ORT(단위 벡터). 단위 벡터. 오르티. 직교 좌표계 단위 벡터의 좌표를 찾는 방법

단위 벡터- 이것 벡터, 절대값(모듈러스)은 1과 같습니다. 단위 벡터를 표시하기 위해 아래 첨자 e를 사용합니다. 따라서 벡터가 주어지면 ㅏ이면 해당 단위 벡터는 벡터가 됩니다. ㅏ e. 이 단위 벡터는 벡터 자체와 동일한 방향을 향합니다. ㅏ, 그 모듈은 1, 즉 a e = 1과 같습니다.

확실히, ㅏ=a ㅏ전자 (a - 벡터 모듈 ㅏ). 이는 스칼라에 벡터를 곱하는 연산이 수행되는 규칙을 따릅니다.

단위 벡터종종 좌표계의 좌표축(특히 데카르트 좌표계의 축)과 연관됩니다. 이들의 방향 벡터해당 축의 방향과 일치하며 그 원점은 종종 좌표계의 원점과 결합됩니다.

그 점을 상기시켜 드리겠습니다. 직교 좌표계공간에서는 전통적으로 좌표 원점이라는 점에서 교차하는 서로 수직인 세 개의 축을 호출합니다. 좌표축은 일반적으로 문자 X, Y, Z로 표시되며 각각 가로축, 세로축 및 적용축이라고 합니다. 데카르트 자신은 가로좌표가 그려지는 하나의 축만 사용했습니다. 사용의 장점 시스템도끼는 그의 학생들의 것입니다. 그러므로 문구 직교 좌표계역사적으로 틀렸어요. 이야기하는 것이 더 좋습니다 직사각형 좌표계또는 직교 좌표계. 그러나 우리는 전통을 바꾸지 않을 것이며 미래에는 직교 좌표계와 직사각형(직교) 좌표계가 하나이고 동일하다고 가정할 것입니다.

단위 벡터, X 축을 따라 표시됩니다. 나, 단위 벡터, Y 축을 따라 표시됩니다. 제이, ㅏ 단위 벡터, Z 축을 따라 표시됩니다. 케이. 벡터 나, 제이, 케이호출됩니다 오르트(그림 12, 왼쪽) 단일 모듈을 가지고 있습니다.
i = 1, j = 1, k = 1.

축과 단위 벡터 직사각형 좌표계어떤 경우에는 이름과 명칭이 다릅니다. 따라서 가로축 X를 접선축이라고 부를 수 있으며 해당 단위 벡터는 다음과 같이 표시됩니다. τ (그리스어 소문자 타우), 세로축은 법선축이고, 단위 벡터는 다음과 같습니다. N, 해당 축은 종법선 축이고, 해당 단위 벡터는 다음과 같이 표시됩니다. 비. 본질이 동일하게 유지된다면 이름을 바꾸는 이유는 무엇입니까?

사실은 예를 들어 역학에서 신체의 움직임을 연구할 때 직각 좌표계가 매우 자주 사용된다는 것입니다. 따라서 좌표계 자체가 고정되어 있고 움직이는 객체의 좌표 변화가 이 고정 시스템에서 추적되는 경우 일반적으로 축은 X, Y, Z로 지정되며 해당 축은 단위 벡터각기 나, 제이, 케이.

그러나 종종 물체가 일종의 곡선 경로(예: 원)를 따라 이동할 때 이 물체와 함께 움직이는 좌표계의 기계적 프로세스를 고려하는 것이 더 편리합니다. 이러한 이동 좌표계에서는 다른 축 이름과 해당 단위 벡터가 사용됩니다. 그것은 단지 그 방식입니다. 이 경우 X축은 이 객체가 현재 위치한 지점의 궤적에 접선 방향으로 향합니다. 그리고 이 축은 더 이상 X축이 아닌 접선축으로 불리며, 그 단위 벡터는 더 이상 지정되지 않습니다. 나, ㅏ τ . Y축은 궤적의 곡률 반경을 따라 지정됩니다(원 운동의 경우 원 중심 방향). 그리고 반경이 접선에 수직이므로 축을 법선 축이라고 합니다(수직 축과 법선은 같은 것입니다). 이 축의 단위 벡터는 더 이상 표시되지 않습니다. 제이, ㅏ N. 세 번째 축(이전 Z)은 이전 두 축과 수직입니다. 이것은 오르가 있는 종법선입니다. 비(그림 12, 오른쪽). 그건 그렇고, 이 경우에는 직사각형 좌표계흔히 "자연" 또는 "자연"이라고 합니다.

스스로 해결해야 할 문제도 있을 것이고, 그에 대한 답을 볼 수 있을 것입니다.

벡터 개념

벡터와 벡터 연산에 대한 모든 것을 배우기 전에 간단한 문제를 해결할 준비를 하십시오. 기업가 정신의 벡터와 혁신적인 능력의 벡터가 있습니다. 기업가 정신의 벡터는 여러분을 목표 1로 이끌고 혁신적인 능력의 벡터는 여러분을 목표 2로 이끈다. 게임의 규칙은 이 두 벡터의 방향을 따라 동시에 움직일 수 없고 동시에 두 가지 목표를 달성할 수 없다는 것입니다. 벡터는 상호 작용하거나 수학적 언어로 말하면 벡터에 대해 일부 작업이 수행됩니다. 이 작업의 결과는 목표 3으로 연결되는 "결과" 벡터입니다.

이제 말해 보세요. "기업가 정신" 및 "혁신 능력" 벡터에 대한 어떤 작업의 결과가 벡터 "결과"입니까? 당장 말할 수 없다면 낙심하지 마십시오. 이 단원을 진행하면서 이 질문에 답할 수 있게 될 것입니다.

위에서 이미 본 것처럼 벡터는 반드시 특정 지점에서 나옵니다. ㅏ어느 지점까지 직선으로 비. 결과적으로, 각 벡터는 숫자 값(길이)뿐만 아니라 물리적 및 기하학적 값(방향)도 갖습니다. 여기에서 벡터에 대한 최초의 가장 간단한 정의가 나옵니다. 따라서 벡터는 한 점에서 나오는 방향성 세그먼트입니다. ㅏ요점까지 비. 다음과 같이 지정됩니다.

그리고 다양한 시작을 위해 벡터를 사용한 연산 , 벡터에 대한 정의를 하나 더 알아야 합니다.

벡터는 어떤 시작점에서 도달해야 하는 점을 표현하는 유형입니다. 예를 들어, 3차원 벡터는 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. (x, y, z) . 매우 간단한 용어로, 이 숫자는 지점에 도달하기 위해 세 가지 다른 방향으로 걸어야 하는 거리를 의미합니다.

벡터를 주어보자. 여기서 엑스 = 3 (오른손이 오른쪽을 가리킴), 와이 = 1 (왼손이 앞으로 향함) 지 = 5 (지점 아래에는 위로 올라가는 계단이 있습니다). 이 데이터를 이용하여 오른손이 가리키는 방향으로 3미터를 걷고, 왼손이 가리키는 방향으로 1미터를 걷다가 사다리가 기다리고, 5미터 올라가면 마침내 발견하게 되는 지점입니다. 마지막 지점에 있는 자신.

다른 모든 용어는 위에 제시된 설명에 대한 설명으로, 벡터에 대한 다양한 연산, 즉 실제 문제를 해결하는 데 필요합니다. 일반적인 벡터 문제에 초점을 맞춰 보다 엄격한 정의를 살펴보겠습니다.

물리적 예벡터량은 공간에서 움직이는 물질 지점의 변위, 이 지점의 속도와 가속도, 그리고 그에 작용하는 힘이 될 수 있습니다.

기하학적 벡터 2차원 공간과 3차원 공간으로 표현 방향성 세그먼트. 시작과 끝이 있는 부분입니다.

만약에 ㅏ- 벡터의 시작 부분, 그리고 비- 끝이면 벡터는 기호 또는 하나의 소문자로 표시됩니다. 그림에서 벡터의 끝은 화살표로 표시됩니다 (그림 1)

길이(또는 기준 치수)의 기하학적 벡터는 이를 생성하는 세그먼트의 길이입니다.

두 벡터는 다음과 같이 불린다. 동일한 , 병렬 전송으로 결합할 수 있는 경우(방향이 일치하는 경우), 즉 평행하다면 같은 방향을 향하고 길이가 같습니다.

물리학에서는 종종 고려됩니다. 고정된 벡터, 적용 지점, 길이 및 방향으로 지정됩니다. 벡터의 적용 지점이 중요하지 않으면 길이와 방향을 유지하면서 공간의 어느 지점으로든 전송할 수 있습니다. 이 경우 벡터를 호출합니다. 무료. 우리는 단지 고려하는 데 동의할 것입니다 무료 벡터.

기하학적 벡터에 대한 선형 연산

벡터에 숫자 곱하기

벡터의 곱 번호당는 벡터에서 인수만큼 늘이거나(at ) 압축(at )하여 얻은 벡터로, 벡터의 방향은 if 는 그대로 유지되고 if 는 반대 방향으로 변경됩니다. (그림 2)

정의에 따르면 벡터와 =는 항상 하나 또는 평행선에 위치합니다. 이러한 벡터를 동일선상의. (이러한 벡터가 평행하다고 말할 수도 있지만 벡터 대수학에서는 "공선형"이라고 말하는 것이 관례입니다.) 반대의 경우도 마찬가지입니다. 벡터가 동일 선상이면 관계에 의해 관련됩니다.

결과적으로 등식(1)은 두 벡터의 공선성 조건을 표현합니다.

벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터를 추가할 때 다음 사항을 알아야 합니다. 양벡터를 벡터라고 하며, 시작은 벡터의 시작과 일치하고 끝은 벡터의 끝과 일치합니다. 단, 단, 벡터의 시작이 벡터의 끝에 연결되어 있어야 합니다. (그림 3)

이 정의는 유한한 수의 벡터에 분산될 수 있습니다. 우주에 주어질 수 있게 해주세요 N무료 벡터. 여러 벡터를 추가할 때 그 합은 닫는 벡터로 간주되며, 그 시작은 첫 번째 벡터의 시작과 일치하고 끝은 마지막 벡터의 끝과 일치합니다. 즉, 벡터의 시작 부분을 벡터의 끝 부분에 연결하고, 벡터의 시작 부분을 벡터의 끝 부분에 연결하는 경우 등입니다. 그리고 마지막으로 벡터의 끝까지(벡터의 시작), 이 벡터의 합은 닫는 벡터입니다. , 시작은 첫 번째 벡터의 시작과 일치하고 끝은 마지막 벡터의 끝과 일치합니다. (그림 4)

항을 벡터의 구성요소라고 하며 공식화된 규칙은 다음과 같습니다. 다각형 규칙. 이 다각형은 평평하지 않을 수 있습니다.

벡터에 숫자 -1을 곱하면 반대 벡터가 얻어집니다. 벡터는 길이가 같고 방향이 반대입니다. 그들의 합계는 다음과 같습니다 제로 벡터, 길이는 0입니다. 제로 벡터의 방향은 정의되지 않습니다.

벡터 대수학에서는 뺄셈 연산을 별도로 고려할 필요가 없습니다. 벡터에서 벡터를 뺀다는 것은 반대 벡터를 벡터에 더하는 것을 의미합니다.

예시 1.표현을 단순화합니다:

.

,

즉, 벡터는 다항식과 같은 방식으로 숫자를 더하고 곱할 수 있습니다(특히 표현식 단순화에 대한 문제도 있습니다). 일반적으로 벡터의 곱을 계산하기 전에 벡터를 사용하여 선형적으로 유사한 표현식을 단순화해야 할 필요성이 발생합니다.

예시 2.벡터는 평행사변형 ABCD의 대각선 역할을 합니다(그림 4a). 이 평행사변형의 변인 벡터 , , 를 통해 표현합니다.

해결책. 평행사변형의 대각선의 교차점은 각 대각선을 이등분합니다. 우리는 문제 설명에서 필요한 벡터의 길이를 필요한 삼각형을 형성하는 벡터 합의 절반 또는 차이의 절반(대각선 역할을 하는 벡터의 방향에 따라 다름)으로 찾습니다. 후자의 경우와 마찬가지로 마이너스 기호를 사용하여 합계의 절반을 표시합니다. 결과는 문제 설명에 필요한 벡터입니다.

이제 이 수업의 시작 부분에서 "기업가 정신"과 "혁신 능력" 벡터에 대한 질문에 올바르게 답했다고 믿을 만한 충분한 이유가 있습니다. 정답: 이 벡터에 대해 덧셈 연산이 수행됩니다.

벡터 문제를 직접 해결한 다음 솔루션을 살펴보세요.

벡터 합의 길이를 구하는 방법은 무엇입니까?

이 문제는 삼각법적 속성을 사용하기 때문에 벡터 연산에서 특별한 위치를 차지합니다. 다음과 같은 작업이 발생했다고 가정해 보겠습니다.

벡터 길이가 제공됩니다. 그리고 이 벡터들의 합의 길이입니다. 이들 벡터 사이의 차이의 길이를 구합니다.

이 문제와 기타 유사한 문제에 대한 해결책과 해결 방법에 대한 설명은 " 벡터 덧셈: 벡터의 합의 길이와 코사인 정리 ".

그리고 이러한 문제에 대한 해결책을 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 계산기 "삼각형의 알 수 없는 변(벡터 덧셈 및 코사인 정리)" .

벡터의 곱은 어디에 있나요?

벡터-벡터 곱은 선형 연산이 아니며 별도로 간주됩니다. 그리고 "벡터의 내적"과 "벡터와 벡터의 혼합 곱"에 대한 수업도 있습니다.

축에 벡터 투영

벡터를 축에 투영하는 것은 투영된 벡터의 길이와 벡터와 축 사이 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

알려진 바와 같이, 점의 투영은 ㅏ직선(평면) 위의 는 이 점에서 직선(평면) 위로 떨어진 수선의 밑면입니다.

는 임의의 벡터(그림 5)이고 는 원점(점)의 투영입니다. ㅏ) 및 끝(점 비) 축당 엘. (점의 투영을 구성하려면 ㅏ) 점을 통과하는 직선을 그립니다. ㅏ직선에 수직인 평면. 선과 평면의 교차점에 따라 필요한 투영이 결정됩니다.

벡터 구성요소 l 축에이 축에 있는 벡터라고 하며, 그 시작은 시작의 투영과 일치하고 끝은 벡터 끝의 투영과 일치합니다.

벡터를 축에 투영 엘전화받은 번호

,

이 축의 구성 요소 벡터의 길이와 동일하며 구성 요소의 방향이 축의 방향과 일치하는 경우 더하기 기호를 사용합니다. 엘, 방향이 반대이면 빼기 기호가 표시됩니다.

축에 대한 벡터 투영의 기본 속성:

1. 동일한 축에 대한 동일한 벡터의 투영은 서로 동일합니다.

2. 벡터에 숫자를 곱하면 해당 투영에도 동일한 숫자가 곱해집니다.

3. 임의의 축에 대한 벡터 합의 투영은 동일한 축에 대한 벡터 합의 투영의 합과 같습니다.

4. 축에 대한 벡터의 투영은 투영된 벡터의 길이와 벡터와 축 사이의 각도 코사인의 곱과 같습니다.

.

해결책. 벡터를 축에 투영해 봅시다 엘위의 이론적 배경에서 정의된 바와 같습니다. 그림 5a에서 벡터 합의 투영은 벡터 투영의 합과 동일하다는 것이 분명합니다. 우리는 다음과 같은 예측을 계산합니다.

벡터 합계의 최종 투영을 찾습니다.

벡터와 공간의 직사각형 직교 좌표계 간의 관계

알아가기 공간의 직사각형 직교 좌표계는 해당 수업에서 진행되었습니다., 새 창에서 여는 것이 좋습니다.

정렬된 좌표축 시스템에서 0xyz중심선 황소~라고 불리는 x축, 축 0년 – y축및 축 0z – 축 적용.

임의의 점으로 중공간 연결 벡터

~라고 불리는 반경 벡터포인트들 중각 좌표축에 투영합니다. 해당 투영의 크기를 표시해 보겠습니다.

숫자 x, y, z호출됩니다 점 M의 좌표, 각각 횡좌표, 세로좌표그리고 신청하다, 숫자의 순서대로 작성됩니다. M(x;y;z)(그림 6).

방향이 축의 방향과 일치하는 단위 길이의 벡터를 호출합니다. 단위 벡터(또는 오르톰) 축. 다음으로 나타내자

따라서 좌표축의 단위 벡터는 황소, 아야, 온스

정리.모든 벡터는 좌표축의 단위 벡터로 확장될 수 있습니다.

(2)

평등 (2)는 좌표축을 따른 벡터의 확장이라고 합니다. 이 확장의 계수는 좌표축에 대한 벡터의 투영입니다. 따라서 좌표축을 따른 벡터의 확장 계수(2)는 벡터의 좌표입니다.

공간에서 특정 좌표계를 선택한 후 벡터와 해당 좌표의 삼중항이 서로 고유하게 결정되므로 벡터는 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

(2)와 (3) 형식의 벡터 표현은 동일합니다.

좌표에서 벡터의 공선성에 대한 조건

이미 언급한 바와 같이, 벡터가 관계에 의해 연관되어 있는 경우 벡터를 동일선상이라고 합니다.

벡터를 주어보자 . 벡터의 좌표가 다음 관계에 의해 관련되어 있는 경우 이러한 벡터는 동일선상에 있습니다.

,

즉, 벡터의 좌표는 비례합니다.

실시예 6.벡터가 제공됩니다 . 이 벡터들은 동일선상에 있습니까?

해결책. 이 벡터의 좌표 간의 관계를 알아 보겠습니다.

.

벡터의 좌표는 비례하므로 벡터는 동일 선상에 있거나 평행합니다.

벡터 길이와 방향 코사인

좌표축의 상호 직각성으로 인해 벡터의 길이는

벡터로 구성된 직육면체의 대각선 길이와 같습니다.

그리고 평등으로 표현됩니다.

(4)

벡터는 두 점(시작 및 끝)을 지정하여 완전히 정의되므로 벡터의 좌표는 이 점의 좌표로 표현될 수 있습니다.

주어진 좌표계에서 벡터의 원점이 점에 있다고 가정합니다.

그리고 끝은 바로 그 지점에 있어

평등에서

그것을 따른다

또는 좌표 형식으로

따라서, 벡터 좌표는 벡터의 끝과 시작의 동일한 좌표 간의 차이와 같습니다. . 이 경우 공식 (4)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

벡터의 방향이 결정됩니다 방향 코사인 . 이는 벡터가 축과 이루는 각도의 코사인입니다. 황소, 아야그리고 온스. 이에 따라 이 각도를 표시해 보겠습니다. α , β 그리고 γ . 그런 다음 이 각도의 코사인은 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

벡터의 방향 코사인은 해당 벡터의 단위 벡터의 좌표이기도 하며 따라서 벡터의 단위 단위 벡터이기도 합니다.

.

단위 벡터의 길이가 1 단위와 같다는 것을 고려하면,

,

방향 코사인에 대해 다음과 같은 평등을 얻습니다.

실시예 7.벡터의 길이 찾기 엑스 = (3; 0; 4).

해결책. 벡터의 길이는 다음과 같습니다.

실시예 8.주어진 포인트:

이 점들에 구성된 삼각형이 이등변인지 알아보세요.

해결책. 벡터 길이 공식 (6)을 사용하여 변의 길이를 찾고 그 중에 두 개의 동일한 변이 있는지 확인합니다.

두 개의 동일한 변이 발견되었으므로 세 번째 변의 길이를 찾을 필요가 없으며 주어진 삼각형은 이등변삼각형입니다.

실시예 9.다음과 같은 경우 벡터의 길이와 방향이 코사인인지 구합니다. .

해결책. 벡터 좌표는 다음과 같습니다.

.

벡터의 길이는 벡터 좌표의 제곱합의 제곱근과 같습니다.

.

방향 코사인 찾기:

벡터 문제를 직접 해결한 다음 솔루션을 살펴보세요.

좌표 형식으로 주어진 벡터에 대한 연산

투영에 의해 정의된 두 개의 벡터를 지정하고 다음과 같이 정의합니다.

이 벡터에 대한 동작을 표시해 보겠습니다.

마침내 저는 이 방대하고 오랫동안 기다려온 주제를 손에 넣었습니다. 분석 기하학. 먼저, 고등수학의 이 부분에 대해 조금... 확실히 당신은 수많은 정리, 증명, 그림 등이 포함된 학교 기하학 과정을 기억할 것입니다. 무엇을 숨겨야 하는가는 상당수의 학생들에게 사랑받지 못하고 종종 모호한 주제입니다. 이상하게도 분석 기하학이 더 흥미롭고 접근하기 쉬운 것처럼 보일 수 있습니다. "분석적"이라는 형용사는 무엇을 의미합니까? 두 가지 진부한 수학적 표현이 즉시 떠오릅니다. 바로 "그래픽적 해결 방법"과 "해석적 해결 방법"입니다. 그래픽 방식는 물론 그래프 및 그림 구성과 관련이 있습니다. 분석적또는 방법문제 해결을 포함 주로대수적 연산을 통해. 이와 관련하여 분석 기하학의 거의 모든 문제를 해결하는 알고리즘은 간단하고 투명합니다. 필요한 공식을 신중하게 적용하는 것만으로도 충분하며 답이 준비되었습니다! 아니요, 물론 그림 없이는 이 작업을 수행할 수 없으며, 게다가 자료의 더 나은 이해를 위해 필요 이상으로 인용하도록 노력하겠습니다.

새로 개설된 기하학 수업 과정은 이론적으로 완전한 척하지 않고 실제적인 문제를 해결하는 데 중점을 둡니다. 나는 내 관점에서 실용적인 측면에서 중요한 것만 강의에 포함시킬 것입니다. 하위 섹션에 대해 더 완전한 도움이 필요한 경우 다음과 같은 매우 접근하기 쉬운 문헌을 권장합니다.

1) 농담이 아닌 여러 세대가 익히 알고 있는 것: 기하학에 관한 학교 교과서, 저자 - L.S. 아타나시안 앤 컴퍼니. 이 학교 라커룸 걸이는 이미 20(!)번의 재인쇄를 거쳤는데, 물론 이는 한계가 아닙니다.

2) 2권으로 된 기하학. 저자 L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. 이것은 고등학교를 위한 문학입니다. 첫 번째 볼륨. 드물게 접하는 작업은 내 시야에서 사라질 수 있으며 튜토리얼은 매우 귀중한 도움이 될 것입니다.

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독자는 점, 선, 평면, 삼각형, 평행사변형, 평행육면체, 입방체 등 기본 기하학적 개념과 도형에 익숙하다고 가정합니다. 적어도 피타고라스 정리와 같은 몇 가지 정리를 기억하는 것이 좋습니다. 반복자 여러분 안녕하세요)

이제 벡터의 개념, 벡터를 사용한 동작, 벡터 좌표를 순차적으로 고려해 보겠습니다. 더 읽어보시길 권합니다 가장 중요한 기사 벡터의 내적, 그리고 또한 벡터와 벡터의 혼합산물. 로컬 작업(이 점에서 세그먼트 분할)도 불필요하지 않습니다. 위의 정보를 바탕으로 마스터할 수 있습니다. 평면의 선의 방정식와 함께 가장 간단한 솔루션 예, 이를 통해 기하학 문제를 해결하는 방법을 배우십시오. 다음 문서도 유용합니다. 우주에서 비행기의 방정식, 공간의 선 방정식, 직선과 평면의 기본 문제, 분석 기하학의 다른 섹션. 당연히 표준 작업도 함께 고려됩니다.

벡터 개념입니다. 무료 벡터

먼저 벡터에 대한 학교 정의를 반복해 보겠습니다. 벡터~라고 불리는 감독시작과 끝이 표시된 세그먼트:

이 경우 세그먼트의 시작이 포인트이고 세그먼트의 끝이 포인트입니다. 벡터 자체는 로 표시됩니다. 방향필수적입니다. 화살표를 세그먼트의 다른 쪽 끝으로 이동하면 벡터를 얻게 되며 이는 이미 완전히 다른 벡터. 벡터의 개념을 육체의 움직임과 동일시하는 것이 편리합니다. 학원 문에 들어가는 것과 학원 문을 나가는 것은 완전히 다른 것이라는 점에 동의해야 합니다.

평면이나 공간의 개별 지점을 소위 말하는 것으로 간주하는 것이 편리합니다. 제로 벡터. 이러한 벡터의 경우 끝과 시작이 일치합니다.

!!! 메모: 여기에서 벡터가 동일한 평면에 있다고 가정하거나 공간에 있다고 가정할 수 있습니다. 제시된 자료의 본질은 평면과 공간 모두에 유효합니다.

명칭:많은 사람들이 명칭에 화살표가 없는 막대를 즉시 발견하고 상단에도 화살표가 있다고 말했습니다! 사실, 화살표를 사용하여 작성할 수 있습니다: 그러나 그것도 가능합니다 내가 앞으로 사용할 항목. 왜? 분명히이 습관은 실용적인 이유로 발전한 것 같습니다. 학교와 대학의 저격수는 크기가 너무 다르고 털이 많은 것으로 나타났습니다. 교육 문헌에서는 때로는 설형 문자 쓰기에 전혀 신경 쓰지 않지만 문자를 굵은 글씨로 강조 표시하여 이것이 벡터임을 암시합니다.

이상은 스타일에 관한 것이었고 이제 벡터를 작성하는 방법에 관한 것입니다.

1) 벡터는 두 개의 라틴 대문자로 작성할 수 있습니다.
등등. 이 경우 첫 글자는 반드시는 벡터의 시작점을 나타내고 두 번째 문자는 벡터의 끝점을 나타냅니다.

2) 벡터는 작은 라틴 문자로도 작성됩니다.
특히, 우리의 벡터는 간결함을 위해 작은 라틴 문자로 재지정될 수 있습니다.

길이또는 기준 치수 0이 아닌 벡터를 세그먼트의 길이라고 합니다. 0 벡터의 길이는 0입니다. 논리적.

벡터의 길이는 모듈러스 기호로 표시됩니다.

우리는 벡터의 길이를 구하는 방법을 배우게 될 것입니다. (혹은 누가 누구인지에 따라 반복할 것입니다.)

이것은 모든 학생들에게 친숙한 벡터에 대한 기본 정보였습니다. 분석 기하학에서는 소위 무료 벡터.

쉽게 말하면 - 벡터는 어느 지점에서나 플롯될 수 있습니다.:

우리는 이러한 벡터를 동일하다고 부르는 데 익숙하지만(동일 벡터의 정의는 아래에 제공됩니다), 순전히 수학적 관점에서 볼 때 이들은 SAME VECTOR 또는 무료 벡터. 왜 무료인가요? 문제를 해결하는 과정에서 이 벡터나 저 "학교" 벡터를 필요한 평면이나 공간의 어느 지점에나 "부착"할 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 멋진 기능입니다! 임의의 길이와 방향의 방향이 지정된 세그먼트를 상상해 보십시오. 이는 무한히 "복제"될 수 있으며 공간의 어느 지점에서나 실제로 어디에나 존재합니다. 다음과 같은 학생이 있습니다. 모든 강사는 벡터에 대해 저주합니다. 결국 그것은 단지 재치 있는 운율이 아니라 모든 것이 거의 정확합니다. 거기에 방향성 부분도 추가할 수 있습니다. 그러나 기뻐하려고 서두르지 마십시오. 종종 고통을 겪는 것은 학생들 자신입니다 =)

그래서, 무료 벡터- 이것 한 무리의 동일한 방향의 세그먼트. 단락 시작 부분에 있는 벡터의 학교 정의: "방향이 있는 세그먼트를 벡터라고 합니다..."는 다음을 의미합니다. 특정한평면이나 공간의 특정 지점에 연결된 주어진 세트에서 가져온 방향이 지정된 세그먼트입니다.

물리학의 관점에서 자유 벡터의 개념은 일반적으로 부정확하며 적용 지점이 중요하다는 점에 유의해야 합니다. 실제로, 나의 어리석은 예를 발전시키기에 충분할 정도로 코나 이마에 동일한 힘을 직접 가하면 다른 결과가 수반됩니다. 하지만, 자유롭지 못한벡터는 vyshmat 과정에서도 발견됩니다(거기 가지 마세요 :)).

벡터를 사용한 작업. 벡터의 공선성

학교 기하학 과정에서는 벡터를 사용한 다양한 작업과 규칙을 다룹니다. 삼각형 법칙에 따른 덧셈, 평행사변형 법칙에 따른 덧셈, 벡터 차분 법칙, 벡터와 숫자의 곱셈, 벡터의 스칼라 곱 등.시작점으로 해석 기하학 문제를 해결하는 데 특히 관련된 두 가지 규칙을 반복해 보겠습니다.

삼각형 규칙을 사용하여 벡터를 추가하는 규칙

0이 아닌 임의의 두 벡터를 고려하고 다음을 수행합니다.

이 벡터들의 합을 구해야 합니다. 모든 벡터는 무료로 간주되므로 벡터는 제외하겠습니다. 끝벡터:

벡터의 합은 벡터입니다. 규칙을 더 잘 이해하려면 물리적인 의미를 부여하는 것이 좋습니다. 즉, 일부 신체가 벡터를 따라 이동한 다음 벡터를 따라 이동하도록 합니다. 그런 다음 벡터의 합은 출발 지점에서 시작하고 도착 지점에서 끝나는 결과 경로의 벡터입니다. 임의 수의 벡터의 합에 대해서도 유사한 규칙이 공식화됩니다. 그들이 말했듯이 신체는 결과 합계 벡터를 따라 지그재그를 따라 또는 자동 조종 장치를 따라 매우 기울어질 수 있습니다.

그런데 벡터가 다음에서 연기되면 시작했다벡터, 그러면 우리는 동등한 것을 얻습니다 평행사변형 법칙벡터 추가.

먼저 벡터의 공선성에 대해 설명하겠습니다. 두 벡터는 다음과 같이 불린다. 동일선상의, 같은 선상에 있거나 평행선 상에 있는 경우. 대략적으로 말하면 병렬 벡터에 대해 이야기하고 있습니다. 그러나 그들과 관련하여 형용사 "공선상"이 항상 사용됩니다.

두 개의 동일선상 벡터를 상상해 보세요. 이 벡터의 화살표가 같은 방향을 향하면 이러한 벡터를 호출합니다. 공동 감독. 화살표가 다른 방향을 가리키는 경우 벡터는 다음과 같습니다. 반대 방향.

명칭:벡터의 공선성은 일반적인 병렬성 기호인 으로 작성되며, 상세화는 가능합니다: (벡터가 공동 방향을 향함) 또는 (벡터가 반대 방향을 향함).

작품숫자의 0이 아닌 벡터는 길이가 와 같은 벡터이고, 벡터 및 는 공동 방향을 향하고 반대 방향을 향합니다.

벡터에 숫자를 곱하는 규칙은 그림을 통해 더 쉽게 이해할 수 있습니다.

좀 더 자세히 살펴보겠습니다:

1) 방향. 승수가 음수이면 벡터는 방향을 바꾼다반대쪽으로.

2) 길이. 승수가 또는 내에 포함된 경우 벡터의 길이 감소하다. 따라서 벡터의 길이는 벡터 길이의 절반입니다. 승수의 모듈러스가 1보다 크면 벡터의 길이는 증가하다제 시간에.

3) 주의할 점 모든 벡터는 동일선상에 있습니다, 한 벡터는 다른 벡터를 통해 표현됩니다(예: ). 그 반대도 마찬가지다.: 한 벡터가 다른 벡터를 통해 표현될 수 있다면 그러한 벡터는 필연적으로 동일선상에 있습니다. 따라서: 벡터에 숫자를 곱하면 동일선상이 됩니다.(원작 대비) 벡터.

4) 벡터는 공동 지시됩니다. 벡터와 공동 감독도 있습니다. 첫 번째 그룹의 모든 벡터는 두 번째 그룹의 모든 벡터에 대해 반대 방향으로 향합니다.

어떤 벡터가 동일합니까?

두 벡터가 방향이 같고 길이가 같으면 동일합니다.. 동일방향성은 벡터의 공선성을 의미합니다. "두 벡터가 동일 선상에 있고 방향이 같으며 길이가 같다면 두 벡터는 동일합니다."라고 말하면 정의는 부정확(중복)됩니다.

자유 벡터 개념의 관점에서 볼 때, 동일한 벡터는 이전 단락에서 논의한 바와 같이 동일한 벡터입니다.

평면과 공간의 벡터 좌표

첫 번째 요점은 평면의 벡터를 고려하는 것입니다. 데카르트 직각 좌표계를 묘사하고 좌표 원점에서 플롯해 보겠습니다. 하나의벡터 및 :

벡터와 직교. 직교 = 수직. 천천히 용어에 익숙해지는 것이 좋습니다. 평행성과 직각성 대신에 각각 단어를 사용합니다. 공선성그리고 직교성.

지정:벡터의 직교성은 일반적인 수직성 기호로 표시됩니다(예: ).

고려중인 벡터는 다음과 같습니다. 좌표 벡터또는 오르트. 이 벡터는 다음과 같습니다. 기초표면에. 내 생각에 기초가 무엇인지는 많은 사람들에게 직관적으로 분명합니다. 더 자세한 정보는 기사에서 찾을 수 있습니다. 벡터의 선형(비) 의존성. 벡터의 기초간단히 말해서 좌표의 기초와 원점은 전체 시스템을 정의합니다. 이는 완전하고 풍부한 기하학적 삶이 끓어오르는 일종의 기초입니다.

때로는 구축된 기초라고 불리기도 합니다. 직교평면의 기초: "직교" - 좌표 벡터가 직교하기 때문에 형용사 "정규화"는 단위를 의미합니다. 기본 벡터의 길이는 1과 같습니다.

지정:기초는 일반적으로 괄호 안에 기록되며 그 안에 엄격한 순서로기저 벡터가 나열됩니다(예: ). 좌표 벡터 그것은 금지되어 있다재배열하다.

어느비행기 벡터 유일한 방법다음과 같이 표현됩니다.
, 어디 - 숫자라고 불리는 벡터 좌표이를 바탕으로. 그리고 표현 자체는 ~라고 불리는 벡터 분해기준으로 .

제공되는 저녁 식사:

알파벳의 첫 글자부터 시작하겠습니다: . 그림은 벡터를 기저로 분해할 때 방금 논의한 것들이 사용된다는 것을 명확하게 보여줍니다.
1) 벡터에 숫자를 곱하는 규칙: 및 ;
2) 삼각형 규칙에 따른 벡터 추가: .

이제 평면의 다른 점에서 벡터를 정신적으로 플롯합니다. 그의 쇠퇴가 "가차없이 그를 따라갈 것"임은 분명합니다. 여기에 벡터의 자유가 있습니다. 벡터는 "모든 것을 자체적으로 전달합니다." 물론 이 속성은 모든 벡터에 적용됩니다. 기저(자유) 벡터 자체가 원점에서 플롯될 필요가 없다는 것이 재밌습니다. 예를 들어 하나는 왼쪽 하단에, 다른 하나는 오른쪽 상단에 그릴 수 있으며 아무 것도 변경되지 않습니다! 사실, 선생님도 독창성을 보여주고 예상치 못한 곳에서 "학점"을 받을 것이기 때문에 이렇게 할 필요는 없습니다.

벡터는 벡터에 숫자를 곱하는 규칙을 정확하게 설명하며, 벡터는 기본 벡터와 공동 방향을 가지며, 벡터는 기본 벡터의 반대 방향을 향합니다. 이러한 벡터의 경우 좌표 중 하나는 0과 같습니다. 다음과 같이 꼼꼼하게 작성할 수 있습니다.


그런데 기본 벡터는 다음과 같습니다. (실제로는 자체적으로 표현됩니다.)

그리고 마지막으로: , . 그런데 벡터 뺄셈이 무엇이며, 왜 뺄셈 규칙에 대해 이야기하지 않았습니까? 선형 대수학 어딘가에서 뺄셈이 덧셈의 특별한 경우라는 점을 기억하지 못합니다. 따라서 벡터 "de"와 "e"의 전개는 쉽게 합으로 작성됩니다. . 그림을 따라가면 이러한 상황에서 삼각형 규칙에 따른 벡터의 좋은 덧셈이 얼마나 명확하게 작동하는지 확인할 수 있습니다.

고려된 형태의 분해 벡터 분해라고도 함 오르트 시스템에서(즉, 단위 벡터 시스템에서). 그러나 이것이 벡터를 작성하는 유일한 방법은 아닙니다. 다음 옵션이 일반적입니다.

또는 등호를 사용하면 다음과 같습니다.

기본 벡터 자체는 다음과 같이 작성됩니다.

즉, 벡터의 좌표는 괄호 안에 표시됩니다. 실제 문제에서는 세 가지 표기법 옵션이 모두 사용됩니다.

말을 해야 할지 고민이 되었지만 어쨌든 말하겠습니다. 벡터 좌표는 재배열할 수 없습니다.. 엄밀히 말하면 우선단위 벡터에 해당하는 좌표를 적고, 엄격히 2위단위 벡터에 해당하는 좌표를 기록합니다. 실제로 와 는 서로 다른 두 벡터입니다.

우리는 비행기의 좌표를 알아냈습니다. 이제 3차원 공간의 벡터를 살펴보겠습니다. 여기서는 거의 모든 것이 동일합니다! 좌표를 하나 더 추가하면 됩니다. 3차원 그림을 그리는 것은 어려우므로 하나의 벡터로 제한하겠습니다. 단순화를 위해 원점과는 별도로 설정하겠습니다.

어느 3D 공간 벡터 유일한 방법정규 직교 기반으로 확장합니다.
, 이 기준에서 벡터(숫자)의 좌표는 어디에 있습니까?

그림의 예: . 여기서 벡터 규칙이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다. 먼저 벡터에 (빨간색 화살표), (녹색 화살표) 및 (라즈베리 화살표) 숫자를 곱합니다. 둘째, 다음은 여러 벡터(이 경우에는 3개)를 추가하는 예입니다. 합 벡터는 초기 출발점(벡터의 시작)에서 시작하여 최종 도착점(벡터의 끝)에서 끝납니다.

당연히 3차원 공간의 모든 벡터도 자유롭습니다. 다른 지점에서 벡터를 정신적으로 분리하려고 하면 해당 벡터의 분해가 "그와 함께 유지됩니다"라는 것을 이해하게 될 것입니다.

플랫케이스와 유사하게 필기 외에 대괄호가 있는 버전이 널리 사용됩니다.

확장에서 하나 또는 두 개의 좌표 벡터가 누락된 경우 해당 위치에 0이 배치됩니다. 예:
벡터(세심하게 ) - 글을 쓰자 ;
벡터 (세심하게) - 적어두세요.
벡터(세심하게 ) - 글을 쓰자 .

기본 벡터는 다음과 같이 작성됩니다.

이것은 아마도 분석 기하학의 문제를 해결하는 데 필요한 최소한의 이론적 지식일 것입니다. 많은 용어와 정의가 있을 수 있으므로, 티팟이 이 내용을 다시 읽고 이해하는 것을 권장합니다. 그리고 모든 독자가 자료를 더 잘 이해하기 위해 때때로 기본 강의를 참조하는 것이 유용할 것입니다. 공선성, 직교성, 정규직교 기저, 벡터 분해 - 이러한 개념과 기타 개념은 앞으로 자주 사용될 것입니다. 나는 모든 정리를 (그리고 증명 없이) 조심스럽게 암호화하기 때문에 사이트의 자료가 기하학에 대한 이론적 테스트나 콜로키움을 통과하기에 충분하지 않다는 점에 주목합니다. 이는 과학적 표현 스타일에 해를 끼치지만 이해에 도움이 됩니다. 주제. 자세한 이론적 정보를 얻으려면 Atanasyan 교수에게 절하십시오.

그리고 실용적인 부분으로 넘어갑니다.

분석 기하학의 가장 간단한 문제.
좌표의 벡터를 사용한 동작

완전 자동으로 고려되는 작업을 해결하는 방법과 공식을 배우는 것이 좋습니다. 암기하다, 의도적으로 기억할 필요조차 없으며 스스로 기억할 것입니다 =) 분석 기하학의 다른 문제는 가장 간단한 기본 예를 기반으로하고 폰을 먹는 데 추가 시간을 소비하는 것이 짜증스럽기 때문에 이것은 매우 중요합니다. . 셔츠의 상단 단추를 채울 필요가 없습니다. 학교에서 익숙한 많은 것들이 있습니다.

자료의 발표는 평면과 공간 모두에 대해 평행한 과정을 따릅니다. 모든 공식은... 직접 확인하실 수 있기 때문입니다.

두 점에서 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까?

평면의 두 점과 가 주어지면 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

공간의 두 점과 가 주어지면 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

그건, 벡터 끝의 좌표로부터해당 좌표를 빼야합니다 벡터의 시작.

운동:동일한 점에 대해 벡터 좌표를 찾는 공식을 작성하십시오. 수업이 끝나면 공식.

실시예 1

평면의 두 점과 . 벡터 좌표 찾기

해결책:적절한 공식에 따라:

또는 다음 항목을 사용할 수 있습니다.

미학자들은 다음과 같이 결정합니다.

개인적으로 저는 첫 번째 버전의 녹음에 익숙합니다.

답변:

조건에 따라 그림을 구성할 필요는 없었지만(해석 기하학 문제의 경우 일반적임), 인형에 대한 몇 가지 사항을 명확히 하기 위해 게으르지 않을 것입니다.

반드시 이해해야 합니다. 점 좌표와 벡터 좌표의 차이:

점좌표– 직사각형 좌표계의 일반 좌표입니다. 초등학교 5~6학년쯤 되면 좌표평면에 점을 그리는 방법은 다들 아시리라 생각합니다. 각 점은 평면에서 엄격한 위치를 갖고 있으며 어디로도 이동할 수 없습니다.

벡터의 좌표– 이 경우에는 기초에 따른 확장입니다. 모든 벡터는 자유로우므로 원하거나 필요한 경우 평면의 다른 지점에서 쉽게 이동할 수 있습니다. 벡터의 경우 축이나 직사각형 좌표계를 전혀 만들 필요가 없다는 점이 흥미롭습니다. 이 경우 평면의 정규 직교 기반만 있으면 됩니다.

점의 좌표와 벡터의 좌표 기록은 유사한 것으로 보입니다. 좌표의 의미전적으로 다른, 이 차이점을 잘 알고 있어야 합니다. 물론 이러한 차이는 공간에도 적용됩니다.

신사숙녀 여러분, 두 손을 가득 채우십시오.

실시예 2

a) 포인트가 주어집니다. 벡터와 를 찾으세요.
b) 포인트가 부여됩니다 그리고 . 벡터와 를 찾으세요.
c) 포인트가 주어집니다. 벡터와 를 찾으세요.
d) 포인트가 주어집니다. 벡터 찾기 .

아마도 그것으로 충분할 것입니다. 이것들은 스스로 결정할 수 있는 예시입니다. 이를 무시하지 않도록 노력하세요. 그러면 성과를 거둘 것입니다 ;-). 그림을 그릴 필요가 없습니다. 수업이 끝나면 솔루션과 답변이 제공됩니다.

해석기하학 문제를 해결할 때 중요한 것은 무엇입니까?“2 더하기 2는 0이다”라는 엄청난 실수를 피하려면 극도로 조심하는 것이 중요합니다. 어딘가에 실수가 있었다면 즉시 사과드립니다 =)

세그먼트의 길이를 찾는 방법은 무엇입니까?

이미 언급한 대로 길이는 모듈러스 기호로 표시됩니다.

평면의 두 점이 주어지면 , 세그먼트의 길이는 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다

공간의 두 점이 주어지면 세그먼트의 길이는 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다

메모: 해당 좌표가 바뀌면 공식은 올바른 상태로 유지됩니다: 및 , 그러나 첫 번째 옵션이 더 표준적입니다.

실시예 3

해결책:적절한 공식에 따라:

답변:

명확성을 위해 그림을 만들겠습니다.

선분 - 이것은 벡터가 아니다, 물론 어디로든 이동할 수는 없습니다. 또한 축척에 맞게 그리는 경우: 1개 단위. = 1 cm (노트북 셀 2개), 세그먼트의 길이를 직접 측정하여 일반 눈금자로 결과 답변을 확인할 수 있습니다.

예, 해결책은 짧습니다. 하지만 명확히 하고 싶은 몇 가지 중요한 사항이 더 있습니다.

먼저, 답변에 "단위"라는 차원을 입력했습니다. 조건은 그것이 무엇인지(밀리미터, 센티미터, 미터 또는 킬로미터) 말하지 않습니다. 따라서 수학적으로 올바른 해결책은 "단위"라는 일반적인 공식이 될 것입니다. 이는 "단위"로 축약됩니다.

둘째, 고려된 작업뿐만 아니라 유용한 학교 자료를 반복하겠습니다.

주의를 기울이다 중요한 기술 – 루트 아래에서 승수 제거. 계산 결과, 결과가 나오며 (가능한 경우) 루트 아래에서 인수를 제거하는 것이 좋은 수학적 스타일입니다. 프로세스를 더 자세히 살펴보면 다음과 같습니다. . 물론, 답을 그대로 놔두는 것은 실수가 아닐 것입니다. 그러나 그것은 분명히 결점일 것이며 교사 측의 말다툼에 대한 중대한 논쟁이 될 것입니다.

다른 일반적인 경우는 다음과 같습니다.

종종 루트는 상당히 큰 숫자를 생성합니다(예: ). 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 계산기를 사용하여 숫자가 4로 나누어지는지 확인합니다. 예, 완전히 나누어졌습니다. 따라서: . 아니면 숫자를 다시 4로 나눌 수 있을까요? . 따라서: . 숫자의 마지막 숫자는 홀수이므로 세 번째로 4로 나누는 것은 당연히 작동하지 않습니다. 9로 나누어 보겠습니다. 결과적으로:
준비가 된.

결론:루트 아래에 전체적으로 추출할 수 없는 숫자가 있으면 루트 아래에서 요소를 제거하려고 합니다. 계산기를 사용하여 숫자가 4, 9, 16, 25, 36으로 나누어지는지 확인합니다. 49 등

다양한 문제를 해결할 때 루트가 자주 발생합니다. 교사의 의견을 기반으로 솔루션을 마무리하는 데 있어 낮은 성적과 불필요한 문제를 피하기 위해 항상 루트 아래에서 요소를 추출하려고 노력하십시오.

또한 제곱근과 다른 거듭제곱을 반복해 보겠습니다.

일반적인 형태의 거듭제곱을 사용하는 규칙은 학교 대수학 교과서에서 찾을 수 있지만, 주어진 예를 보면 모든 것 또는 거의 모든 것이 이미 명확하다고 생각합니다.

공간에 세그먼트가 있는 독립적인 솔루션을 위한 작업:

실시예 4

포인트가 주어집니다. 세그먼트의 길이를 찾으십시오.

정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다.

벡터의 길이를 어떻게 구하나요?

평면 벡터가 주어지면 그 길이는 공식으로 계산됩니다.

공간 벡터가 주어지면 그 길이는 다음 공식으로 계산됩니다. .

또는 단위 벡터(정규화된 벡터 공간의 단위 벡터)는 놈(길이)이 1인 벡터입니다. 단위 벡터 ... 위키피디아

- (ort) 벡터, 길이는 선택한 스케일의 단위와 같습니다... 큰 백과사전

- (ort), 길이가 선택한 스케일의 단위와 동일한 벡터입니다. * * * UNIT VECTOR UNIT VECTOR(ort), 선택한 스케일의 단위와 길이가 같은 벡터... 백과사전

Ort는 길이가 선택한 스케일의 단위와 동일한 벡터입니다. 모든 벡터 a는 동일선상에 있는 일부 E.v에서 얻을 수 있습니다. e에 숫자(스칼라) λ를 곱하면 됩니다. 즉, a = λе입니다. 벡터 미적분학도 참조하세요... 위대한 소련 백과사전

- (ort), 길이가 선택한 스케일의 단위와 동일한 벡터... 자연 과학. 백과사전

Orth: 위키낱말사전에는 "orth" 관사가 있습니다. Orth 또는 Orth는 머리가 두 개 달린 개이며, Typhon과 Cerberus의 형제인 Echidna의 자손입니다. 오르트 ... 위키피디아

ㅏ; m. [독일어] 오르트] 1. 호른. 표면에 직접 접근할 수 없는 수평 지하 광산 개구부입니다. 2. 수학. 길이가 1인 벡터입니다. * * * 단위 벡터 I(그리스어 오르토스에서 유래), 단위 벡터와 동일합니다. II (독일어 ... ... 백과사전