.

V obecném případě je řešení soustavy rovnic popisujících chování viskózní tekutiny analytickými metodami nemožné. Pouze v případě některých nejjednodušších typů proudění mají tyto rovnice analytická řešení. Problémy praktického významu jsou řešeny především pomocí přibližných numerických metod na počítači. Hlavní potíž při analytickém řešení těchto rovnic je způsobena nelineárním členem. V této části se budeme zabývat nejjednoduššími stacionárními toky, pro které je člen shodně roven nule. Tento Couetteův a Poiseuilleův proud.

Pohyb viskózní kapaliny lze vyvolat dvěma způsoby: pomocí vnějších sil (objemových sil nebo tlakových sil, například vytvořením tlakového rozdílu na koncích vodorovné trubky nebo odstraněním trubky z vodorovné polohy), nebo pohybující se stěny omezující kapalinu.

Ustálené proudění způsobené vnějšími tlakovými silami se nazývá Poiseuilleovo proudění a proudění způsobené pohybujícími se stěnami se nazývá Couetteův proud. Toky popsané v předchozím odstavci jsou příklady takových toků.

1 . Rovinně paralelní Couette proudění. Prozkoumejme rozložení rychlostí a tlaků v proudění znázorněném na Obr. 19.13a. Propojení souřadnicové roviny XY se spodní deskou, pro okrajové podmínky získáme:

. (19.64)

Pro stacionární proudění nestlačitelné tekutiny bude mít rovnice kontinuity následující tvar:

(19.65)

a Navier-Stokesova rovnice

. (19.66)

Na základě symetrie proudění lze tvrdit, že pouze jedna složka rychlosti je nenulová. Je také zřejmé, že rychlost (stejně jako tlak) nemůže záviset na souřadnici. V tomto případě z rovnice kontinuity (19.65) vyplývá, že =0, tedy také nezávisí na souřadnici X . Znamená, . Za těchto podmínek je zřejmé, že

. (19.67)

Promítání rovnice (19.66) na osu X a Z s přihlédnutím k tomu, že v toku Couette nedochází podél toku k žádnému poklesu tlaku, tzn p = p(z), dostáváme

. (19.68)

Druhá rovnice udává rozložení hydrostatického tlaku v kapalině, které nemá žádný vliv na dynamiku proudění a z první rovnice získáme zákon

Integrační konstanty A a B určíme z okrajových podmínek (19.64): . V důsledku toho v rovinně paralelním Couette toku má rychlost následující rozložení:

, (19.69)

znázorněno na obr. 19.13 b (lineární rychlostní profil). Třecí napětí v kapalině je všude stejné a stejně velké

(19.70)

Navíc na spodní desce má směr proudění a na horní desce má opačný směr. Proto, aby se spodní deska nepohybovala, musí na ni působit síla, kde je povrch desky.

2 . Rovinně paralelní Poiseuilleovo proudění. V tomto případě jsou desky nehybné, ale podél osy X je udržován konstantní tlakový rozdíl:

. (19.71)

A opět na základě úvah o symetrii pomocí rovnice kontinuity získáme podmínku. Takže vztahy (19,67) jsou také pravdivé. Promítání Navier-Stokesovy rovnice na osu X a Z, dostáváme

. (19.72)

Z první rovnice dostaneme. Dosadíme-li to do druhé rovnice, dostaneme

(19.73)

jehož levá strana závisí pouze na X a ten pravý je z . To je možné, pokud se levá a pravá strana rovnice rovná stejné konstantě A, která je vyjádřena v (19.73). Pomocí podmínky (19.71) získáme

(19.74)

Kde. Integrační rovnice (19.73) přes z dá

. (19.74)

Konstanta B a C integrace bude určena na základě podmínky „spojení“.

. (19.75)

Po určení konstant PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM a jejich nahrazením do (19.74), dostaneme:

. (19.76)

Obr. 19.14

Jak vidíme, planparalelní Poiseuilleovo proudění je charakterizováno parabolickým profilem rychlostního pole (obr. 19.14). Třecí napětí na stěnách směřuje podél osy X a rovné.

3 . Poiseuilleovo proudění v kulaté válcové trubici. Vzhledem k tomu, že proudění v přímé trubici je symetrické vzhledem k válci, je vhodné nasměrovat osu podél této osy a spojit souřadnicovou rovinu se základnou (obr. 19.15). Průtok je vytvářen a udržován konstantním tlakovým rozdílem:

. (19.77)

Je jasné, že rychlost ve válci má pouze složku. Vzhledem k osové symetrii proudění budou veličiny nezávislé na souřadnici (v tomto problému se nebere v úvahu gravitace). Z rovnice kontinuity vyplývá, že nemůže také záviset na:

. (19.78)

V tomto případě

Vezmeme-li v úvahu druhé, komponenty a Navier-Stokesovy rovnice dají

. (19.79)

Z první rovnice vyplývá, že levá a pravá strana druhé rovnice, které jsou závislé na různých nezávislých proměnných, se musí rovnat stejné konstantní hodnotě. Z podmínky (19,77) určíme

Obr. 19.15

Když to nahradíme (19.79) a integrujeme, dostaneme:

Z konečnosti rychlosti na ose vyplývá, že a je určeno z okrajové podmínky rychlosti:

(19.80)

kde je poloměr válce. To znamená, že rychlostní profil je opět parabolický

(19.81)

ve kterém rychlost dosáhne své maximální hodnoty na ose válce:

Hmotnost kapaliny proudící napříč průřezem trubky za jednotku času bude

(19.82)

to znamená, že je přímo úměrná součinu čtvrté mocniny poloměru trubky a poklesu tlaku a nepřímo úměrná kinetické viskozitě kapaliny.

Třecí napětí na stěně trubky je v tomto případě rovné

a vedeny podél proudu.

Toky uvažované v této části jsou idealizace, protože se předpokládá, že pevná tělesa (desky, trubky) jsou nekonečná. Získané výsledky se však v praxi použijí, pokud je například délka a šířka desek mnohem větší než vzdálenost mezi nimi nebo pokud je délka válce mnohem větší než jeho poloměr. Experimenty prováděné v podobných válcích vedly Hagena (1839) a Poiseuille (1840) k výsledku (19,82), který následně teoreticky získal Stokes (1845). Je příznačné, že Hagen také tvrdil, že k výsledku (19,82) dochází experimentálně při nízkých rychlostech a nepříliš nízkých hodnotách viskozity.

Obsah

1. Vyjádření problému

2. Rovnice kontinuity

4. Ustálené laminární proudění mezi rovnoběžnými rovinami

5. Couette Current

6. Poiseuilleův proud

7. Obecný případ proudění mezi rovnoběžnými stěnami

8. Příklad úlohy

Formulace problému

Laminární toky, z nichž některé jsou diskutovány v tomto projektu kurzu, se vyskytují v řadě technických problémů, zejména v mezerách a malých dutinách strojů. Zejména při proudění takových viskózních kapalin, jako je ropa, ropa a různé kapaliny pro hydraulické převody, se tvoří stabilní laminární proudění, pro jehož popis mohou jako spolehlivý základ sloužit Navierovy–Stokesovy rovnice. Hartmannův proud, podobně jako Poiseuilleův proud, se používá např. u čerpadel MHD. V tomto případě je uvažováno rovinné stacionární proudění elektricky vodivé tekutiny mezi dvěma izolovanými deskami v příčném magnetickém poli.

Cílem tohoto předmětu je uvažovat a nalézt hlavní charakteristiky plochého stacionárního laminárního proudění viskózní nestlačitelné tekutiny s parabolickým rozdělením rychlosti (Poiseuilleovo proudění).

Rovnice kontinuity

Zákon zachování hmotnosti pro tekutinu pohybující se libovolným způsobem vyjadřuje rovnice kontinuity neboli spojitosti, která je jednou ze základních rovnic mechaniky tekutin. Abychom ji odvodili, narýsujme v kapalině v prostoru fixovanou uzavřenou plochu S omezující objem W a vybereme na ní elementární plochu dS Nechť n označuje jednotkový vektor vnější normály k S. Potom součin cV n dS bude představovat hmotnost vytékající z objemu W nebo do něj vstupující za jednotku času, v závislosti na směru rychlosti v místě dS Protože n je vnější normála, pak V p > 0 na těchto místech dS kde kapalina vytéká z objemu W, a V p< 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Tuto změnu hmotnosti lze vypočítat jiným způsobem. K tomu vybereme elementární objem dW. Hmotnost kapaliny v tomto objemu se může lišit v důsledku rozdílů v přítoku a odtoku. Druhá změna hmotnosti v objemu dW bude rovna a druhá změna hmotnosti v objemu W bude vyjádřena integrálem.

Výsledné výrazy lze srovnat, protože dávají stejnou hodnotu. Je třeba vzít v úvahu, že první integrál je kladný, pokud více tekutiny proudí povrchem S, než proudí dovnitř, a druhý integrál je za stejných podmínek záporný, protože v důsledku kontinuity toku v uvažovaném případě , hustota s časem klesá.

Podle Ostrogradského-Gaussova teorému:

Ve vektorové analýze se součet parciálních derivací vektorových projekcí podél stejných souřadnic nazývá divergence nebo vektorová divergence. V tomto případě

proto lze rovnici (1) přepsat jako

Protože objem W je libovolný, integrandová funkce je rovna nule, tzn.

(2)

Rovnice (2) je rovnice kontinuity v diferenciálním tvaru pro libovolný pohyb stlačitelné tekutiny. Vztah (1) lze považovat za integrální formu rovnice kontinuity.

Uvážíme-li podmínku zachování hmotnosti pohybujícího se objemu kapaliny, dospějeme také k rovnici (2), která v tomto případě může mít jiný tvar.

Protože c = c (x, y, z, t) a když se objem kapaliny pohybuje x = x(t),

y = y (t), z = z (t), pak

tj. rovnice (2) bude mít tvar

(3)

kde dc/dt je celková derivace hustoty.

Pro ustálený pohyb stlačitelné tekutiny platí ∂с/∂t = 0 a. proto z rovnice (2) dostáváme

Pro jakýkoli pohyb nestlačitelné tekutiny c = konst a tedy

(5)

3. Pohybová rovnice viskózní tekutiny v Navier-Stokesově formě

Rovnice pohybu tekutiny při napětí:

Podle Newtonova zákona jsou viskózní napětí při přímočarém pohybu tekutiny úměrná rychlostem úhlové deformace. Zobecněním této skutečnosti na případ libovolného pohybu je hypotéza, že tangenciální napětí, stejně jako části normálových napětí, které závisí na orientaci oblastí, jsou úměrné odpovídajícím rychlostem deformace. Jinými slovy, ve všech případech pohybu tekutiny se předpokládá lineární vztah mezi viskózními napětími a rychlostmi deformace. V tomto případě musí být koeficient úměrnosti ve vzorcích vyjadřujících tento vztah dynamický viskozitní koeficient m za použití hypotézy, že v bodě v kapalině (v praxi se to nepřímo potvrzuje), můžeme psát výrazy pro normálová a smyková napětí ve viskózní tekutině:

(7)

Zavedením výrazů (7) do rovnice (6) získáme

Seskupení členů s druhými derivacemi, dělení c a pomocí Laplaceova operátoru zapíšeme:

Tyto rovnice se nazývají Navier-Stokesovy rovnice; používají se k popisu pohybů viskózních stlačitelných kapalin a plynů.

Pohybové rovnice nevazkých kapalin a plynů lze snadno získat z Navier-Stokesových rovnic jako speciální případ s m=konst; u nestlačitelných kapalin je třeba brát c = konst.

Navier-Stokesův systém rovnic není uzavřený, protože obsahuje šest neznámých: V x, V y, V z, p, s a m Další rovnice spojující tyto neznámé je rovnice kontinuity (3).

Jako rovnice uzavírající systém se používají stavové rovnice média a závislost viskozity na stavových parametrech. V mnoha případech je nutné aplikovat i další termodynamické vztahy.

Pro nestlačitelnou tekutinu divV = 0 získáme výrazy, které přímo vyplývají ze systému (8)

Ve vektorové podobě má Navier-Stokesova rovnice pro nestlačitelnou tekutinu tvar:

Ustálené laminární proudění mezi rovnoběžnými rovinami

Nechte viskózní tekutinu proudit kanálem tvořeným dvěma rovnoběžnými stěnami, z nichž jedna se pohybuje ve své rovině konstantní rychlostí (viz obrázek).

a – vývojový diagram; b – rozložení rychlosti při absenci tlakového gradientu (Couetteův proud); c – rozložení rychlosti v případě stacionárních hraničních rovin (proudění v plochém korytě).

Velikost kanálu ve směru kolmém na rovinu kreslení (podél osy z) považujeme za dostatečně velkou, aby bylo možné ignorovat vliv stěn rovnoběžných s rovinou xOy. Navíc předpokládáme, že pohyb je způsoben nejen pohybem jedné ze stěn kanálu, ale také tlakovým rozdílem (nebo gradientem) ve směru osy x. Vliv masových sil zanedbáváme, protože Froudeho číslo je malé kvůli maličkosti h a proudnice považujeme za rovné, rovnoběžné s osou x.

Poté vyjádříme počáteční podmínky problému ve tvaru:

Z rovnice kontinuity okamžitě usuzujeme, že a protože to bude platit ve všech bodech, pak Kvůli absenci pohybu podél osy z zmizí také všechny derivace podél této souřadnice a Navier-Stokesova rovnice v projekci na z osa není třeba psát.

Potom bude systém pohybových rovnic redukován na dvě rovnice:

První je získána z průmětu Navier-Stokesovy rovnice na souřadnicovou osu x a druhá z těchto rovnic udává, že tlak závisí pouze na x, tzn. p(y)=p(z)=0 a od té doby můžeme přejít od parciálních k celkovým derivacím:

Označme a integrujme tuto rovnici dvakrát, dostaneme:

Protože v souladu s obrázkem a přijatými předpoklady závisí tlak pouze na souřadnici x. K nalezení integračních konstant použijeme okrajové podmínky:

Zákon distribuce rychlosti v plochém kanálu bude tedy zapsán jako:

(10)

Couette Current

Couette flow je proudění bez gradientu V tomto případě je jediným důvodem pohybu pohyb talíře. Proudění je charakterizováno zákonem lineárního rozdělení rychlosti (obr. b).

Smykové (viskózní) napětí bude konstantní po celé tloušťce vrstvy a specifické průtokové rychlosti, tzn. průtok živým proudem S=h·1 unášeným pohyblivou deskou se rovná:

6. Poiseuilleův proud

To je případ tlakového proudění v plochém kanálu s parabolickým rozložením rychlosti (obr. c). Podle rovnice (10) dostaneme:

Maximální rychlost na ose (při y=h/2) díky parabolickému rozdělení rychlosti:

(12)

Vydělením (11) číslem (12) získáme zákon rozdělení rychlosti

Není obtížné vypočítat další charakteristiky proudění. Smykové napětí

Na stěnách, tj. při y=0 a při y=h, nabývá maximálních hodnot

A na ose v y=h/2 se stane nulou. Jak je z těchto vzorců patrné, existuje lineární zákon rozložení tečných napětí po tloušťce vrstvy

Specifická spotřeba kapaliny je určena vzorcem

průměrná rychlost

(13)

Průměrná rychlost bude jedenapůlkrát nižší než maximální.

Integrací (13) přes x za předpokladu, že při x = 0 je tlak p = p 0 *, získáme požadovaný tlakový rozdíl:

Snadno lze také vypočítat intenzitu vírové složky pohybu. Protože v tomto případě V y =V z =0 a V x =V, pak

Vzhledem k tomu, že dp/dx<0, мы получи:

· v r< h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· pro y > h/2, ы z > 0, tzn. částice rotují proti směru hodinových ručiček (obr. c).

Uvažované proudění je tedy vír ve všech bodech uspořádané linie víru představují rovné, normální roviny proudění.

Obecný případ proudění mezi rovnoběžnými stěnami

Tento případ je typický

Rozdělení rychlosti je určeno rovnicí (10), kde tlakový gradient dp/dx může být záporný nebo kladný. V prvním případě tlak klesá ve směru rychlosti desky V 0, ve druhém případě se zvyšuje. Přítomnost pozitivního tlakového gradientu může způsobit trhací proudy. Rovnici (10) lze pohodlně znázornit v bezrozměrné formě

která je graficky znázorněna rodinou křivek s jedním parametrem

Bezrozměrné rychlostní profily pro obecný případ proudění mezi rovnoběžnými stěnami.

Ukázkový úkol

Uvažujme Poiseuilleův tok ve vztahu k MHD generátoru.

Magnetohydrodynamický generátor, generátor MHD - elektrárna, ve které se energie pracovní tekutiny (kapalného nebo plynného elektricky vodivého prostředí) pohybující se v magnetickém poli přeměňuje přímo na elektrickou energii. Rychlost pohybu viskózního prostředí může být buď podzvuková nebo nadzvuková, volíme rychlost rovnou V max = 300 m/s. Délka lineárního kanálu nechť je 10 metrů. Vzdálenost mezi deskami, ve kterých proudí plazma, je 1 metr. Předpokládejme, že maximální hodnota viskozity plazmatu je 3·10 -4 Pa·Hs=8,3·10 -8 Pa·s.

Dosazením údajů do vzorce pro tlakový rozdíl, s přihlédnutím k tomu, že průměrná rychlost je jedenapůlkrát menší než maximální, získáme:

Jedná se o tlakovou ztrátu při průchodu pracovní tekutiny lineárním kanálem generátoru MHD.

Bibliografie

1. Beknev V.S., Pankov O.M., Yanson R.A. – M.: Strojírenství, 1973. – 389 str.

2. Emtsev B.T. Technická hydromechanika. – M.: Strojírenství, 1978. – 458 str.

3. Emtsev B.T. Technická hydromechanika. – M.: Strojírenství, 1987. – 438 str.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Formulace problému

Uvažuje se ustálený proud nestlačitelné kapaliny o konstantní viskozitě v tenké válcové trubici kruhového průřezu pod vlivem konstantního tlakového rozdílu. Pokud předpokládáme, že proudění bude laminární a jednorozměrné (s pouze složkou rychlosti směřující podél kanálu), pak je rovnice vyřešena analyticky a parabolický profil (často tzv. Profil Poiseuille) - rozložení rychlosti v závislosti na vzdálenosti k ose kanálu:

• proti- rychlost tekutiny podél potrubí, m/s;
• r- vzdálenost od osy potrubí, m;
• p 1 − p
• l- délka potrubí, m.

Protože stejný profil (v příslušném zápisu) má rychlost při proudění mezi dvěma nekonečnými rovnoběžnými rovinami, nazývá se takové proudění také Poiseuilleovo proudění.

Poiseuilleův zákon (Hagen - Poiseuille)

Rovnice nebo Poiseuilleho zákon(Hagen-Poiseuilleův zákon nebo Hagen-Poiseuilleův zákon) je zákon, který určuje proudění tekutiny při ustáleném proudění viskózní nestlačitelné tekutiny v tenké válcové trubce kruhového průřezu.

Poprvé formuloval Gotthilf Hagen (Němec). Gotthilf Hagen, Někdy Hagen) v roce 1839 a brzy jej znovu vyšlechtil J. L. Poiseuille (anglicky) (franc. J. L. Poiseuille) v roce 1840. Podle zákona je druhý objemový průtok kapaliny úměrný poklesu tlaku na jednotku délky trubky a čtvrté mocnině průměru trubky:

• Q- průtok kapaliny v potrubí, m³/s;
• d- průměr potrubí, m;
• r- poloměr potrubí, m;
• p 1 − p 2 - tlakový rozdíl na vstupu a výstupu potrubí, Pa;
• μ - viskozita kapaliny, N s/m²;
• l- délka potrubí, m.

Poiseuilleův zákon je použitelný pouze pro laminární proudění a za předpokladu, že délka trubice přesahuje tzv. délku počátečního úseku nutného pro rozvoj laminárního proudění v trubici.

Vlastnosti

• Poiseuilleho proudění je charakterizováno parabolickým rozložením rychlosti podél poloměru trubice.
• V každém průřezu trubky je průměrná rychlost poloviční než maximální rychlost v tomto úseku.

viz také

• Couette Current
• Couette-Taylorův proud

Literatura

• Kasatkin A.G. Základní procesy a přístroje chemické technologie. - M.: GHI, - 1961. - 831 s.

Nadace Wikimedia. 2010.

Podívejte se, co je „Poiseuille Current“ v jiných slovnících:

Parabolické rozložení rychlosti v Poiseuilleově proudění. Vrtule ukazují, že tento proud má nenulovou vířivost. Poiseuilleovo proudění je laminární proudění kapaliny kanálky ve formě přímého kruhového válce nebo vrstvy mezi ... ... Wikipedia

Mechanika kontinua ... Wikipedie

Mechanika kontinua Kontinuum Klasická mechanika Zákon zachování hmoty Zákon zachování hybnosti ... Wikipedie

Poiseuilleův proud- laminární proudění kapaliny kanálky ve formě přímého kruhového válce nebo vrstvy mezi rovnoběžnými rovinami. Poiseuilleovo proudění je jedním z nejjednodušších přesných řešení Navier-Stokesových rovnic. Popsáno Poiseuilleho zákon(Hagen - Poiseuille).

Formulace problému

Uvažuje se ustálený proud nestlačitelné kapaliny o konstantní viskozitě v tenké válcové trubici kruhového průřezu pod vlivem konstantního tlakového rozdílu. Pokud předpokládáme, že proudění bude laminární a jednorozměrné (s pouze složkou rychlosti směřující podél kanálu), pak je rovnice vyřešena analyticky a parabolický profil (často tzv. Profil Poiseuille) - rozložení rychlosti v závislosti na vzdálenosti k ose kanálu:

texvc nenalezeno; Viz math/README - nápověda k nastavení.): v\left(r\right) =\frac(p_1-p_2)(4\eta L)(R^2-r^2),

• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): v- rychlost tekutiny podél potrubí;
• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): r- vzdálenost od osy potrubí;
• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): R- poloměr potrubí;
• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README - pomoc s nastavením.): p_1-p_2- tlakový rozdíl na vstupu a výstupu potrubí;
• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): \eta- viskozita kapaliny;
• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): L- délka potrubí.

Stejný profil v odpovídající notaci má rychlost proudění mezi dvěma nekonečnými rovnoběžnými rovinami. Tento proud se také nazývá Poiseuilleův proud.

Poiseuilleův zákon (Hagen - Poiseuille)

Rovnice nebo Poiseuilleho zákon(Hagen-Poiseuilleův zákon nebo Hagen-Poiseuilleův zákon) je zákon, který určuje proudění tekutiny při ustáleném proudění viskózní nestlačitelné tekutiny v tenké válcové trubici kruhového průřezu.

Poprvé formuloval Gotthilf Hagen (Němec). Gotthilf Hagen, Někdy Hagen) v roce 1839 na základě experimentálních dat a brzy jej znovu odvodil J. L. Poiseuille (fr. J. L. Poiseuille) v roce 1840 (také na základě experimentu). Podle zákona je druhý objemový průtok kapaliny úměrný poklesu tlaku na jednotku délky trubky (tlakový gradient v potrubí) a čtvrtá mocnina poloměru (průměru) potrubí:

Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README - pomoc s nastavením.): Q= \int\limits_(S) v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac(\pi D^4 (p_1-p_2))(128 \eta L)=\frac(\pi R^4 (p_1-p_2))(8 \eta L),

• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): Q- proudění tekutiny v potrubí;
• Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README - pomoc s nastavením.): D- průměr potrubí;

Poiseuilleův zákon funguje pouze pro laminární proudění a za předpokladu, že délka trubice přesahuje tzv. délku počátečního úseku, nutnou pro rozvoj laminárního proudění s parabolickým profilem rychlosti v trubici.

Vlastnosti

• Poiseuilleho proudění je charakterizováno parabolickým rozložením rychlosti podél poloměru trubice.
• V každém průřezu trubky je průměrná rychlost poloviční než maximální rychlost v tomto úseku.

viz také

Napište recenzi na článek "Poiseuille Current"

Literatura

• Kasatkin A.G. Základní procesy a přístroje chemické technologie. - M.: GHI, - 1961. - 831 s.

Odkazy

Výňatek charakterizující Poiseuilleův proud

- My nedávno... Přivádí stále nové lidi a někdy i malá zvířata, a pak zmizí a on přináší nové.
Vyděšeně jsem se podíval na Stellu:
– Toto je velmi skutečný, skutečný svět a velmi reálné nebezpečí!.. Toto už není ta nevinná krása, kterou jsme vytvořili!... Co budeme dělat?
- Odejít. “ opakovala holčička znovu tvrdohlavě.
– Můžeme to zkusit, ne? A babička nás neopustí, pokud je to opravdu nebezpečné. Zřejmě se stále můžeme dostat ven sami, pokud nepřijde. Nebojte se, ona nás neopustí.
Přál bych si její důvěru!... I když jsem obvykle nebyl bázlivý člověk, tato situace mě velmi znervózňovala, protože jsme tu nebyli jen my, ale i ti, kvůli kterým jsme do této hrůzy přišli. Bohužel jsem nevěděl, jak se z této noční můry dostat.
– Není zde čas, ale obvykle přichází ve stejném intervalu, přibližně jako by byly dny na Zemi. “ Najednou chlapec odpověděl na mé myšlenky.
– Už jste dnes byli? “ zeptala se Stella zjevně potěšená.
Chlapec přikývl.
- Tak jdeme? – pozorně se na mě podívala a já si uvědomil, že mě žádá, abych jim „nasadil“ svou „ochranu“.
Stella byla první, kdo vystrčil svou červenou hlavu...
- Nikdo! – byla potěšena. - Wow, co je to za hrůzu!...
Samozřejmě jsem to nevydržel a šel za ní. Opravdu to byla skutečná „noční můra“!... Vedle našeho podivného „místa uvěznění“ zcela nepochopitelným způsobem viseli ve „snopech“ hlavou dolů lidské bytosti... Byli zavěšeni za nohy a vytvořili druh obrácené kytice .
Přišli jsme blíž - nikdo z lidí nejevil známky života...
– Jsou úplně „vypumpovaní“! – Stella byla zděšená. – Nezbyla jim ani kapka vitality!.. To je ono, utečeme!!!
Spěchali jsme, jak jen to šlo, někam stranou, absolutně nevědouce, kam běžíme, jen abychom se dostali pryč od všech těch hrůzostrašných hrůz... Aniž bychom si mysleli, že bychom se mohli dostat znovu do stejné věci, nebo dokonce horší, hrůza...
Najednou se náhle setmělo. Po obloze se hnaly modročerné mraky, jako by je hnal silný vítr, i když ještě nefoukal vítr. V hlubinách černých mraků šlehaly oslnivé blesky, horské štíty plály rudou září... Někdy se nafouklé mraky rozbíjely o zlé štíty a jako vodopád se z nich řinula tmavě hnědá voda. Celý tento hrozný obraz připomínal nejstrašnější z hrozných, noční můru....
– Tati, miláčku, já se tak bojím! – zaječel chlapec nenápadně, zapomněl na svou bývalou agresi.
Najednou se jeden z mraků „roztrhl“ a vyšlehlo z něj oslepující jasné světlo. A v tomto světle se v jiskřivém kokonu přibližovala postava velmi hubeného mladého muže s tváří ostrou jako čepel nože. Všechno kolem něj zářilo a zářilo, z tohoto světla se černé mraky „roztavily“ a změnily se ve špinavé černé hadry.
- Páni! “ vykřikla radostně Stella. - Jak to dělá?!
- Znáš ho? – Neuvěřitelně mě to překvapilo, ale Stella negativně zavrtěla hlavou.
Mladý muž se posadil vedle nás na zem a s láskyplným úsměvem se zeptal:
- Proč jsi tady? Toto není vaše místo.
– My víme, jen jsme se snažili dostat nahoru! – už z plných plic cvrlikala radostná Stella. – Pomůžeš nám vstát?... Musíme se určitě rychle dostat domů! Jinak tam na nás čekají babičky a taky na ně, ale jiné.

Laminární proudění viskózní nestlačitelné tekutiny ve válcovém potrubí

Animace

Popis

Vzhledem k laminárnímu (vrstevnatému) proudění viskózní nestlačitelné tekutiny ve válcovém potrubí je rychlost proudění určitým způsobem rozložena po průřezu potrubí (obr. 1).

Rozložení rychlosti na vstupu do potrubí při laminárním proudění

Rýže. 1

L1 je délka počátečního úseku vytvoření profilu konstantní rychlosti.

Poiseuilleův zákon (jehož matematické vyjádření je Poiseuilleho vzorec) stanovuje vztah mezi objemem kapaliny protékající potrubím za jednotku času (průtok), délkou a poloměrem potrubí a tlakovou ztrátou v něm.

Nechť se osa trubky shoduje s osou Oz pravoúhlého kartézského souřadnicového systému. Při laminárním proudění je rychlost tekutiny v ve všech bodech potrubí rovnoběžná s osou Oz, tzn. v x = v y = 0, v z = v. Z rovnice kontinuity

dv /dt =F - (1/r)grad p,

kde F je intenzita pole sil hmoty;

p - tlak;

r - hustota kapaliny,

z toho vyplývá

dv/dz = 0, tzn. v = f(x,y) .

Z pohybové rovnice viskózní nestlačitelné tekutiny (Navier-Stokes) vyplývá:

dp/dx = dp/dy= 0,

dp/dz = dp/dz = h(d 2 v/dx 2 + d 2 v/dy 2 ) = const = -(D p/l) ,

kde D p je tlaková ztráta na úseku potrubí o délce l.

Pro kruhovou válcovou trubku lze tuto rovnici znázornit jako

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/hl,

kde r = sqr(x 2 + y 2) je vzdálenost od osy potrubí.

Rozložení rychlosti na průřezu potrubí je parabolické a je vyjádřeno vzorcem:

v(r) = (D p / 4 h l) (R2 - r2),

kde R je poloměr trubky;

r je vzdálenost od osy k uvažovanému bodu průřezu;

h je dynamická viskozita kapaliny;

D p - pokles tlaku na trubkovém úseku délky l.

Druhý objemový průtok kapaliny je určen Poiseuilleho vzorec:

Qc = [(pR4)/8 h 1] D p.

Tento vzorec platí pro laminární proudění, jehož podmínky existence jsou charakterizovány kritickým Reynoldsovým číslem Re cr (Re = 2Q c /p R n, n - kinematická viskozita). Při Re = Re cr se laminární proudění stává turbulentním. Pro hladké kulaté trubky Re cr » 2300.

Časové charakteristiky

Doba iniciace (log do -1 až 1);

Životnost (log tc od -1 do 5);

Doba degradace (log td od -1 do 1);

Optimální doba vývoje (log tk od 0 do 2).

Diagram:

Technické realizace efektu

Poiseuilleův zákon se používá pro stanovení koeficientů různých kapalin při různých teplotách pomocí kapilárních viskozimetrů.

Technická realizace efektu

Rýže. 2

Označení:

1 - řídicí úsek potrubí;

2 - balónek;

3 - převodovka;

4 - regulátor tlaku;

5 - manometr;

6 - ventil;

7 - průtokoměr.

Poiseuilleova rovnice hraje důležitou roli ve fyziologii našeho oběhu.

Použití efektu

Poiseuilleův vzorec se používá při výpočtu ukazatelů pro přepravu kapalin a plynů v potrubí pro různé účely. Laminární provozní režim ropovodů a plynovodů je energeticky nejúčinnější. Takže zejména koeficient tření v laminárním režimu je prakticky nezávislý na drsnosti vnitřního povrchu trubky (hladké trubky).

Literatura

1. Brekhovskikh L.M., Goncharov V.V. Úvod do mechaniky kontinua - M.: Nauka, 1982.

2. Rozvoj a provoz nalezišť ropy, plynu a plynového kondenzátu / Ed. Sh.K. Gimatudinová - M.: Nedra, 1988.

Klíčová slova

• viskozita
• tlak
• dynamická viskozita
• hydrodynamika
• viskózní kapalina
• laminární proudění
• tlak
• tlaková ztráta
• trubka
• Poiseuilleho zákon
• Poiseuilleova formule
• Reynoldsovo číslo
• Reynoldsovo číslo je kritické

Sekce přírodních věd: