Ono što se naziva koeficijent redukcije duljine štapa. Znanstvena elektronička knjižnica. Eulerova formula za određivanje kritične sile

REVIDIRANA DULJINA ŠTAPA uvjetna duljina stlačenog štapa sa specificiranim uvjetima za osiguranje njegovih krajeva, čija je duljina, u smislu vrijednosti kritične sile, ekvivalentna duljini štapa sa zglobnim krajevima

(bugarski jezik; Bʺlgarski) - navedena je duljina

(češki jezik; Čeština) - vzpěrná delka prutu

(njemački; ​​njemački) - reduzierte Stablänge; ideelle Stablänge

(mađarski; mađarski) - rúd kihajlas! hossza

(Mongolski) - tuivangiin khorvulsen urt

(poljski jezik; Polska) - długość sprowadzona pręta

(rumunjski jezik; Român) - lungime convenţională a barei

(srpskohrvatski jezik; srpski jezik; hrvatski jezik) - redukovana dužina štapa

(španjolski; Español) - luz efectiva de una barra

(engleski jezik; engleski) - smanjena duljina šipke

(francuski; Français) - longueur réduite d'une barre

Građevinski rječnik.

Pogledajte što je "CONDITIONED ROD LENGTH" u drugim rječnicima:

smanjena duljina šipke- Uvjetna duljina stisnute šipke sa zadanim uvjetima za učvršćenje njezinih krajeva, čija je duljina, u smislu vrijednosti kritične sile, ekvivalentna duljini šipke sa zglobnim krajevima [Terminološki rječnik za konstrukcije na 12 jezika ​(VNIIIS... ...

smanjena duljina šipke- Uvjetna duljina šipke s jednim rasponom, čija je kritična sila, kada su joj krajevi zglobni, ista kao za danu šipku. [Zbirka preporučenih pojmova. Broj 82. Mehanika konstrukcija. Akademija znanosti SSSR-a. Odbor znanstveno... ... Vodič za tehničke prevoditelje

Obrasci i koeficijenti deformacije pod različitim uvjetima pričvršćivanja i metodom primjene opterećenja Fleksibilnost omjera šipke projektirane duljine šipke ... Wikipedia

- (mjerač snage). Ovim se nazivom u nastavi fizike nazivaju opružne vage, a u mehanici instrumenti za mjerenje mehaničkog rada (cm). Najstarija slika opružne vage, prema Carstenu, tiskana je 1726. godine, bez opisa, u knjizi: Leupold, ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Ephron

MJERE- MJERE određene tjelesnim veličine s kojima se druge veličine uspoređuju da bi se izmjerile potonje. Osnovne mjere najčešćeg metričkog sustava: metar duljine na 0° platinske šipke koju čuva Međunarodni ured za mjere i... ... Velika medicinska enciklopedija

Za pronalaženje kritičnih naprezanja potrebno je izračunati kritičnu silu, tj. najmanju aksijalnu tlačnu silu koja može blago zakrivljeni komprimirani štap održati u ravnoteži.

Ovaj problem prvi je riješio akademik Petrogradske akademije znanosti L. Euler 1744. godine.

Imajte na umu da je sama formulacija problema drugačija nego u svim prethodno razmatranim dijelovima kolegija. Ako smo ranije odredili deformaciju štapa pod zadanim vanjskim opterećenjima, onda ovdje postavljamo obrnuti problem: s obzirom na zakrivljenost osi stlačenog štapa, treba odrediti pri kojoj vrijednosti aksijalne tlačne sile R takva zakrivljenost je moguća.

Uzmimo u obzir ravnu šipku konstantnog poprečnog presjeka, zglobno poduprtu na krajevima; jedan od oslonaca omogućuje uzdužno pomicanje odgovarajućeg kraja šipke (slika 3). Zanemarujemo vlastitu težinu štapa.

sl.3. Shema proračuna u "Eulerovom problemu"

Opteretimo štap centralno primijenjenim uzdužnim tlačnim silama i dajmo mu vrlo blagu zakrivljenost u ravnini najmanje krutosti; štap se drži u zakrivljenom stanju, što je moguće jer .

Pretpostavlja se da je deformacija štapa savijanjem vrlo mala, pa se za rješavanje postavljenog problema može koristiti približna diferencijalna jednadžba za zakrivljenu os štapa. Odabirom ishodišta koordinata u točki A i smjer koordinatnih osi, kao što je prikazano na slici 3, imamo:

(1)

Uzmimo odjeljak na daljinu x od podrijetla; ordinata zakrivljene osi u ovom odsječku bit će na, a moment savijanja je jednak

Prema izvornoj shemi, moment savijanja je negativan, ali su ordinate za odabrani smjer osi na pokazati se pozitivnim. (Ako bi štap bio savijen konveksnošću prema dolje, tada bi moment bio pozitivan, i na- negativno i .)

Upravo navedena diferencijalna jednadžba ima oblik:

dijeleći obje strane jednadžbe s EJ i označavajući razlomak kroz dovodimo ga do oblika:

Opći integral ove jednadžbe ima oblik:

Ovo rješenje uključuje tri nepoznanice: konstante integracije A I b i vrijednost, budući da nam je veličina kritične sile nepoznata.

Rubni uvjeti na krajevima štapa daju dvije jednadžbe:

u točki A na x = 0 otklon na = 0,

U x= 1 na = 0.

To slijedi iz prvog uvjeta (jer cos kx =1)

Dakle, zakrivljena os je sinusoida s jednadžbom

(2)

Primjenjujući drugi uvjet, zamjenjujemo u ovu jednadžbu

na= 0 i x = l

dobivamo:

Slijedi da bilo A ili kl jednaki su nuli.

Ako A jednak nuli, onda iz jednadžbe (2) slijedi da je otklon u bilo kojem presjeku štapa jednak nuli, tj. štap je ostao ravan. Ovo je u suprotnosti s izvornim premisama našeg zaključka. Stoga grijeh kl= 0, a količina može imati sljedeće beskonačne nizove vrijednosti:

gdje je bilo koji cijeli broj.

Odavde, i od tada

Drugim riječima, opterećenje koje može držati blago zakrivljenu šipku u ravnoteži može teoretski imati više vrijednosti. Ali budući da tražimo, a zanimljivo je s praktičnog gledišta, najmanju vrijednost aksijalne tlačne sile pri kojoj uzdužno savijanje postaje moguće, trebamo prihvatiti .

Prvi korijen =0 zahtijeva da bude jednak nuli, što ne odgovara početnim podacima problema; stoga se ovaj korijen mora odbaciti i vrijednost uzeti kao najmanji korijen. Tada dobivamo izraz za kritičnu silu:

Dakle, što više točaka infleksije ima sinusoidno zakrivljena os štapa, to bi kritična sila trebala biti veća. Potpunija istraživanja pokazuju da su oblici ravnoteže određeni formulama (1) nestabilni; pretvaraju se u stabilne oblike samo u prisutnosti srednjih oslonaca na točkama U I S(Sl. 1).

Sl. 1

Dakle, zadatak je riješen; za naš štap najmanja kritična sila određena je formulom

a zakrivljena os predstavlja sinusni val

Vrijednost integracijske konstante A ostao nedefiniran; njegovo fizičko značenje postat će jasno ako stavimo ; tada će (tj. na sredini duljine štapa) dobiti vrijednost:

Sredstva, A- to je otklon štapa u presjeku na sredini njegove duljine. Pošto pri kritičnoj vrijednosti sile R ravnoteža zakrivljenog štapa moguća je uz različita odstupanja od njegovog pravocrtnog oblika, sve dok su ta odstupanja mala, prirodno je da je otklon f ostao neizvjestan.

U ovom slučaju mora biti toliko malen da imamo pravo primijeniti približnu diferencijalnu jednadžbu zakrivljene osi, tj. da je još uvijek malen u usporedbi s jedinicom.

Nakon što smo dobili vrijednost kritične sile, sada možemo pronaći vrijednost kritičnog naprezanja dijeljenjem sile s površinom poprečnog presjeka štapa F; budući da je veličina kritične sile određena uzimajući u obzir deformacije štapa, na koje lokalno slabljenje površine poprečnog presjeka ima izrazito slab učinak, formula za uključuje moment tromosti, dakle, pri proračunu kritičnih naprezanja; kao i pri izradi uvjeta stabilnosti, uobičajeno je da se u izračun unese potpuna, a ne oslabljena površina poprečnog presjeka štapa. Tada će biti ravnopravno

Dakle, kada bi se područje komprimirane šipke s takvom fleksibilnošću odabralo samo prema stanju čvrstoće, tada bi se šipka srušila zbog gubitka stabilnosti svog pravocrtnog oblika.

Eulerova formula: , gdje je E Youngov modul; – minimalni glavni središnji moment tromosti poprečnog presjeka štapa (očito će u slučaju gubitka stabilnosti doći do savijanja štapa u ravnini najmanje krutosti savijanja); – koeficijent smanjenja duljine, ovisno o obliku izvijanja; l je duljina štapa. posao - smanjena duljina šipke.

Eulerova formula za jednostavno oslonjeni štap stisnut na krajevima

Za jednostavno poduprti štap komprimiran na krajevima, Eulerova formula za određivanje: (faktor smanjenja duljine).

Osnovni slučaj izvijanja– slučaj kada, kada su krajevi šipke pričvršćeni i nanese se opterećenje, oblik izvijanja predstavlja jedan poluval sinusoide (slika 12.2, a).

Neki drugi načini učvršćivanja krajeva šipke (opterećenje se još uvijek primjenjuje na krajeve) lako se mogu svesti na glavni slučaj izvijanja usporedbom oblika savijene osi s oblikom izvijanja jednostavno poduprte šipke.

Eulerova formula za štap sa stegnutim i slobodnim krajevima

Ako se stabilnost izgubi, šipka čiji je jedan kraj kruto stegnut, a drugi slobodan će se saviti, kao što je prikazano na (Sl. 12.2, b). Oblik izvijanja ove šipke je četvrtina sinusnog vala. Smanjena duljina je (poluval sinusnog vala ima duljinu ), a Eulerova sila je četiri puta manja nego za glavni slučaj. Eulerova formula za štap sa stegnutim i slobodnim krajevima: .

Eulerova formula za štap sa stegnutim krajevima

Za šipku, čija su oba kraja kruto stegnuta, oblik izvijanja je takav da jedan poluval sinusoide zauzima polovicu duljine šipke (slika 12.2, c). Stoga je reducirana duljina štapa jednaka (), a formula za Eulerovo opterećenje .

Kritično () se obično naziva istinitim, a Eulerovo () je teorijsko opterećenje pri kojem dolazi do gubitka.

Eulerova formula je izvedena iz pretpostavke da u trenutku izvijanja tlačno naprezanje u štapu ne prelazi granicu proporcionalnosti: . Youngov modul (E) u Eulerovoj formuli pokazuje da do trenutka gubitka stabilnosti, . Ako se gubitak stabilnosti dogodi pri naponu manjem od, tada je.

Za šipke koje gube stabilnost pri naprezanju koje prelazi granicu proporcionalnosti (), uporaba Eulerove formule je u osnovi netočna i izuzetno opasna, budući da je kritično opterećenje (pravo opterećenje pri kojem dolazi do gubitka stabilnosti) manje od Eulerovog opterećenja: .

Granice primjenjivosti Eulerove formule

Granice primjenjivosti Eulerove formule mogu se utvrditi prvim uvođenjem pojma savitljivosti štapa. Idemo definirati Euler naglašava, na temelju Eulerove formule:

.

Razmotrimo štap duljine /, čiji je jedan kraj kruto fiksiran, a središnja sila pritiska djeluje na drugi slobodni kraj F(Slika 15.8).

Riža. 15.8.

Opće rješenje problema, napisano u obliku formule (15.15), u ovom slučaju ostaje važeće. Što se tiče rubnih uvjeta, oni će biti napisani u sljedećem obliku:

Željeno rješenje može se pronaći na drugi način. Uvjetno produžimo štap desno od stegnutog nosača za dužinu / simetrično na lijevu stranu i tada umjesto rubnih uvjeta (15.21) dobivamo nove uvjete:

Dakle, novi problem zapravo koincidira s Eulerovim problemom o kojem smo raspravljali gore. Jedina je razlika što u konačnom rezultatu (15.20) duljinu / treba zamijeniti sa 21:

Eulerova formula se također može generalizirati na druge slučajeve pričvršćivanja krajeva štapa. Da biste to učinili, faktor korekcije p, tzv faktor smanjenja duljineštap:

Koeficijent je numerički jednak recipročnoj vrijednosti broja poluvalova sinusnog vala koji pristaju duž zakrivljene osi štapa. Na sl. 15.9 prikazuje različite vrste pričvršćenja krajeva šipke i odgovarajuće koeficijente smanjenja duljine.

Može se pokazati da za prva tri štapa prikazana na sl. 15.9, A - c, vrijednosti reduciranog koeficijenta duljine su točne. Što se tiče četvrtog problema, za njega se približno određuje vrijednost reducirane duljine. Razmotrimo problem određivanja p za ovaj slučaj (Sl. 15.9, G).

Jednadžba za deformiranu os štapa ima oblik

Ovdje R- veličina horizontalne sile reakcije gornjeg oslonca.

Riža. 15.9.

Nakon transformacije jednadžbe (15.25) uzimajući u obzir formulu (15.13), dobivamo

Jednadžba (15.26) je za razliku od jednadžbe (15.14) nehomogena. Njegovo opće rješenje bit će napisano na isti način kao i opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe (15.14). Pojedino rješenje ima oblik

Tako će rješenje jednadžbe (15.25) biti napisano u obliku

U ovoj otopini količina R igra ulogu treće nepoznate konstante, pa je za rješavanje ovog problema potrebno formulirati treći rubni uvjet:

Korištenjem rubnih uvjeta dobivamo sustav od tri nelinearne jednadžbe

Proširujući determinantu, dolazimo do sljedeće nelinearne jednadžbe:

Rješenje nelinearne jednadžbe (15.29) može se dobiti i numerički i grafički. Radi jasnoće, odabrat ćemo drugu metodu rješenja. Izgradimo grafove sljedećih funkcija: na= tg kl, y = kl(Slika 15.10).

Riža. 15.10.Funkcijski grafikonina= tgkl, y = kl

Sjecište grafova S odgovara korijenskoj vrijednosti kl~ 4,5, odakle

Formula za kritičnu silu uključuje glavni središnji moment tromosti oko osi Oz-/ Yu1. = budući da smo unaprijed pretpostavili da štap gubi stabilnost i savija se u smjeru okomitom na os Oh. Međutim, kao što je već navedeno, ako uvjeti za osiguranje oslonaca dopuštaju deformaciju štapa u bilo kojem smjeru s jednakom vjerojatnošću, tada će štap izgubiti stabilnost u smjeru u kojem moment tromosti njegovog poprečnog presjeka ima minimalnu vrijednost od 7 min.

Ako su uvjeti pričvršćivanja složeniji, potrebna je dodatna analiza za procjenu kritične sile. Na primjer, razmotrite šipku (Sl. 15.11), čiji je lijevi nosač kruto ugrađen. Što se tiče desnog nosača, ovdje su navedeni uvjeti za pomično ugrađivanje, dopuštajući pomake i rotacije u ravnini xy i zabraniti im u avionu zx. Presjek šipke je pravokutan s omjerom stranica N = 2U.

Riža. 15.11.

Pričvršćivanje šipke u ravnini xy odgovara koeficijentu redukcije duljine p = 2 (vidi sl. 15.8), au ravnini xz- p = 0,5 (vidi sliku 15.9, A).

Izračunajmo kritične sile pod pretpostavkom da će doći do gubitka stabilnosti: 1) u ravnini xy i 2) u ravnini xz:

Uspoređujući vrijednosti, zaključujemo: u ravnini će doći do gubitka stabilnosti xy, jer ova opcija odgovara nižoj vrijednosti kritične sile.

Dakle, što više točaka infleksije ima sinusoidno zakrivljena os štapa, to bi kritična sila trebala biti veća. Potpunija istraživanja pokazuju da su oblici ravnoteže određeni formulama (1) nestabilni; pretvaraju se u stabilne oblike samo u prisutnosti srednjih oslonaca na točkama U I S(Sl. 1).

Sl. 1

Dakle, zadatak je riješen; za naš štap najmanja kritična sila određena je formulom

a zakrivljena os predstavlja sinusni val

Vrijednost integracijske konstante A ostao nedefiniran; njegovo fizičko značenje postat će jasno ako stavimo ; tada će (tj. na sredini duljine štapa) dobiti vrijednost:

Sredstva, A to je otklon štapa u presjeku na sredini njegove dužine. Pošto pri kritičnoj vrijednosti sile R ravnoteža zakrivljenog štapa moguća je uz različita odstupanja od njegovog pravocrtnog oblika, sve dok su ta odstupanja mala, prirodno je da je otklon f ostao neizvjestan.

U ovom slučaju mora biti toliko malen da imamo pravo primijeniti približnu diferencijalnu jednadžbu zakrivljene osi, tj. da je još uvijek malen u usporedbi s jedinicom.

Nakon što smo dobili vrijednost kritične sile, sada možemo pronaći vrijednost kritičnog naprezanja dijeljenjem sile s površinom poprečnog presjeka štapa F; budući da je veličina kritične sile određena uzimajući u obzir deformacije štapa, na koje lokalno slabljenje površine poprečnog presjeka ima izrazito slab učinak, formula za uključuje moment tromosti, dakle, pri proračunu kritičnih naprezanja; kao i pri izradi uvjeta stabilnosti, uobičajeno je da se u proračun uvede potpuna, a ne oslabljena, površina poprečnog presjeka štapa. Zatim

Dakle, kritično naprezanje za šipke od određenog materijala obrnuto je proporcionalno kvadratu omjera duljine šipke i najmanjeg polumjera vrtnje njezina presjeka. Ovaj odnos se zove fleksibilnost šipke i igra vrlo važnu ulogu u svim ispitivanjima stabilnosti kompresijskih šipki.

Iz posljednjeg izraza vidljivo je da kritično naprezanje za tanke i duge šipke može biti vrlo malo, ispod glavnog dopuštenog naprezanja čvrstoće. Dakle, za čelik 3 s vlačnom čvrstoćom dopušteni napon se može prihvatiti; kritično naprezanje za štap s fleksibilnošću pri modulu elastičnosti materijala bit će jednaki

Dakle, kada bi se područje komprimirane šipke s takvom fleksibilnošću odabralo samo prema stanju čvrstoće, tada bi se šipka srušila zbog gubitka stabilnosti svog pravocrtnog oblika.

Utjecaj načina učvršćivanja krajeva šipke.

Eulerova formula je dobivena integracijom približne diferencijalne jednadžbe zakrivljene osi štapa uz određenu fiksaciju njegovih krajeva (zglobno oslonjeni). To znači da pronađeni izraz za kritičnu silu vrijedi samo za štap sa zglobno oslonjenim krajevima i da će se promijeniti kada se promijene uvjeti za osiguranje krajeva štapa.

Nazvat ćemo pričvršćivanje komprimirane šipke sa zglobno poduprtim krajevima glavni slučaj pričvršćivanja. Ostale vrste pričvršćivanja smanjit ćemo na glavno kućište.

Ako ponovimo cijeli hod izvlačenja za šipku kruto stegnutu na jednom kraju, a opterećenu aksijalnom tlačnom silom na drugom kraju (slika 2), tada ćemo dobiti drugačiji izraz za kritičnu silu, a time i za kritična naprezanja .

sl.2. Dijagram dizajna šipke s jednim kruto pričvršćenim krajem.

Ostavljajući učenicima slobodu da sami to učine detaljno, pristupimo određivanju kritične sile za ovaj slučaj kroz sljedeće jednostavno razmišljanje.

Neka po dosezanju silom R kritičnu vrijednost, stup će održavati ravnotežu s blagim izvijanjem duž krivulje AB. Uspoređujući dvije mogućnosti savijanja, vidimo da je zakrivljena os šipke, stegnuta na jednom kraju, u potpuno istim uvjetima kao i gornji dio šipke dvostruke duljine sa zglobnim krajevima.

To znači da će kritična sila za stalak duljine s jednim uklještenim krajem, a drugi slobodnim biti ista kao za stalak sa zglobnim krajevima duljine:

Ako se okrenemo slučaju stalka u kojem su oba kraja uklještena i ne mogu se okretati (slika 3), primijetit ćemo da će pri izvijanju, prema simetriji, srednji dio šipke, duljina , raditi pod istim uvjetima kao što šipka kada je zglobno oslonjena završava (jer na točkama infleksije S I D momenti savijanja su nula, te se točke mogu smatrati zglobovima).

sl.3. Dijagram dizajna s kruto fiksiranim krajevima.

Stoga je kritična sila za šipku sa stegnutim krajevima, duljina , jednaka kritičnoj sili za šipku glavnog kućišta, duljina :

Dobiveni izrazi mogu se kombinirati s formulom za kritičnu silu glavnog slučaja i napisati:

ovdje je takozvani koeficijent duljine, jednak:

Za šipku prikazanu na slici 4, s jednim krajem stegnutim, a drugim zglobno poduprtim, koeficijent je približno jednak , a kritična sila:

sl.4. Gubitak stabilnosti šipke s jednim kruto fiksiranim i drugim zglobno-nosećim krajem

Količina se naziva reducirana (slobodna) duljina pomoću koeficijenta duljine, svaki slučaj postavljanja nosača šipki može se svesti na glavni; Prilikom izračunavanja fleksibilnosti u izračun trebate unijeti samo smanjenu duljinu umjesto stvarne duljine štapa. Pojam smanjene duljine prvi je uveo F. Yasinsky, profesor Instituta željezničkih inženjera u Sankt Peterburgu).

U praksi, međutim, pričvršćenja krajeva šipke koje imamo u našim projektnim dijagramima gotovo se nikada ne nalaze u svom čistom obliku.

Umjesto kuglastih zglobova obično se koriste cilindrični zglobovi. Takve šipke treba smatrati zglobno poduprtim kada su izbočene u ravnini okomitoj na os šarki; pri zakrivljenju u ravnini ovih osi, krajeve šipki treba smatrati priklještenima (uzimajući u obzir dolje navedene rezerve za priklještene krajeve).

U konstrukcijama se vrlo često nalaze komprimirane šipke, čiji su krajevi zakovicama ili zavareni na druge elemente, često uz dodatak oblikovanih listova na mjestu pričvršćenja. Takvo pričvršćivanje, međutim, teško se može smatrati stezanjem, budući da dijelovi strukture na koje su pričvršćene ove šipke nisu apsolutno kruti.

U međuvremenu, mogućnost laganog zakretanja nosivog dijela u stezanju dovoljna je da se nađe u uvjetima vrlo bliskim zglobnom osloncu. Stoga je u praksi neprihvatljivo dizajnirati šipke kao što su stupovi s apsolutno uklještenim krajevima. Samo u onim slučajevima kada dolazi do vrlo pouzdanog priklještenja krajeva, dopušteno je malo (10×20 posto) smanjenje slobodne duljine štapa.

Konačno, u praksi postoje šipke koje se cijelom ravninom nosećih presjeka oslanjaju na susjedne elemente. To uključuje drvene stupove, samostojeće metalne stupove pričvršćene vijcima za temelj, itd. Ako je potporna papuča pažljivo projektirana i spojena na temelj, može se smatrati da ove šipke imaju priklješten kraj. Ovo također uključuje snažne stupove s cilindričnim zglobom kada su dizajnirani za izvijanje u ravnini osi zgloba. Obično je teško računati na pouzdano i ravnomjerno pristajanje ravnog krajnjeg dijela komprimirane šipke na nosač. Stoga nosivost takvih regala obično malo premašuje nosivost šipki sa zglobnim krajevima.

Vrijednosti kritičnih opterećenja mogu se dobiti u obliku formula Eulerovog tipa i za šipke promjenjivog presjeka, kao i pod djelovanjem nekoliko tlačnih sila.