Что делает медиана с площадью треугольника. Медиана, высота и биссектриса и их свойства. Основные элементы треугольника abc

Медиана – это одна из основных линий треугольника. Этот отрезок и прямая, на которой он лежит, соединяет точку во главе угла треугольника с серединой противолежащей стороны этой же фигуры. В равностороннем треугольнике медиана является также биссектрисой и высотой.

Свойство медианы, которое существенно облегчит решение многих задач, заключается в следующем: если в треугольнике провести медианы из каждого угла, то все они, пересекаясь в одной точке, будет делиться в соотношении 2:1. Соотношение следует отсчитывать от вершины угла.

Медиана имеет свойство разделять все поровну. Например, любая медиана делит треугольник на два других, равных по своей площади. А если провести все три медианы, то в большом треугольнике получится 6 маленьких, также равных по площади. Такие фигуры (с одинаковой площадью) называются равновеликими.

Биссектриса

Биссектриса представляет собой луч, который начинается в вершине угла и делит этот же угол пополам. Точки, лежащие на данном луче, равноудалены от сторон угла. Свойства биссектрисы хорошо помогают в решении задач, связанных с треугольниками.

В треугольнике биссектрисой называют отрезок, который лежит на луче биссектрисы угла и соединяет вершину с противолежащей стороной. Точка пересечения со стороной делит ее на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторонам.

Если в треугольник вписать окружность, то ее центр будет совпадать с точкой пересечения всех биссектрис данного треугольника. Это свойство имеет отражение и в стереометрии - там роль треугольника играет пирамида, а окружности - шар.

Высота

Также как медиана и биссектриса, высота в треугольнике в первую очередь связывают вершину угла и противолежащую сторону. Это связь проистекает в следующем: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины, к прямой, которая содержит в себе противолежащую сторону.

Если высота проведена в прямоугольном треугольнике, то, касаясь противоположной стороны, она делит весь треугольник на два других, которые в свою очередь подобны первому.

Нередко понятие перпендикуляра применяется в стереометрии, чтобы определить взаиморасположения прямых в разных плоскостях и расстояние между ними. В этом случае отрезок, выполняющий функцию перпендикуляра, должен иметь прямой угол с обеими прямыми. Тогда числовое значение данного отрезка будет показывать расстояние между двумя фигурами.

Свойства

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая называется центроидом , и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
• При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
• Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Формулы

• Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

, где m c - медиана к стороне c; a, b, c - стороны треугольника, поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.

• Формула стороны через медианы:

, где медианы к соответствующим сторонам треугольника, - стороны треугольника.

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Мнемоническое правило

Медиана-обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.

Примечания

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Медиана треугольника" в других словарях:

Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны в статистике медианой называется значение совокупности, делящее ранжированный ряд данных пополам Медиана (статистика) … … Википедия

Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Медиана (статистика) квантиль 0.5 Медиана (трасса) средняя линия трассы, проведённая между правым и левым … Википедия

Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы … Википедия

Линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его основания. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. медиана (лат. mediana средняя) 1) геол. отрезок, соединяющий вершину треугольника с… … Словарь иностранных слов русского языка

Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так … Большая советская энциклопедия

Треугольника прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или… … Математическая энциклопедия

- (от лат. mediana средняя) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Большой Энциклопедический словарь

МЕДИАНА, медианы, жен. (лат. mediana, букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных,… … Толковый словарь Ушакова

МЕДИАНА, ы, жен. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

МЕДИАНА (от лат. mediana средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Энциклопедический словарь

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника (центроидом).

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Длина медианы проведенной к стороне: (док-во достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме удвоенной суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей )

Т1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Дано: ∆ABC, СС 1 , АА 1 , ВВ 1 - медианы
∆ABC . Доказать: и

Д-во: Пусть М - точка пересечения медиан СС 1 , АА 1 треугольника ABC. Отметим A 2 - середину отрезка AM и С 2 - середину отрезка СМ. Тогда A 2 C 2 - средняя линия треугольника АМС. Значит,А 2 С 2 || АС

и A 2 C 2 = 0,5*АС. С 1 А 1 - средняя линия треугольника ABC. Значит, А 1 С 1 || АС и А 1 С 1 = 0,5*АС.

Четырехугольник А 2 С 1 А 1 С 2 - параллелограмм, так как его противо­положные стороны А 1 С 1 и А 2 С 2 равны и параллельны. Следовательно, А 2 М = МА 1 и С 2 М = МC 1 . Это означает, что точки А 2 и M делят медиану АА 2 на три равные части, т. е. AM = 2МА 2 . Аналогично СМ = 2MC 1 . Итак, точка М пересечения двух медиан АА 2 и CC 2 треугольника ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треу­гольника. Совершенно аналогично доказывается, что точка пересечения меди­ан АА 1 и BB 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вер­шин треугольника.

На медиане АА 1 такой точкой является точка М, следовательно, точка М и есть точка пересечения медиан АА 1 иBB 1.

Таким образом, n

T2. Докажите, что отрезки, которые соединяют центроид с вер­шинами треугольника, делят его на три равновеликие части. Дано: ∆ABC , - его медианы.

Доказать:S AMB =S BMC =S AMC . Доказательство. В, у них общая. т.к. равны их основания и высота, проведенная из вершины М, у них общая. Тогда

Аналогичным образом доказывается, чтоS AMB = S AMC . Таким образом,S AMB = S AMC = S CMB . n

Биссектриса треугольника.Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис

Биссектриса угла - луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Свойства

1. Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - инцентре - центре вписанной в этот треугольник окружности.

3. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник - равнобедренный (теорема Штейнера - Лемуса).

Вычисление длины биссектрисы

l c - длина биссектрисы, проведённой к стороне c,

a,b,c - стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,

p - полупериметр треугольника,

a l ,b l - длины отрезков, на которые биссектриса l c делит сторону c,

α,β,γ - внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C соответственно,

h c - высота треугольника, опущенная на сторону c.

Метод площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

1) Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур

2) Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

Теорема Чевы

Пусть точки A",B",C" лежат на прямых BC,CA,AB треугольника. Прямые AA",BB",CC" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек С и А перпендикуляры на прямую ВВ 1 до пересечения с ней в точках Kи L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL иCK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы) . Пусть точки A",B",C" лежат на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA",BB",CC" и пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C 1 – точка ее пересечения со стороной AB, A 1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B 1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство . Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B 1 C 1 .

ТреугольникиAC 1 B 1 иCKB 1 подобны (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Следовательно,

ТреугольникиBC 1 A 1 иCKA 1 такжеподобны (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C 1 лежит на стороне AB, точка A 1 – на стороне BC, а точка B 1 – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

Тогда точки A 1 ,B 1 и C 1 лежат на одной прямой.

Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы - это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.

Определение

Медиана - это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

• Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

• В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Найдем значение медианы: $$m={c\over2}={5\over2}=2,5$$ - получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

• В треугольнике известны значения сторон: a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

$$m^2 ={1\over2}*(a^2+c^2-b^2)$$

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего - вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=\sqrt{{1\over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$

$$m=\sqrt{{1\over2}*(49+81-64)}=\sqrt{33}$$ - оставим результат в виде корня.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

$$S={1\over2}*6*8=24$$

Площадь каждого из малых треугольников: $${24\over6}=4$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.7 . Всего получено оценок: 84.

Содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы .

• Можно также ввести понятие внешней медианы треугольника.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ МЕДИАНЫ биссектрисы и ВЫСОТЫ треугольника - 7 класс

✪ Медиана треугольника. Построение. Свойства.

✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс

Субтитры

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

• В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой .
• Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник - равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
• У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

• Теорема Эйлера для окружности девяти точек : основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан ) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром , все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек ).
• Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией . Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний ), то его биссектриса , проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой , проведёнными из той же вершины.
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника .
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку - точку Лемуана .
• Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Основные соотношения

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} .

• Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 {\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}}} , где m a , m b , m c {\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} медианы к соответствующим сторонам треугольника, a , b , c {\displaystyle a,b,c} - стороны треугольника.