Come trovare l'area di un triangolo se si conoscono i lati. Come trovare l'area di un triangolo rettangolo in un modo insolito. Cosa abbiamo imparato

Un triangolo rettangolo si trova in realtà quasi ad ogni angolo. La conoscenza delle proprietà di una determinata figura, nonché la capacità di calcolarne l'area, ti saranno senza dubbio utili non solo per risolvere problemi di geometria, ma anche in situazioni di vita.

Geometria del triangolo

Nella geometria elementare, un triangolo rettangolo è una figura composta da tre segmenti collegati che formano tre angoli (due acuti e uno dritto). Il triangolo rettangolo è una figura originale caratterizzata da una serie di importanti proprietà che costituiscono il fondamento della trigonometria. A differenza di un triangolo regolare, i lati di una figura rettangolare hanno i propri nomi:

• L'ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo, opposto all'angolo retto.
• Le gambe sono segmenti che formano un angolo retto. A seconda dell'angolo considerato, la gamba può essere adiacente ad esso (formando questo angolo con l'ipotenusa) o opposta (situata di fronte all'angolo). Non ci sono cateti per i triangoli non rettangoli.

È il rapporto tra cateti e ipotenusa che costituisce la base della trigonometria: seni, tangenti e secanti sono definiti come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.

Triangolo rettangolo nella realtà

Questa cifra è diventata molto diffusa nella realtà. I triangoli sono utilizzati nel design e nella tecnologia, quindi il calcolo dell'area di una figura deve essere effettuato da ingegneri, architetti e designer. Le basi dei tetraedri o dei prismi - figure tridimensionali facili da incontrare nella vita di tutti i giorni - hanno la forma di un triangolo. Inoltre, un quadrato è la rappresentazione più semplice di un triangolo rettangolo "piatto" nella realtà. Un quadrato è uno strumento per la lavorazione dei metalli, il disegno, la costruzione e la carpenteria utilizzato per costruire angoli sia dagli scolari che dagli ingegneri.

Area di un triangolo

L'area di una figura geometrica è una stima quantitativa di quanta parte del piano è delimitata dai lati del triangolo. L'area di un triangolo ordinario può essere trovata in cinque modi, utilizzando la formula di Erone o utilizzando variabili come la base, il lato, l'angolo e il raggio del cerchio inscritto o circoscritto. La formula più semplice per calcolare l'area è espressa come:

dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.

La formula per calcolare l'area di un triangolo rettangolo è ancora più semplice:

dove a e b sono le gambe.

Lavorando con il nostro calcolatore online, puoi calcolare l'area di un triangolo utilizzando tre coppie di parametri:

• due gambe;
• gamba e angolo adiacente;
• gamba e angolo opposto.

Nei problemi o nelle situazioni quotidiane ti verranno fornite diverse combinazioni di variabili, quindi questa forma di calcolatrice ti consente di calcolare l'area di un triangolo in diversi modi. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.

Esempi di vita reale

Piastrelle di ceramica

Diciamo che vuoi rivestire le pareti della cucina con piastrelle di ceramica, che hanno la forma di un triangolo rettangolo. Per determinare il consumo di piastrelle è necessario conoscere l'area di un elemento di rivestimento e l'area totale della superficie da trattare. Diciamo che devi elaborare 7 metri quadrati. La lunghezza delle gambe di un elemento è di 19 cm, quindi l'area della piastrella sarà uguale a:

Ciò significa che l'area di un elemento è 24,5 centimetri quadrati o 0,01805 metri quadrati. Conoscendo questi parametri si può calcolare che per rifinire 7 mq di muro occorrono 7/0,01805 = 387 elementi di piastrelle da rivestimento.

Compito scolastico

Diciamo che in un problema di geometria scolastica devi trovare l'area di un triangolo rettangolo, sapendo solo che il lato di una gamba è di 5 cm e l'angolo opposto è di 30 gradi. Il nostro calcolatore online viene fornito con un'illustrazione che mostra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Se il lato a = 5 cm, allora il suo angolo opposto è l'angolo alfa, pari a 30 gradi. Inserisci questi dati nel modulo della calcolatrice e ottieni il risultato:

Pertanto, la calcolatrice non solo calcola l'area di un dato triangolo, ma determina anche la lunghezza della gamba e dell'ipotenusa adiacenti, nonché il valore del secondo angolo.

Conclusione

I triangoli rettangoli si trovano nella nostra vita letteralmente ad ogni angolo. Determinare l'area di tali figure ti sarà utile non solo quando risolvi i compiti scolastici di geometria, ma anche nelle attività quotidiane e professionali.

Formula dell'areaè necessario determinare l'area di una figura, che è una funzione a valori reali definita su una certa classe di figure del piano euclideo e che soddisfa 4 condizioni:

1. Positività: l'area non può essere inferiore a zero;
2. Normalizzazione: un quadrato con unità laterale ha area 1;
3. Congruenza: le figure congruenti hanno la stessa area;
4. Additività: l'area dell'unione di 2 figure senza punti interni comuni è uguale alla somma delle aree di queste figure.

L'area di un triangolo rettangolo può essere trovata in diversi modi. Un angolo retto in qualsiasi figura le aggiunge proprietà e questo può essere utilizzato per risolvere i problemi correttamente e rapidamente.

Triangolo rettangolo

Innanzitutto, discutiamo del triangolo rettangolo stesso, delle sue caratteristiche e proprietà. Un triangolo rettangolo è un triangolo che contiene un angolo.

Un triangolo rettangolo non può essere ottuso, perché altrimenti la somma degli angoli del triangolo supererà i 180 gradi, e questo è impossibile.

In un triangolo rettangolo due delle tre altezze coincidono con i lati: le gambe. Per lo stesso motivo il punto di intersezione delle altezze di un triangolo rettangolo coincide con il vertice ad angolo retto.

Riso. 1. Tutte le altezze di un triangolo rettangolo.

Lo stesso punto sarà il centro del cerchio circoscritto.

Area di un triangolo

L'area di un triangolo si trova solitamente utilizzando la formula standard, come metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.

$$S=(1\over2)*a*h$$

Puoi trovare l'area come metà del prodotto dei lati per il seno dell'angolo compreso tra loro:

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Esistono formule complicate per trovare l'area, ma vengono utilizzate molto raramente.

Area di un triangolo rettangolo

L'area di un triangolo rettangolo si trova utilizzando le stesse formule, ma in alcuni casi queste formule possono essere semplificate.

Ad esempio, puoi sfruttare il fatto che le altezze in un triangolo rettangolo coincidono con le gambe. Quindi la formula standard diventa:

$S=(1\over2)*a*b$, dove a e b sono i cateti di un triangolo rettangolo.

Questa è una delle formule più semplici per calcolare l'area di un triangolo rettangolo. Proviamo a trasformare la seconda formula.

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Se ricordiamo che il seno di un angolo è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa. Nel nostro caso indichiamo la gamba opposta con la lettera f, perché a è una gamba adiacente e un angolo acuto può essere concluso solo tra la gamba e l'ipotenusa. Quindi b è l'ipotenusa.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - va tutto bene la stessa stessa formula.

Riso. 2. Verso la conclusione.

Ciò significa che abbiamo effettuato correttamente la prima conclusione e che un triangolo rettangolo ha solo una formula speciale per trovare l'area. Se non funziona, puoi utilizzare formule generali. Questi sono due modi possibili per calcolare l'area.

Ad esempio, se l'ipotenusa è nota in base alle condizioni del problema, puoi provare a trovare l'altezza che cade sull'ipotenusa e determinare l'area utilizzando la formula generale. Usando lo stesso principio, puoi trovare l'area passante del seno se conosci l'ipotenusa e il cateto.

Riso. 3. Altezza collegata all'ipotenusa.

La cosa principale da ricordare è che qualsiasi problema ha sempre 3 soluzioni e risolverle ciascuna nel modo più conveniente.

Cosa abbiamo imparato?

Abbiamo parlato di triangoli rettangoli e abbiamo ricavato la formula per l'area di un triangolo rettangolo utilizzando i cateti. Abbiamo discusso le formule generali per l'area dei triangoli e abbiamo detto che ciascuna di queste formule funzionerebbe per risolvere un triangolo rettangolo.

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Durante le lezioni di geometria al liceo, ci parlavano tutti dei triangoli. Tuttavia, come parte del curriculum scolastico, riceviamo solo le conoscenze più necessarie e apprendiamo i metodi di calcolo più comuni e standard. Esistono modi insoliti per trovare questa quantità?

Come introduzione, ricordiamo quale triangolo è considerato rettangolo e denotiamo anche il concetto di area.

Un triangolo rettangolo è una figura geometrica chiusa, uno dei cui angoli è uguale a 90 0. I concetti integrali nella definizione sono cateti e ipotenusa. Per gambe si intendono due lati che formano un angolo retto nel punto di connessione. L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto. Un triangolo rettangolo può essere isoscele (i suoi due lati avranno la stessa dimensione), ma non sarà mai equilatero (tutti i lati avranno la stessa lunghezza). Non discuteremo in dettaglio le definizioni di altezza, mediana, vettori e altri termini matematici. Sono facili da trovare nei libri di consultazione.

Area di un triangolo rettangolo. A differenza dei rettangoli, la regola riguarda

non si applica il lavoro delle parti nella determinazione. Se parliamo in termini asciutti, l'area di un triangolo è intesa come la proprietà di questa figura di occupare una parte del piano, espressa da un numero. Abbastanza difficile da capire, sarai d'accordo. Non cerchiamo di approfondire la definizione: non è il nostro obiettivo. Passiamo alla cosa principale: come trovare l'area di un triangolo rettangolo? Non eseguiremo i calcoli da soli, indicheremo solo le formule. Per fare ciò, definiamo la notazione: A, B, C - lati del triangolo, gambe - AB, BC. L'angolo ACB è diritto. S è l'area del triangolo, h n n è l'altezza del triangolo, dove nn è il lato su cui è abbassato.

Metodo 1. Come trovare l'area di un triangolo rettangolo se si conosce la dimensione delle sue gambe

Metodo 2. Trova l'area di un triangolo rettangolo isoscele

Metodo 3. Calcolo dell'area utilizzando un rettangolo

Completiamo il triangolo rettangolo in un quadrato (se il triangolo

isoscele) o rettangolo. Otteniamo un quadrilatero semplice formato da 2 triangoli rettangoli identici. In questo caso, l'area di uno di essi sarà pari alla metà dell'area della figura risultante. S di un rettangolo si calcola dal prodotto dei lati. Indichiamo questo valore M. Il valore dell'area desiderata sarà uguale alla metà M.

Metodo 4. “Pantaloni pitagorici”. Il famoso teorema di Pitagora

Tutti ricordiamo la sua formulazione: “la somma dei quadrati delle gambe...”. Ma non tutti possono

dimmi, cosa c'entrano alcuni "pantaloni"? Il fatto è che Pitagora inizialmente studiò la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo. Avendo identificato gli schemi nel rapporto tra i lati dei quadrati, è stato in grado di ricavare una formula nota a tutti noi. Può essere utilizzato nei casi in cui la dimensione di uno dei lati non è nota.

Metodo 5. Come trovare l'area di un triangolo rettangolo utilizzando la formula di Heron

Questo è anche un metodo di calcolo abbastanza semplice. La formula prevede di esprimere l'area di un triangolo attraverso i valori numerici dei suoi lati. Per i calcoli, è necessario conoscere le dimensioni di tutti i lati del triangolo.

S = (p-AC)*(p-BC), dove p = (AB+BC+AC)*0,5

Oltre a quanto sopra, ci sono molti altri modi per trovare la dimensione di una figura così misteriosa come un triangolo. Tra questi: calcolo con il metodo del cerchio inscritto o circoscritto, calcolo utilizzando le coordinate dei vertici, uso di vettori, valore assoluto, seno, tangente.

Nella geometria elementare, un triangolo rettangolo è una figura composta da tre segmenti collegati in punti, con angoli due dei quali acuti e uno rettilineo (cioè pari a 90°). Triangolo rettangoloè caratterizzato da una serie di proprietà importanti, molte delle quali costituiscono la base della trigonometria (ad esempio, la relazione tra i suoi lati e gli angoli). Fin dalla scuola, sappiamo tutti come calcolare area di un triangolo rettangolo, e nella vita di tutti i giorni incontriamo questa figura geometrica abbastanza spesso, a volte senza nemmeno accorgercene. Trova un'applicazione piuttosto ampia nella tecnologia e quindi ingegneri, designer e architetti spesso devono risolvere questo problema.

Gli architetti devono determinare questo valore quando progettano edifici con frontoni, che sono il completamento delle facciate e hanno forma triangolare delimitato da cornicione e ai lati da falde del tetto. Spesso l'angolo tra le pendenze è dritto e in questi casi il frontone ha la forma di un triangolo rettangolo. È necessario determinarne l'area per il semplice motivo che è necessario conoscere esattamente la quantità di materiale da costruzione necessaria per la sua sistemazione. Va notato che i timpani sono elementi obbligatori degli edifici bassi (case di campagna, cottage, dacie).

Trovare l'area di un triangolo rettangolo

Formula per calcolare l'area di un triangolo rettangolo

UN- gamba

B- gamba

S- area di un triangolo rettangolo

Modulo triangolo rettangolo hanno molti dei dettagli da cui sono realizzati i mobili moderni. Come sapete, per sfruttare al meglio lo spazio di una stanza, tutti gli elementi dell'arredo devono essere collocati al suo interno in modo ottimale. Puoi sfruttare al meglio aree come gli angoli utilizzando tavoli di forma triangolare, i cui piani nella maggior parte dei casi sono triangoli rettangoli con le gambe adiacenti alle pareti. Quando progettano e calcolano questi elementi, i progettisti della produzione di mobili utilizzano la formula in base alla quale trovare l'area di un triangolo rettangolo viene effettuata in base alla lunghezza dei suoi lati. Inoltre, spesso devono sviluppare progetti per tavoli fissati direttamente alle pareti, che includano elementi di supporto, che rappresentano anche triangoli rettangoli.

I costruttori impegnati nell'affrontare i lavori spesso nelle loro attività professionali devono utilizzare piastrelle di ceramica a forma di triangolo rettangolo con gambe della stessa o diversa lunghezza. Devono anche determinare l'area di questi elementi per scoprire il numero richiesto.

Modulo triangolo rettangolo Ha anche uno strumento di misurazione così importante e necessario come un quadrato. Viene utilizzato per costruire e controllare gli angoli retti ed è utilizzato molto ampiamente e da molti: dai normali scolari nelle lezioni di geometria ai progettisti di tecnologie all'avanguardia.