Která funkce je kvadratická? Graf kvadratické funkce. Shromažďování a používání osobních údajů

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Pokud se chcete zúčastnit velkého života, naplňte si hlavu matematikou, dokud máte příležitost. Ta vám pak poskytne skvělou asistenci při veškeré vaší práci.

M.I. Kalinin

Jednou z hlavních funkcí školské matematiky, pro kterou byla vybudována kompletní teorie a byly prokázány všechny vlastnosti, je kvadratická funkce. Studenti musí všem těmto vlastnostem jasně rozumět a znát je. Zároveň existuje velké množství problémů o kvadratické funkci - od velmi jednoduchých, které vyplývají přímo z teorie a vzorců, až po ty nejsložitější, jejichž řešení vyžaduje analýzu a hluboké pochopení všech vlastností funkce. funkce.

Při řešení úloh s kvadratickou funkcí má velký praktický význam mít soulad mezi algebraickým popisem problému a jeho geometrickou interpretací – obrazem náčrtu grafu funkce v souřadnicové rovině. Právě díky této vlastnosti máte vždy možnost ověřit si správnost a konzistenci své teoretické úvahy.

Podívejme se na několik problémů na téma „Kvadratická funkce“ a zastavme se u jejich podrobného řešení.

Úkol 1.

Najděte součet celočíselných hodnot čísla p, pro které je vrchol paraboly y = 1/3x 2 – 2px + 12p umístěn nad osou Ox.

Řešení.

Větve paraboly směřují nahoru (a = 1/3 > 0). Protože vrchol paraboly leží nad osou Ox, parabola neprotíná osu úsečky (obr. 1). Takže funkce

y = 1/3x 2 – 2px + 12p nemá žádné nuly,

a rovnice

1/3x 2 – 2px + 12p = 0 nemá kořeny.

To je možné, pokud se diskriminant poslední rovnice ukáže jako záporný.

Pojďme si to spočítat:

D/4 = p 2 – 1/3 12p = p 2 – 4p;

p 2 – 4p< 0;

p(p – 4)< 0;

p patří do intervalu (0; 4).

Součet celočíselných hodnot čísla p z intervalu (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.

Odpovědět: 6.

Všimněte si, že k zodpovězení otázky problému bylo možné vyřešit nerovnost

y v > 0 nebo (4ac – b 2) / 4a > 0.

Úkol 2.

Najděte počet celočíselných hodnot čísla a, pro které jsou úsečka a ordináta vrcholu paraboly y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 záporné.

Řešení.

Pokud má kvadratická funkce tvar

y = a(x – n) 2 + m, pak bod se souřadnicemi (m; n) je vrcholem paraboly.

V našem případě

x v = 9a; yin = a 2 + 7a + 6.

Protože úsečka i osa vrcholu paraboly musí být záporné, vytvoříme systém nerovností:

(9a< 0,
(a 2 + 7a + 6< 0;

Pojďme vyřešit výsledný systém:

(A< 0,
((a+ 1)(a + 6)< 0;

Znázorněme řešení nerovností na souřadnicových úsecích a dáme konečnou odpověď:

a patří do intervalu (-6; -1).

Celočíselné hodnoty a: -5; -4; -3; -2. Jejich počet: 4.

Odpověď: 4.

Úkol 3.

Najděte největší celočíselnou hodnotu m, pro kterou platí kvadratická funkce
y = -2x 2 + 8x + 2m akceptuje pouze záporné hodnoty.

Řešení.

Větve paraboly směřují dolů (a = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2 m = 0.

Vydělte koeficienty rovnice -2, dostaneme:

x 2 – 4x – m = 0;

D/4 = 2 2 – 1 1 (-m) = 4 + m;

Největší celočíselná hodnota m: -5.

Odpověď: -5.

Abychom odpověděli na otázku problému, bylo možné vyřešit nerovnost y in< 0 или

(4ac – b 2) / 4a< 0.

Úkol 4.

Najděte nejmenší hodnotu kvadratické funkce y = ax 2 – (a + 6)x + 9, je-li známo, že přímka x = 2 je osou symetrie jejího grafu.

Řešení.

1) Protože přímka x = 2 je osou symetrie tohoto grafu, pak x v = 2. Použijeme vzorec

x v = -b / 2a, potom x v = (a + 6) / 2a. Ale x in = 2.

Udělejme rovnici:

(a + 6) / 2a = 2;

Poté funkce nabývá tvaru

y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;

y = 2x 2 – 8x + 9.

2) Větve paraboly

Nejmenší hodnota této funkce je rovna ordinátě vrcholu paraboly (obr. 2), který lze snadno najít pomocí vzorce

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 2 9 – 8 2) /4 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.

Nejmenší hodnota uvažované funkce je 1.

Odpověď: 1.

Úkol 5.

Najděte nejmenší celočíselnou hodnotu čísla a, pro které se množiny hodnot funkce y = x 2 – 2x + a a y = -x 2 + 4x – a neprotínají.

Řešení.

Pojďme najít sadu hodnot pro každou funkci.

Metoda I.

y 1 = x 2 – 2x + a.

Aplikujme vzorec

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 1 a – 2 2) /4 1 = (4a – 4) / 4 = 4(a – 1) / 4 = a – 1.

Protože větve paraboly směřují vzhůru, pak

E(y) = .

E(y 2) = (-∞; 4 – a].

Reprezentujme výsledné množiny na souřadnicových čarách (obr. 3).

Výsledné množiny se nebudou protínat, pokud se bod se souřadnicí 4 – a nachází vlevo od bodu se souřadnicí a – 1, tzn.

4 – a< a – 1;

Nejmenší celočíselná hodnota a: 3.

Odpověď: 3.

Problémy s umístěním kořenů kvadratické funkce, problémy s parametry a problémy redukující na kvadratické funkce jsou na Jednotné státní zkoušce velmi oblíbené. Při přípravě na zkoušky byste jim proto měli věnovat velkou pozornost.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak znázornit graf kvadratické funkce?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

V hodinách matematiky ve škole jste se již seznámili s nejjednoduššími vlastnostmi a grafem funkce y = x 2. Rozšiřme své znalosti kvadratická funkce.

Cvičení 1.

Graf funkce y = x 2. Měřítko: 1 = 2 cm Označte bod na ose Oy F(0; 1/4). Pomocí kružítka nebo proužku papíru změřte vzdálenost od bodu F do nějakého bodu M paraboly. Poté proužek přišpendlete v bodě M a otáčejte kolem tohoto bodu, dokud nebude svislý. Konec proužku klesne mírně pod osu x (Obr. 1). Označte na proužku, jak daleko přesahuje osu x. Nyní vezměte další bod na parabole a opakujte měření znovu. Jak hluboko klesl okraj pásu pod osu x?

Výsledek: bez ohledu na to, jaký bod na parabole y = x 2 vezmete, vzdálenost od tohoto bodu k bodu F(0; 1/4) bude větší než vzdálenost od stejného bodu k ose úsečky vždy o stejné číslo - 1/4.

Můžeme to říci jinak: vzdálenost libovolného bodu paraboly k bodu (0; 1/4) se rovná vzdálenosti stejného bodu paraboly k přímce y = -1/4. Tento nádherný bod F(0; 1/4) se nazývá soustředit se paraboly y = x 2 a přímka y = -1/4 – ředitelka tato parabola. Každá parabola má směrovou přímku a ohnisko.

Zajímavé vlastnosti paraboly:

1. Jakýkoli bod paraboly je stejně vzdálený od nějakého bodu, který se nazývá ohnisko paraboly, a od nějaké přímky, která se nazývá její přímka.

2. Pokud otočíte parabolu kolem osy symetrie (například parabola y = x 2 kolem osy Oy), získáte velmi zajímavou plochu zvanou rotační paraboloid.

Povrch kapaliny v rotující nádobě má tvar rotačního paraboloidu. Tento povrch můžete vidět, pokud intenzivně zamícháte lžičkou v neúplné sklenici čaje a poté lžíci odstraníte.

3. Pokud hodíte kámen do prázdna pod určitým úhlem k horizontu, poletí v parabole (obr. 2).

4. Pokud protnete povrch kužele rovinou rovnoběžnou s některou z jeho tvořících přímek, výsledkem průřezu bude parabola (obr. 3).

5. Zábavní parky mají někdy zábavnou jízdu s názvem Paraboloid of Wonders. Všem stojícím uvnitř rotujícího paraboloidu se zdá, že stojí na podlaze a zbytek lidí se jaksi zázračně drží stěn.

6. V odrazných dalekohledech se také používají parabolická zrcadla: světlo vzdálené hvězdy přicházející v paralelním paprsku dopadající na zrcadlo dalekohledu je shromažďováno do ohniska.

7. Bodová světla mají většinou zrcadlo ve tvaru paraboloidu. Pokud umístíte zdroj světla do ohniska paraboloidu, pak paprsky odražené od parabolického zrcadla vytvoří paralelní paprsek.

Graf kvadratické funkce

V hodinách matematiky jste se učili, jak získat grafy funkcí tvaru z grafu funkce y = x 2:

1) y = ax 2– protažení grafu y = x 2 podél osy Oy v |a| krát (s |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rýže. 4).

2) y = x 2 + n– posun grafu o n jednotek podél osy Oy, a pokud n > 0, pak je posun nahoru, a pokud n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– posun grafu o m jednotek podél osy Ox: pokud m< 0, то вправо, а если m >0, pak odešel, (obr. 5).

4) y = -x 2– symetrické zobrazení vzhledem k ose Ox grafu y = x 2 .

Podívejme se blíže na vykreslení funkce y = a(x – m) 2 + n.

Kvadratickou funkci tvaru y = ax 2 + bx + c lze vždy redukovat na tvar

y = a(x – m) 2 + n, kde m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Pojďme to dokázat.

Opravdu,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Pojďme si představit nové notace.

Nechat m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

pak dostaneme y = a(x – m) 2 + n nebo y – n = a(x – m) 2.

Udělejme ještě další substituce: nechť y – n = Y, x – m = X (*).

Pak dostaneme funkci Y = aX 2, jejímž grafem je parabola.

Vrchol paraboly je v počátku. X = 0; Y = 0.

Dosazením souřadnic vrcholu do (*) získáme souřadnice vrcholu grafu y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Aby bylo možné vykreslit kvadratickou funkci reprezentovanou jako

y = a(x – m) 2 + n

pomocí transformací můžete postupovat následovně:

A) vykreslete funkci y = x 2 ;

b) paralelním posunem podél osy Ox o m jednotek a podél osy Oy o n jednotek - přenést vrchol paraboly z počátku do bodu se souřadnicemi (m; n) (obr. 6).

Transformace záznamu:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Příklad.

Pomocí transformací sestrojte graf funkce y = 2(x – 3) 2 v kartézském souřadném systému – 2.

Řešení.

Řetězec transformací:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2 (x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Vykreslení je zobrazeno v rýže. 7.

Grafování kvadratických funkcí si můžete procvičit sami. Sestavte například graf funkce y = 2(x + 3) 2 + 2 v jednom souřadnicovém systému pomocí transformací Pokud máte nějaké dotazy nebo chcete poradit od učitele, pak máte možnost dirigovat bezplatná 25minutová lekce s online lektorem po registraci. Pro další práci s učitelem si můžete vybrat tarif, který vám vyhovuje.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak znázornit graf kvadratické funkce?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Funkce ve tvaru y =a*x^2+b*x+c, kde a,b,c jsou nějaká reálná čísla a a je nenulová a x,y jsou proměnné, se nazývá kvadratická funkce. Graf kvadratické funkce y =a*x^2+b*x+c je přímka nazývaná v matematice parabola. Celkový pohled na parabolu je znázorněno na obrázku níže.

Stojí za zmínku, že pokud má funkce koeficient a>0, pak parabola směřuje svými větvemi nahoru, a pokud a je graf kvadratické funkce symetrický podle osy symetrie. Osou symetrie paraboly je přímka vedená bodem x=(-b)/(2*a), rovnoběžná s osou Oy.

Souřadnice vrcholu paraboly jsou určeny následujícími vzorci:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Obrázek níže ukazuje graf libovolné kvadratické funkce. Vynesení grafu kvadratické funkce. Na obrázku je také vyznačen vrchol paraboly a osa symetrie.

V závislosti na hodnotě koeficientu a bude vrchol paraboly minimální nebo maximální hodnotou kvadratické funkce. Když a>0, vrchol je minimální hodnota kvadratické funkce a neexistuje žádná maximální hodnota. Když a, osa symetrie prochází vrcholem paraboly. Definiční obor kvadratické funkce je celá množina reálných čísel R.

Kvadratickou funkci y =a*x^2+b*x+c lze vždy převést do tvaru y=a*(x+k)^2+p, kde k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Chcete-li to provést, musíte vybrat úplný čtverec.

Upozorňujeme, že bod se souřadnicemi (-k;p) bude vrcholem paraboly. Graf kvadratické funkce y=a*(x+k)^2+p lze získat z grafu funkce y=a*x^2 pomocí paralelního překladu.

Potřebujete pomoci se studiem?

Předchozí téma: