tačke primjene ove sile od do - naziva se magnituda

. (14)

Na sličan način izračunava se rad u momentu para sila.

Potencijalna energija je definirana samo u slučajevima kada je izraz (13) totalni diferencijal:

Kada je uslov (15) ispunjen, kaže se da je sila potencijalna. Relacije koje povezuju projekcije sile na osu odabranog koordinatnog sistema sa funkcijom:

Ako se tačka primjene sile pomjerila iz pozicije u poziciju , tada integracijom (15) možemo dobiti

. (17)

Napomena: potencijalna energija se određuje do konstantnog člana; Navedena karakteristika nam omogućava da pretpostavimo da je potencijalna energija jednaka nuli u tački koju odaberemo (na primjer, u početku koordinata).

U slučaju kada je za skup sila koje djeluju na mehanički sistem moguće zapisati izraz za potencijalnu energiju, mehanički sistem se naziva konzervativan. Takvi mehanički sistemi imaju važne karakteristike - rad djelujućih sila ne ovisi o vrsti putanje i zakonu kretanja duž nje; rad pri kretanju po zatvorenoj petlji je nula.

Uvjeti pod kojima funkcija postoji:

2.4.3. Teorema o promjeni kinetičke energije. Zapisivanje teoreme o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku:

Vremenski izvod kinetičke energije mehaničkog sistema jednak je snazi ​​spoljašnjih i unutrašnjih sila.

Integralni oblik pisanja teoreme o promjeni kinetičke energije

, (20)

Gdje ; ; ; .

U konkretnom slučaju, kada je za ukupnost spoljašnjih i unutrašnjih sila sistema moguće napisati izraz za potencijalnu energiju, zakon održanja ukupne mehaničke energije je zadovoljen

a sam sistem se ispostavilo da je konzervativan.

PRIMJER 3. Za mehanički sistem prikazan na slici 2 dobiti diferencijalnu jednačinu za kretanje tereta.

RJEŠENJE. Koristimo teoremu o promjeni kinetičke energije u diferencijalnom obliku (19). Oslobodimo se mentalno veza primenom odgovarajućih reakcija na tela mehaničkog sistema (vidi sliku 2). Napomena: sile primijenjene na stacionarni centar mase koaksijalnog bloka nisu prikazane, jer je njihova snaga nula.

Hajde da napravimo izraz za kinetičku energiju mehaničkog sistema.

Skalarna veličina T, jednaka zbiru kinetičkih energija svih tačaka sistema, naziva se kinetička energija sistema.

Kinetička energija je karakteristika translacionog i rotacionog kretanja sistema. Na njegovu promjenu utiče djelovanje vanjskih sila i budući da je skalar, ne ovisi o smjeru kretanja dijelova sistema.

Nađimo kinetičku energiju za različite slučajeve kretanja:

1.Kretanje naprijed

Brzine svih tačaka sistema jednake su brzini centra mase. Onda

Kinetička energija sistema tokom translacionog kretanja jednaka je polovini proizvoda mase sistema i kvadrata brzine centra mase.

2. Rotacijski pokret(Sl. 77)

Brzina bilo koje tačke na tijelu: . Onda

ili koristeći formulu (15.3.1):

Kinetička energija tijela tokom rotacije jednaka je polovini proizvoda momenta inercije tijela u odnosu na osu rotacije i kvadrata njegove ugaone brzine.

3. Ravnoparalelno kretanje

Za dato kretanje, kinetička energija se sastoji od energije translacijskih i rotacijskih pokreta

Opći slučaj kretanja daje formulu za izračunavanje kinetičke energije sličnu prethodnoj.

Definiciju rada i snage dali smo u paragrafu 3 Poglavlja 14. Ovdje ćemo pogledati primjere izračunavanja rada i snage sila koje djeluju na mehanički sistem.

1.Rad gravitacionih sila. Neka , koordinate početnog i konačnog položaja tačke k tijela. Rad koji izvrši sila gravitacije koja djeluje na ovu česticu težine bit će . Zatim kompletan rad:

gde je P težina sistema materijalnih tačaka, vertikalno pomeranje centra gravitacije C.

2. Rad sila primijenjenih na tijelo koje se rotira.

Prema relaciji (14.3.1), možemo napisati , ali ds prema slici 74, zbog svoje beskonačne malenosti, može se predstaviti u obliku - beskonačno mali ugao rotacije tela. Onda

Magnituda koji se zove obrtni moment.

Prepisujemo formulu (19.1.6) kao

Elementarni rad jednak je proizvodu momenta i elementarne rotacije.

Prilikom rotacije kroz konačni ugao imamo:

Ako je obrtni moment konstantan, onda

a snaga je određena iz relacije (14.3.5)

kao proizvod obrtnog momenta i ugaone brzine tela.

Teorema o promjeni kinetičke energije dokazane za tačku (§ 14.4) vrijedit će za bilo koju tačku u sistemu

Sastavljanjem ovakvih jednadžbi za sve tačke sistema i njihovim sabiranjem član po član, dobijamo:

ili, prema (19.1.1):

što je izraz teoreme o kinetičkoj energiji sistema u diferencijalnom obliku.

Integracijom (19.2.2) dobijamo:

Teorema o promeni kinetičke energije u njenom konačnom obliku: promena kinetičke energije sistema tokom nekog konačnog pomeranja jednaka je zbiru rada obavljenog na ovom pomeranju svih spoljašnjih i unutrašnjih sila primenjenih na sistem.

Naglašavamo da unutrašnje sile nisu isključene. Za nepromenljivi sistem, zbir rada svih unutrašnjih sila je nula i

Ako se ograničenja nametnuta sistemu ne mijenjaju tokom vremena, tada se sile, i vanjske i unutrašnje, mogu podijeliti na aktivna i reakciona ograničenja, a jednačina (19.2.2) se sada može napisati:

U dinamici se uvodi koncept “idealnog” mehaničkog sistema. Ovo je sistem u kome prisustvo veza ne utiče na promenu kinetičke energije, tj

Takve veze, koje se ne mijenjaju s vremenom i čiji je zbir rada na elementarnom pomaku nula, nazivaju se idealnim, a jednačina (19.2.5) će se napisati:

Potencijalna energija materijalne tačke u datom položaju M je skalarna veličina P, jednaka radu koji će sile polja proizvesti prilikom pomeranja tačke iz položaja M u nulu

P = A (mj.) (19.3.1)

Potencijalna energija zavisi od položaja tačke M, odnosno od njenih koordinata

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Objasnimo ovdje da je polje sila dio prostornog volumena, u čijoj svakoj tački na česticu djeluje sila određene veličine i smjera, ovisno o položaju čestice, odnosno na koordinatama x, y, z. Na primjer, Zemljino gravitacijsko polje.

Poziva se funkcija U koordinata čiji je diferencijal jednak radu funkcija snage. Poziva se polje sile za koje postoji funkcija sile potencijalno polje sila, a sile koje djeluju u ovom polju su potencijalne sile.

Neka se nulte tačke za dvije funkcije sile P(x,y,z) i U(x,y,z) poklapaju.

Koristeći formulu (14.3.5) dobijamo, tj. dA = dU(x,y,z) i

gdje je U vrijednost funkcije sile u tački M. Dakle

P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Potencijalna energija u bilo kojoj tački polja sila jednaka je vrijednosti funkcije sile u ovoj tački, uzete sa suprotnim predznakom.

Odnosno, kada se razmatraju svojstva polja sila, umjesto funkcije sile, možemo uzeti u obzir potencijalnu energiju i, posebno, jednadžba (19.3.3) će se prepisati kao

Rad potencijalne sile jednak je razlici između vrijednosti potencijalne energije pokretne tačke u početnoj i krajnjoj poziciji.

Konkretno, rad gravitacije:

Neka sve sile koje djeluju na sistem budu potencijalne. Tada je za svaku tačku k sistema rad jednak

Tada će postojati za sve sile, i vanjske i unutrašnje

gdje je potencijalna energija cijelog sistema.

Ove sume zamjenjujemo u izraz za kinetičku energiju (19.2.3):

ili konačno:

Kada se kreće pod uticajem potencijalnih sila, zbir kinetičke i potencijalne energije sistema u svakom njegovom položaju ostaje konstantan. Ovo je zakon održanja mehaničke energije.

Teret mase 1 kg slobodno oscilira prema zakonu x = 0,1 sinl0t. Koeficijent krutosti opruge c = 100 N/m. Odrediti ukupnu mehaničku energiju tereta na x = 0,05 m, ako je pri x = 0 potencijalna energija nula . (0,5)

Teret mase m = 4 kg, padajući, uzrokuje rotaciju cilindra polumjera R = 0,4 m uz pomoć navoja. Moment inercije cilindra u odnosu na os rotacije je I = 0,2. Odrediti kinetičku energiju sistema tijela u trenutku kada je brzina tereta v = 2m/s . (10,5)