Тригонометрическая окружность. Подробная теория с примерами. Все, что нужно знать об окружности 1 круг определение дуга окружности центральный угол

Пусть
 произвольная точка эллипса. Имеем:
,
. Из определения эллипса

, (1.29)

или  искомое уравнение эллипса, которое неудобно для использования. Из последнего равенства следует, что .Так как
, то можем обе части уравнения возвести в квадрат и после эквивалентных преобразований получим:
. Следовательно,. Введем новую переменную
. Имеем:
. Из этого равенства следует, что

. (1.30)

Уравнение (1.30) называется каноническим (простейшим) уравнением эллипса. Это уравнение является уравнением второго порядка. Таким образом, любая точка эллипса, удовлетворяющая уравнению (1.29), удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем, что все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.30), являются точками эллипса, т. е. их координаты удовлетворяют уравнению (1.29).

Для фокального радиуса выполняется соотношение
. Из уравнения (1.30) имеем:
. Поэтому
, или
. Аналогично находим, что
. Следовательно,
.

Эллипс симметричен относительно координатных осей, так как содержит только четные степени и, и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии центром эллипса.

Эллипс пересекает координатные оси в точках
,
,
,
. Эти точки называются вершинами эллипса. При
эллипс вырождается в окружность радиусоми центром в начале координат. Вершины эллипса ограничивают на осях отрезки длиной
и
, причем
(это следует из того, что
).

Величины иназываются большой и малой полуосями эллипса, оси эллипса соответственно большой и малой осью.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение, где половина расстояния между фокусами,  большая полуось, т. е.

. (1.31)

Учитывая, что
, получим
. Так как

, то
. Если
, т. е. эллипс приближается к окружности, то
. Если
, ак нулю не стремится, то эллипс вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру его вытянутости вдоль большой оси.

Если фокусы эллипса
и
расположены на оси ординат, то в этом случае
и большой является полуось. Уравнение эллипса также имеет вид (1.30), но
, а его эксцентриситет вычисляется по формуле
.

П р и м е р 14. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его фокусами
и эксцентриситет
.

Решение. Половина расстояния между фокусами
. Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, поэтому большой полуосью является. Из (1.31) следует, что
. Тогда. Таким образом, уравнение эллипса имеет вид
.

П р и м е р 15. Дан эллипс
. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на 45, получим
. Таким образом, его полуось
,
. Большой полуосью является полуось, поэтому фокусы эллипса расположены на оси ординат и

, следовательно, фокусы находятся в точках
и
. Эксцентриситет эллипса равен отношению половины расстояния между фокусами к большой полуоси, т. е.
.

П р и м е р 16. Вычислить площадь четырехугольника
, две вершиныикоторого лежат в фокусах эллипса
, две другиеи
совпадают с концами его малой оси.

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид
, поэтому
,
. Следовательно, вершины четырехугольникаи
имеют соответственно координаты
и
. Найдем координаты вершини. Так как
, то
,
. Полученный четырехугольник симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат, следовательно,

.

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: и

Можно схитрить: в частности для угла в градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен градусам, то второй - градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

Тогда так как, то и. Так как, то и. C градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен градусам, то и другой тоже равен градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в градусов и градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти . Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

1. Угол лежит в пределах от до градусов
2. Угол больше градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти - то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше градусов и не больше чем. Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая...

...вот такой:

То есть рассмотрим угол, лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки, которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты и.

Причем первая координата отрицательная, а вторая - положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус - положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен? А у каких равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

Проверим?

1. градусов - это угол, больший и меньший, а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда.
   градусов - угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус - отрицательный. Плюс делить на минус - будет минус. Значит.
   градусов - угол, больший и меньший. Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит
2. C радианами работаем аналогично: это угол второй четверти (так как и. Синус второй четверти положительный.
   .
   , это угол четвертой четверти. Там косинус положительный.
   - угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус - отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля:

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же.

Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

Задача

Найдите, если и.

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

Решение

Так как, то подставим сюда значение, тогда. Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи: . Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед. , тогда.

Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье « ». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

Углы больше градусов

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье - это как быть с углами, большими чем градусов?

Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в градусов (радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (градусов или радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол.

Что же нам это даст? А вот что: если, то

Откуда окончательно получим:

Для любого целого. Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом .

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

Проверяем:

1. В градусов умещается раза по градусов (градусов):
   осталось градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит
2. . градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда
3. . . Так как, то - угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos
4. . . Так как, то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный.

Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

1. А что такое отрицательные углы?
2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

1. Что такое отрицательные углы?
2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси против часовой стрелки :

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный. Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси по часовой стрелке .

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными :

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки - получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке - получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда - отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном .

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

• Синусы у углов и противоположны по знаку! Тогда если
• Косинусы у углов и совпадают! Тогда если
• Так как, то:
• Так как, то:

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция, у которой для любого допустимого выполняется: ?

Такая функция называется нечетной .

А если же для любого допустимого выполняется: ? То в таком случае функция называется четной .

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый - строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй - запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить. Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

1. Синус и косинус имеют период (градусов), то есть

   Тангенс (котангенс) имеют период (градусов)

   Любое целое число

2. Синус и тангенс - функции нечетные, а косинус - четная:

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла - делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:
2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: (по градусов), а для тангенса - (градусов). Например:
3. Если оставшийся «уголок» меньше градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол: это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
5. Представляем угол в одной из следующих форм:

   (если во второй четверти)
   (если во второй четверти)
   (если в третьей четверти)
   (если в третьей четверти)
   
   (если в четвертой четверти)

   так, чтобы оставшийся угол был больше нуля и меньше градусов. Например:

   В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через или градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь или и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через или градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс - на тангенс.
7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

1. Вычислить
2. Вычислить
3. Най-ди-те зна-че-ние вы-ра-же-ния:

Начнем по порядку:

1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для:

   В общем, делаем вывод, что в угол помещается целиком 5 раз по, а сколько осталось? Осталось. Тогда

   Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:

   Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с градусами, тогда отбрасываем и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

   градусов - угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

   Тогда получим окончательный ответ:

   Ответ:

2. все то же самое, но вместо градусов - радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

   Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

   Отбрасываем - это два целых круга. Осталось вычислить. Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. можно представить как. Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа (или), тогда функция не меняется:

   Тогда.
   Ответ: .

3. . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: и градусов - углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус - «плюс». можно представить как: , а как, тогда

   Оба случая - «половинки от целого ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус - на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

Ответ: .

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

А вот и решения:

1. 
   Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус - функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

   Отбрасываем целое количество кругов - то есть три круга ().
   Остается вычислить: .
   Так же поступаем и со вторым углом:

   Удаляем целое число кругов - 3 круга () тогда:

   Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до всего. Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим. Так как вычитаем мы из целого количества, то знак косинуса не меняем:

   Подставляем все полученные данные в формулу:

   Ответ: .

2. 
   Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что.
   Осталось сосчитать косинус градусов. Уберем целые круги: . Тогда

   Тогда.
   Ответ: .

3. Действуем, как в предыдущем примере.

   Поскольку ты помнишь, что период у тангенса - (или) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество.

   градусов - угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! можно записать как. Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

   Тогда.
   Ответ: .

Ну что же, осталось совсем немного!

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться - это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

1. Ось - ось косинусов
2. Ось - ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами?

Неужели, для них нет никакой графической интерпретации?

На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке:

В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

1. Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
2. Они положительны в 1 и 3 четверти
3. Они отрицательны во 2 и 4 четверти
4. Тангенс не определен в углах
5. Котангенс не определен в углах

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь на продвинутом уровне, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений.

Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы:

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Обратная замена:

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»!

Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для и для):

Обрати внимание: какой угол получился между углами и? Это угол. Теперь проделаем то же самое и для серии: .

Между корнями уравнения снова получился угол в. А теперь совместим эти две картинки:

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны. А что это значит?

Если мы стартуем от угла и будем брать углы, равные (для любого целого), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

Можно объединить в одну:

Увы, для серий корней:

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

Тогда исходное уравнение имеет корни:

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты.

Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды.

Второй пример - уравнения, которые имеют «некрасивые корни».

Например:

1. Решите уравнение.
2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку.

Первая часть не представляет из себя ничего сложного.

Поскольку ты уже знаком с темой , то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

тогда или

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного.

Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение).

Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку: .

Во-первых, в него попадает само число, затем (см. рис).

также принадлежит отрезку.

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами?

На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Пример

Дано уравнение.

• Решите данное уравнение.
• Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку.

Решение:

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

Из рисунка можно понять, что:

Или даже более того: так как, то

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку.

, (так как)

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку, наше уравнение не имеет.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

1. Через градусы
2. Через радианы

И наоборот: от радиан к градусам:

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

1. Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
2. Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
3. Её «иксовая» координата - это косинус искомого угла.
4. Её «игрековая» координата - это синус искомого угла.

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу:

Подведение итогов

Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.

Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.

Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!

Теперь я хочу услышать тебя!

Удалось ли тебе разобраться с этой сложной темой?

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Пиши в комментариях!

И удачи на экзамене!

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.

Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство (Длина отрезка равна радиусу окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().

Длина окружности:

Площадь круга:

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.

Угол между двумя радиусами называется центральным углом :

Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:

а) угол дан в градусах:

б) угол дан в радианах:

Диаметр, перпендикулярный хорде , делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:

Если хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:

Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть :

Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть :

Углы в окружности.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∠∠

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

∠∠∠

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны :

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна

∠∠

Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:

Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

здесь - полупериметр многоугольника, - радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны . Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника , если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

Где - длины сторон треугольника, - его площадь.

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон: