(przetłumaczone z greckiego. okólnik) – płaska krzywa przestępna, którą opisuje punkt na okręgu o promieniu R toczenie się po linii prostej bez poślizgu (krzywa przestępna to krzywa, której nie można opisać równaniem algebraicznym we współrzędnych prostokątnych). Jego równanie parametryczne

X = rt – r grzech t,
y= r – r koszt t

Punkty przecięcia cykloidy z linią prostą, po której toczy się okrąg (okrąg ten nazywany jest kołem tworzącym, a linia prosta, po której się toczy, nazywa się dyrektywą) nazywane są punktami wierzchołkowymi, a najwyższe punkty cykloidy , znajdujące się pośrodku pomiędzy sąsiednimi punktami wierzchołkowymi, nazywane są wierzchołkami cykloidy.

Galileo Galilei jako pierwszy zbadał cykloidę. Długość jednego łuku cykloidalnego określił w 1658 roku angielski architekt i matematyk Christopher Wren, autor projektu i budowniczy kopuły katedry św. Pawła w Londynie. Okazało się, że długość cykloidy jest równa 8 promieniom koła generującego.
Jedna z niezwykłych właściwości cykloidy, od której wzięła się jej nazwa - brachistochrona (od greckich słów „najkrótszy” i „czas”) wiąże się z rozwiązaniem problemu najbardziej stromego zejścia. Pojawiło się pytanie, jaki kształt nadać dobrze wypolerowanemu (aby praktycznie wyeliminować tarcie) rowkowi łączącemu dwa punkty, aby piłka toczyła się z jednego punktu do drugiego w możliwie najkrótszym czasie. Bracia Bernoulli udowodnili, że rów powinien mieć kształt skierowanej w dół cykloidy.

Krzywe związane z cykloidą można otrzymać, biorąc pod uwagę trajektorie punktów nie znajdujących się na okręgu generującym.

Niech chodzi Od 0 jest wewnątrz okręgu. Jeśli zostanie przeprowadzony Od 0 okrąg pomocniczy mający ten sam środek co okrąg tworzący, to wówczas, gdy okrąg tworzący toczy się po linii prostej AB małe kółko będzie się toczyć po linii prostej A´ W`, ale jego toczeniu będzie towarzyszyć przesuwanie i kropka Od 0 opisuje krzywą zwaną skróconą cykloidą.

Podobnie definiuje się wydłużoną cykloidę – jest to trajektoria punktu znajdującego się na przedłużeniu promienia tworzącego okręgu, podczas gdy walcowaniu towarzyszy poślizg w przeciwnym kierunku.

Krzywe cykloidalne wykorzystuje się w wielu obliczeniach technicznych, a ich właściwości wykorzystuje się np. przy konstruowaniu profili zębów kół zębatych, w wahadłach cykloidalnych, w optyce, dlatego badanie tych krzywych jest ważne z praktycznego punktu widzenia. Równie ważne jest, aby badać te krzywe i ich właściwości naukowcy z XVII wieku. rozwinęły techniki, które doprowadziły do ​​powstania rachunku różniczkowego i całkowego, a problem brachistochrony był krokiem w kierunku wynalezienia rachunku wariacyjnego.

Elena Malishevskaya

Pamiętaj o tych pomarańczowych plastikowych ka-ta-fo-you - light-from-ra-zha-te-li, przymocowanych-la-yu-schi-e-sya do szprych ve-lo-si-ped-no- iść ko-le-sa? Przymocuj ka-ta-fot do samego brzegu ko-le-sa i podążaj jego tra-ek-to-ri-ey. Otrzymane krzywe znajdują się na szczycie rodziny cykloidów.

Jednocześnie co-le-so nazywa się pro-z-koła (lub koła) cykl-o-i-dy.

Ale wróćmy do naszego stulecia i przejdźmy na bardziej nowoczesną technologię. Po drodze spadł ka-mu-shek, który utknął w nurcie ko-le-sa. Po obróceniu kilku kółek kołem, dokąd zmierza kamień, gdy wyskoczysz z strumienia? Przeciwko ruchowi motocykla w prawo czy wzdłuż prawej strony?

Jak wiadomo, swobodny ruch ciała jest w drodze wzdłuż ścieżki do tej trajektorii, po której następnie się poruszało. Ka-sa-tel-naya do cykl-o-i-de przebiega zawsze w prawo wzdłuż kierunku ruchu i przechodzi przez górny punkt ku wokół otaczającego obszaru. Zgodnie z prawym kierunkiem ruchu, nasz ka-mu-shek również się porusza.

Pamiętasz, jak w dzieciństwie jeździłeś po kałużach na rowerze bez tylnego błotnika? Mokra smuga na plecach jest potwierdzeniem oczekiwania życia, że ​​właśnie otrzymało re-zul -ta-ta.

Wiek XVII to wiek cyklu. Najlepsi naukowcy badali jego niesamowite właściwości.

Jakiś rodzaj tra-ec-to-ria w krótkim czasie przeniesie ciało poruszające się pod wpływem siły ciężkości z jednego punktu do drugiego? Było to jedno z pierwszych zadań tego na-u-ki, które obecnie nosi nazwę va-ri-a-tsi-on-noe.

Mi-ni-mi-zi-ro-vat (lub max-si-mi-zi-ro-vat) możesz mieć różne rzeczy - długość ścieżki, prędkość, czas. W za-da-che o bra-hi-sto-khron mi-ni-mi-zi-ru-et-sya nadszedł czas (co do cholery-ki-va-et-sya sa-mime na -name: grecki βράχιστος – najmniej, χρόνος – czas).

Pierwsze co przychodzi na myśl to prosta tra-ek-to-ria. Tak, przyjrzymy się także cyklowi powrotów z punktem powrotu na górze podanych punktów. I idąc za Ga-li-leo Ga-li-le-em, - czteropionowy okrąg łączący nasze punkty.

Dlaczego Ga-li-leo Ga-li-lei spojrzała na ćwiartkę koła pionowego i pomyślała, że ​​to było najlepsze w sensie zejście?le time-me-ni tra-ek-to-ria? Wpisał do niego uszkodzone i zauważył, że wraz ze wzrostem liczby linków, czas później malał. Stąd Ga-li-ley naturalnie przeniosła się do kręgu, ale wyciągnęła błędny wniosek, że ta tra-ek -ria jest najlepsza spośród wszystkich możliwych. Jak widzimy, najlepszą tra-ek-to-ri-ey jest cykl-o-i-da.

Przez dwa dane punkty można utworzyć pojedynczy cykl pod warunkiem, że w górnym punkcie znajduje się punkt powrotu cyklu. I nawet gdy cykl znajdzie się pod skurwysynem, aby przejść przez drugi punkt, nadal będzie krzyczeć o najszybszym zjeździe!

Kolejna piękna za-da-cha, związana z cyklem-lo-i-da, - za-da-cha o ta-u-to-chron. W tłumaczeniu z języka greckiego ταύτίς oznacza „ten sam”, χρόνος, jak już wiemy, „czas”.

Zrobimy trzy skocznie jeden na jednego z pro-filem w formie cykli, tak aby końce wzgórz były wyrównane i osiadły na szczycie cyklu. Ustawiliśmy trzy bo-bah dla różnych „jakieś ty” i idziemy dalej. To zaskakujący fakt, że wszyscy pewnego dnia tu przyjdą!

Zimą możesz zbudować na swoim podwórku zjeżdżalnię lodową i obejrzeć tę nieruchomość na żywo.

Bo-tak-cha-o-tym-chrono-jest-w-przeglądaniu-takiej-krzywej, która zaczynając od dowolnego-bo-start-ale przecież czas zejście do danego punktu będzie takie samo.

Christian Huy-gens wie, że jedyną chroniczną rzeczą jest cyklo-i-da.

Oczywiście Guy-gen-sa nie in-t-re-so-val zejścia po zamarzniętych górach. W tamtych czasach naukowcy nie mieli aż tak wielkiego zainteresowania z miłości do sztuki. Bo-tak-że-byliśmy-studiowani,-jest-ho-di-z życia i za-profesjonalistów tamtych czasów. W XVII wieku zakończono już dalekosiężne podróże morskie. Shi-ro-tu sea-rya-ki udało się już określić aż do stu precyzyjnie, jednak zaskakujące jest to, że przez długi czas nie byli w stanie określić -poradzić sobie ze wszystkim. A jedna z metod pre-la-gav-shih z shi-ro-you opierała się na obecności precyzyjnego rowu chro-no-meth

Pierwszą osobą, która pomyślała o stworzeniu ma-yat-no-nowych zegarów, które byłyby dokładne, był Ga-li-leo Ga-li-ley. Jednak w chwili, gdy zaczyna je odtwarzać, jest już stary, niewidomy, a przez pozostały rok Naukowiec nie ma czasu na dokończenie życia. Mówi to swojemu synowi, ale on się waha i zaczyna pierdolić się blisko śmierci i nie ma czasu Usiądź. Następną znaną postacią był Christian Huygens.

Zauważył, że okres ko-le-ba-niya zwykle ma-yat-ni-ka, ras-smat-ri-vav-she-go-sya Ga-li-le-em, za-vis-sit od początek po-lo-zhe-niya, tj. z am-pl-tu-dy. Myśląc o tym jaka powinna być trajektoria ruchu ładunku, aby czas od niej nie zależał -se-lo z am-pl-tu-dy, decyduje for-da-chu o tym-u-to-chron. Ale jak sprawić, by ładunek poruszał się cyklicznie? Tłumaczenie studiów theo-re-ti-che-re na praktycznie-ti-che-plan, Guy-gens de-la-et „policzki”, na których on-ma-you-va-et-sya ve- rev-ka ma-yat-no-ka i decyduje o kilku kolejnych zadaniach ma-te-ma-ti-che -skih. Twierdzi, że „policzki” powinny mieć profil tego samego cyklu, sugerując tym samym, że evo-lyu-that cykl-lo-i-dy jest cyklem-lo-i-da o tej samej para-ra-met-ra -mi.

Ponadto proponowana konstrukcja Guy-gen-soma polegająca na pos-vo-la-et z cyklem-lo-i-odległością, ale bez przejścia - zlicza długość cykli. Jeśli z koła jest niebieski punkt, którego długość jest równa długości, o której mówisz, zegnij nić tak bardzo, jak to możliwe, a jej koniec będzie w punkcie „policzków” i będzie cykliczny -tra-przeprawa ek-to-rii, tj. na szczycie „policzków” typu „cykl i dy”. Ponieważ jest to połowa długości ar-ki cykl-o-i-dy, wówczas pełna długość jest równa ośmiu promieniom promienia-di-u-sam pro-iz-vo-dyada.

Christ-an Huy-gens stworzył cyklo-lo-odległego ma-yat-nika i spędzał z nim godziny pro-ho-di-li-is-py-ta-niya w morzu Pu-te-she-stvi - tak, ale nie przyzwyczaiłem się do tego. Jednak taki sam jak zegarek ze zwykłym ma-yat-nikiem do tych celów.

Dlaczego, sam na sam, między nami a zwykle porośniętym żyłkami ma-jatem-nikim wciąż upływają godziny? Jeśli spojrzysz, to przy małych defektach, takich jak czerwony, „policzki” cykliczne i-daleko-ale-idź ma-yat-n-prawie nie mają wpływu. W związku z tym ruch cykliczny i kołowy z małymi odchyleniami jest prawie identyczny, tak, tak.

LEMNIKAT
Równanie we współrzędnych biegunowych:
r2 = a2cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = za 2 (x 2 - y 2)

Kąt pomiędzy AB" lub A"B a osią x = 45 o

Powierzchnia jednej pętli = a 2/2

CYKLOIDA

Pole jednego łuku = 3πa 2

Długość łuku jednego łuku = 8a

Jest to krzywa opisana przez punkt P leżący na okręgu o promieniu a, który toczy się wzdłuż osi x.

HIPOCYKLOIDY Z CZTERAMI SZPRYCHAMI
Równanie we współrzędnych prostokątnych:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Równania w formie parametrycznej:

Pole ograniczone krzywą = 3πa 2 /8

Długość łuku całej krzywej = 6a

Jest to krzywa opisana przez punkt P leżący na okręgu o promieniu a/4, który toczy się wewnątrz okręgu o promieniu a.

KARDIOIDA
Równanie: r = a(1 + cosθ)

Pole ograniczone krzywą = 3πa 2 /2

Długość łuku krzywej = 8a

Jest to krzywa opisana przez punkt P na okręgu o promieniu a, który toczy się poza okręgiem o promieniu a. Krzywa ta jest również szczególnym przypadkiem ślimaka Pascala.

LINIA ŁAŃCUCHA
Równanie:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Jest to krzywa, wzdłuż której wisiałby łańcuch zawieszony pionowo z punktu A do B.

TRÓJPŁATKOWA RÓŻA
Równanie: r = acos3θ

Równanie r = acos3θ jest podobne do krzywej otrzymanej przez obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wzdłuż krzywej 30 o lub π/6 radianów.

Ogólnie rzecz biorąc, r = acosnθ lub r = asinnθ ma n płatków, jeśli n jest nieparzyste.

CZTEROPŁATKOWA RÓŻA
Równanie: r = acos2θ

Równanie r = asin2θ jest podobne do krzywej otrzymanej przez obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wzdłuż krzywej radianów 45 o lub π/4.

Ogólnie r = acosnθ lub r = asinnθ ma 2n płatków, jeśli n jest parzyste.

EPICYKLOIDA
Równania parametryczne:

Jest to krzywa opisana przez punkt P na okręgu o promieniu b, toczącym się po zewnętrznej stronie okręgu o promieniu a. Kardioida jest szczególnym przypadkiem epicykloidy.

OGÓLNA HIPOCYKLOIDA
Równania parametryczne:

Jest to krzywa opisana przez punkt P na okręgu o promieniu b, toczącym się po zewnętrznej stronie okręgu o promieniu a.

Jeśli b = a/4, krzywa jest hipocykloidą z czterema punktami.

TROCHOIDA
Równania parametryczne:

Jest to krzywa opisana przez punkt P położony w odległości b od środka okręgu o promieniu a toczącego się wzdłuż osi x.
Jeśli b jest skróconą cykloidą.
Jeżeli b > a, krzywa ma kształt pokazany na ryc. 11-11 i nazywa się piechur.
Jeśli b = a, krzywa jest cykloidą.

TRAKTRICE
Równania parametryczne:

Jest to krzywa opisana przez punkt końcowy P rozciągniętej struny o długości PQ, gdy drugi koniec Q przesuwa się wzdłuż osi x.

VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (CZASAMI CURL AGNEZI)
Równanie we współrzędnych prostokątnych: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Równania parametryczne:

B. Na rysunku linia zmienna OA przecina y = 2a i okrąg o promieniu a ze środkiem (0,a) odpowiednio w A i B. Dowolny punkt P na „zawinięciu” wyznacza się poprzez konstruowanie linii równoległych do osi x i y, odpowiednio przez B i A, oraz określenie punktu przecięcia P.

LIŚĆ KESARTESA
Równanie we współrzędnych prostokątnych:
x 3 + y 3 = 3axy

Równania parametryczne:

Obszar pętli 3a 2 /2

Równanie asymptotowe: x + y + a = 0.

KOŁO ZAANGAŻOWANE
Równania parametryczne:

Jest to krzywa opisana przez punkt końcowy P struny odwijanej z okręgu o promieniu a.

ELIPSA ZAANGAŻOWANA
Równanie we współrzędnych prostokątnych:
(ax) 2/3 + (o) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Równania parametryczne:

Ta krzywa jest obwiednią normalną do elipsy x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

OWALE CASSINI
Równanie biegunowe: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4.

Jest to krzywa opisana przez punkt P tak, że iloczyn jego odległości od dwóch stałych punktów [odległość 2a do boku] jest stałą b 2 .

Krzywa jak na rysunkach poniżej, gdy odpowiednio b a.

Jeśli b = a, krzywa jest lemniskat

ŚLIMAK PASKALA
Równanie biegunowe: r = b + acosθ

Niech OQ będzie linią łączącą środek O z dowolnym punktem Q na okręgu o średnicy a przechodzącym przez O. Wtedy krzywa jest ogniskiem wszystkich punktów P takich, że PQ = b.

Krzywa pokazana na rysunkach poniżej, gdy b > a lub b

CISSOIDA DIOKLI
Równanie we współrzędnych prostokątnych: y 2 = x 3 /(2a - x)

Równania parametryczne:

Jest to krzywa opisana przez punkt P taki, że odległość OP = odległość RS. Używane w zadaniu podwojenie sześcianu, tj. znalezienie boku sześcianu o dwukrotnie większej objętości od danego sześcianu

SPIRALA ARCHIMEDESA
Równanie biegunowe: r = aθ

Krzywa lub linia to pojęcie geometryczne, które jest różnie definiowane w różnych sekcjach.

KRZYWA (linia), ślad pozostawiony przez poruszający się punkt lub ciało. Zwykle krzywą przedstawia się jedynie jako gładko zakrzywioną linię, na przykład parabolę lub okrąg. Ale matematyczne pojęcie krzywej obejmuje zarówno linię prostą, jak i figury złożone z prostych odcinków, na przykład trójkąt lub kwadrat.

Krzywe można podzielić na płaskie i przestrzenne. Krzywa płaska, taka jak parabola lub linia prosta, powstaje w wyniku przecięcia dwóch płaszczyzn lub płaszczyzny i bryły i dlatego leży całkowicie w jednej płaszczyźnie. Krzywej przestrzennej, np. spirali w kształcie sprężyny śrubowej, nie można uzyskać jako przecięcia jakiejś powierzchni lub bryły z płaszczyzną i nie leży ona w tej samej płaszczyźnie. Krzywe można również podzielić na zamknięte i otwarte. Zamknięta krzywa, taka jak kwadrat lub okrąg, nie ma końca, tj. ruchomy punkt generujący taką krzywą okresowo powtarza swoją ścieżkę.

Krzywa to miejsce lub zbiór punktów, które spełniają pewien warunek matematyczny lub równanie.

Na przykład okrąg jest zbiorem punktów na płaszczyźnie, które są w równej odległości od danego punktu. Krzywe zdefiniowane za pomocą równań algebraicznych nazywane są krzywymi algebraicznymi.

Na przykład równanie linii prostej y = mx + b, gdzie m jest nachyleniem, a b jest odcinkiem przeciętym na osi y, jest algebraiczne.

Krzywe, których równania zawierają funkcje przestępne, takie jak logarytmy lub funkcje trygonometryczne, nazywane są krzywymi przestępnymi.

Na przykład y = log x i y = tan x są równaniami krzywych przestępnych.

Kształt krzywej algebraicznej można określić na podstawie stopnia jej równania, który pokrywa się z najwyższym stopniem wyrazów równania.

Jeżeli równanie jest pierwszego stopnia, np. Ax + By + C = 0, to krzywa ma kształt linii prostej.

Jeśli równanie drugiego stopnia ma postać np.

Ax 2 + By + C = 0 lub Ax 2 + By 2 + C = 0, wtedy krzywa jest kwadratowa, tj. reprezentuje jedną z sekcji stożkowych; Krzywe te obejmują parabole, hiperbole, elipsy i okręgi.

Wymieńmy ogólne postacie równań przekrojów stożkowych:

x 2 + y 2 = r 2 - okrąg,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - elipsa,

y = topór 2 - parabola,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - hiperbola.

Krzywe odpowiadające równaniom trzeciego, czwartego, piątego, szóstego itd. stopnie nazywane są krzywymi trzeciego, czwartego, piątego, szóstego itd. zamówienie. Ogólnie rzecz biorąc, im wyższy stopień równania, tym więcej zakrętów będzie miała otwarta krzywa.

Wiele skomplikowanych krzywych otrzymało specjalne nazwy.

Cykloida to płaska krzywa opisana przez stały punkt na okręgu toczącym się po linii prostej, zwany generatorem cykloidy; cykloida składa się z szeregu powtarzających się łuków.

Epicykloida to płaska krzywa opisana przez stały punkt na okręgu toczącym się po innym nieruchomym okręgu znajdującym się poza nim.

Hipcykloida to płaska krzywa opisana przez stały punkt na okręgu toczącym się od wewnątrz po nieruchomym okręgu.

Spirala to płaska krzywa, która rozwija się, zakręt po zakręcie, od ustalonego punktu (lub owija się wokół niego).

Matematycy badają właściwości krzywych od czasów starożytnych, a nazwy wielu niezwykłych krzywych są powiązane z imionami tych, którzy jako pierwsi je badali. Są to na przykład spirala Archimedesa, spirala Agnesiego, cissoida Dioklesa, łuskowata Nicomedesa i lemniskata Bernoulliego.

W ramach geometrii elementarnej pojęcie krzywej nie ma jednoznacznego sformułowania i bywa definiowane jako „długość bez szerokości” lub „granica figury”. Zasadniczo w geometrii elementarnej badanie krzywych sprowadza się do rozważania przykładów (, , , itd.). Pozbawiona metod ogólnych, elementarna geometria wnikała dość głęboko w badanie właściwości określonych krzywych (, Niektórei również), stosując w każdym przypadku specjalne techniki.

Najczęściej krzywą definiuje się jako ciągłe odwzorowanie segmentu na:

Jednocześnie krzywe mogą być różne, nawet jeśli sądopasować. Takie krzywe nazywane sąsparametryzowane krzywealbo jeśli[ A , B ] = , sposoby.

Czasem wyznacza się krzywą aż do , czyli do minimalnej relacji równoważności, tak że powstają krzywe parametryczne

są równoważne, jeśli istnieje ciągła (czasami niemalejąca) H z segmentu [ A 1 ,B 1 ] na segment [ A 2 ,B 2], tak że

Te zdefiniowane przez tę zależność nazywane są po prostu krzywymi.

Definicje analityczne

Na kursach geometrii analitycznej udowadnia się, że wśród prostych zapisanych we współrzędnych prostokątnych kartezjańskich (lub nawet ogólnych afinicznych) za pomocą równania ogólnego drugiego stopnia

Topór 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(gdzie przynajmniej jeden ze współczynników A, B, C jest różny od zera) występuje tylko osiem następujących typów linii:

a) elipsa;

b) hiperbola;

c) parabola (niezdegenerowane krzywe drugiego rzędu);

d) para przecinających się linii;

e) para równoległych linii;

f) para zbieżnych linii (jedna linia prosta);

g) jeden punkt (linie zdegenerowane drugiego rzędu);

h) „linia” nie zawierająca żadnych punktów.

I odwrotnie, dowolna linia każdego z ośmiu wskazanych typów jest zapisana we współrzędnych prostokątnych kartezjańskich za pomocą równania drugiego rzędu. (Na kursach geometrii analitycznej zwykle mówi się o dziewięciu (a nie ośmiu) typach przekrojów stożkowych, ponieważ rozróżniają „wyimaginowaną elipsę” od „pary wyimaginowanych linii równoległych” - geometrycznie te „linie” są takie same, ponieważ obie nie zawierają pojedynczego punktu, ale analitycznie są zapisane różnymi równaniami.) Dlatego przekroje stożkowe (zdegenerowane i niezdegenerowane) można również zdefiniować jako linie drugiego rzędu.

Wkrzywa na płaszczyźnie definiuje się jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają równanieF ( X , y ) = 0 . Jednocześnie dla funkcjiF nałożone są ograniczenia, które gwarantują, że to równanie ma nieskończoną liczbę rozbieżnych rozwiązań i

ten zestaw rozwiązań nie wypełnia „kawałka samolotu”.

Krzywe algebraiczne

Ważną klasą krzywych są te, dla których funkcjaF ( X , y ) Jestz dwóch zmiennych. W tym przypadku krzywa określona równaniemF ( X , y ) = 0 , zwany.

Krzywe algebraiczne określone równaniem pierwszego stopnia to .

Równanie stopnia 2, mające nieskończoną liczbę rozwiązań, wyznacza , czyli zdegenerowane i niezdegenerowane.

Przykłady krzywych określonych równaniami III stopnia: , .

Przykłady krzywych IV stopnia: i.

Przykład krzywej 6 stopnia: .

Przykład krzywej określonej równaniem stopnia parzystego: (wieloogniskowa).

Krzywe algebraiczne określone równaniami wyższych stopni są uwzględniane w. Jednocześnie ich teoria staje się bardziej harmonijna, jeśli rozważa się dalej. W tym przypadku krzywą algebraiczną wyznacza się za pomocą równania postaci

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Gdzie F- wielomian trzech zmiennych będących punktami.

Rodzaje krzywizn

Krzywa płaska to krzywa, w której wszystkie punkty leżą w tej samej płaszczyźnie.

(prosta linia lub łuk Jordana, także kontur) - zbiór punktów płaszczyzny lub przestrzeni, które są w korespondencji jeden do jednego i wzajemnie ciągłej z odcinkami linii.

Ścieżka jest segmentem w .

krzywe analityczne, które nie są algebraiczne. Dokładniej, krzywe, które można zdefiniować poprzez linię poziomu funkcji analitycznej (lub, w przypadku wielowymiarowym, układu funkcji).

Sinusoida,

Cykloida,

spirala Archimedesa,

Ciągnik,

linia łańcucha,

Spirala hiperboliczna itp.

1. Metody definiowania krzywych:

analityczne – krzywa jest dana równaniem matematycznym;

graficzny – krzywa jest określona wizualnie na graficznym nośniku informacji;

tabelaryczne – krzywą wyznaczają współrzędne kolejnego ciągu punktów.

parametryczny (najczęstszy sposób określania równania krzywej):

Gdzie - płynne funkcje parametrówT, I

(X") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (warunek regularności).

Często wygodnie jest zastosować niezmienną i zwartą reprezentację równania krzywej za pomocą:

gdzie po lewej stronie znajdują się punkty krzywej, a prawa strona określa jej zależność od jakiegoś parametru T. Rozbudowując ten wpis we współrzędne otrzymujemy wzór (1).

1. Cykloida.

Historia badań cykloidy związana jest z nazwiskami tak wielkich naukowców, filozofów, matematyków i fizyków, jak Arystoteles, Ptolemeusz, Galileusz, Huygens, Torricelli i inni.

Cykloida(zκυκλοειδής - okrągły) - który można zdefiniować jako trajektorię punktu leżącego na granicy okręgu toczącego się bez poślizgu po linii prostej. Ten okrąg nazywa się generowaniem.

Jedną z najstarszych metod kształtowania krzywych jest metoda kinematyczna, w której krzywą uzyskuje się jako trajektorię punktu. Krzywa uzyskana jako trajektoria punktu ustalonego na okręgu, toczącego się bez przesuwania się po linii prostej, wzdłuż okręgu lub innej krzywej, nazywana jest cykloidalną, co w tłumaczeniu z greckiego oznacza kołowy, przypominający okrąg.

Rozważmy najpierw przypadek, gdy okrąg toczy się po linii prostej. Krzywa opisana przez punkt umieszczony na okręgu toczącym się bez poślizgu po linii prostej nazywa się cykloidą.

Niech okrąg o promieniu R toczy się po linii prostej a. C jest punktem ustalonym na okręgu, w początkowym momencie czasu znajdującym się w pozycji A (rys. 1). Narysujmy na linii a odcinek AB równy długości okręgu, tj. AB = 2 π R. Podziel ten odcinek na 8 równych części przez punkty A1, A2, ..., A8 = B.

Wiadomo, że gdy okrąg tocząc się po linii prostej a, dokonuje jednego obrotu, tj. obróci się o 360, wówczas zajmie pozycję (8), a punkt C przesunie się z pozycji A do pozycji B.

Jeśli okrąg wykona połowę pełnego obrotu, tj. obróci się o 180, wówczas zajmie pozycję (4), a punkt C przesunie się do najwyższej pozycji C4.

Jeśli okrąg obróci się o kąt 45, okrąg przesunie się do pozycji (1), a punkt C przesunie się do pozycji C1.

Rysunek 1 pokazuje także inne punkty cykloidy odpowiadające pozostałym kątom obrotu koła, wielokrotnościom 45.

Łącząc skonstruowane punkty gładką krzywą, uzyskujemy odcinek cykloidy odpowiadający jednemu pełnemu obrotowi koła. Przy kolejnych obrotach zostaną uzyskane te same sekcje, tj. Cykloida będzie składać się z okresowo powtarzającej się części zwanej łukiem cykloidy.

Zwróćmy uwagę na położenie stycznej do cykloidy (rys. 2). Jeśli rowerzysta jedzie po mokrej drodze, krople spadające z koła będą lecieć stycznie do cykloidy i w przypadku braku osłon mogą opryskać plecy rowerzysty.

Pierwszą osobą, która zbadała cykloidę, był Galileusz Galilei (1564 – 1642). Wymyślił także jego nazwę.

Właściwości cykloidy:

Cykloid ma wiele niezwykłych właściwości. Wspomnijmy o niektórych z nich.

Właściwość 1. (Góra lodowa.) W 1696 r. I. Bernoulli postawił problem znalezienia krzywej najbardziej stromego zejścia, czyli inaczej mówiąc, jaki powinien mieć kształt zjeżdżalnia lodowa, aby po niej stoczyć się i odbyć podróż z punktu początkowego A do punktu końcowego B w najkrótszym czasie (ryc. 3, a). Pożądaną krzywą nazwano „brachistochroną”, tj. najkrótsza krzywa czasu.

Wiadomo, że najkrótszą drogą z punktu A do punktu B jest odcinek AB. Jednak przy takim ruchu prostoliniowym prędkość narasta powoli, a czas spędzony na opadaniu okazuje się duży (ryc. 3, b).

Im bardziej stromy zjazd, tym szybciej wzrasta prędkość. Jednak przy stromym zjeździe ścieżka na zakręcie wydłuża się, a tym samym wydłuża czas jej pokonania.

Do matematyków, którzy rozwiązali to zadanie, należeli: G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital i J. Bernoulli. Udowodnili, że pożądana krzywa jest odwróconą cykloidą (ryc. 3, a). Metody opracowane przez tych naukowców w rozwiązywaniu problemu brachistochrony położyły podwaliny pod nowy kierunek w matematyce - rachunek wariacyjny.

Własność 2. (Zegar z wahadłem.) Zegar ze zwykłym wahadłem nie może działać dokładnie, ponieważ okres drgań wahadła zależy od jego amplitudy: im większa amplituda, tym większy okres. Holenderski uczony Christiaan Huygens (1629 – 1695) zastanawiał się, jaką krzywizną powinna przebiegać kulka na strunie wahadła, aby okres jej drgań nie zależał od amplitudy. Należy zauważyć, że w zwykłym wahadle krzywa, po której porusza się kulka, jest okręgiem (ryc. 4).

Krzywa, której szukaliśmy, okazała się odwróconą cykloidą. Jeżeli np. zostanie wykonany rów w kształcie odwróconej cykloidy i wzdłuż niego zostanie wystrzelona kula, wówczas okres ruchu kuli pod wpływem grawitacji nie będzie zależał od jej początkowego położenia i amplitudy (ryc. 5). ). Ze względu na tę właściwość cykloida nazywana jest również „tautochroną” - krzywą równych czasów.

Huygens wykonał dwie drewniane deski o krawędziach w kształcie cykloidy, ograniczających ruch nici po lewej i prawej stronie (ryc. 6). W takim przypadku sama kula będzie poruszać się po odwróconej cykloidzie, a zatem okres jej oscylacji nie będzie zależał od amplitudy.

W szczególności z tej właściwości cykloidy wynika, że ​​niezależnie od tego, z którego miejsca na lodowej zjeżdżalni w kształcie odwróconej cykloidy rozpoczniemy zejście, całą drogę do punktu końcowego spędzimy w tym samym czasie.

Równanie cykloidalne

1. Równanie cykloidy wygodnie jest zapisać w postaci α - kąta obrotu okręgu wyrażonego w radianach, przy czym należy pamiętać, że α jest również równe drodze, jaką przebyła okrąg tworzący po linii prostej.

x=rα– R grzech α

y=r – r sałata α

2. Przyjmijmy poziomą oś współrzędnych jako linię prostą, po której toczy się tworzący okrąg o promieniu R.

Cykloidę opisują równania parametryczne

X = rt – R grzech T,

y = R – R sałata T.

Równanie w:

Cykloidę można otrzymać rozwiązując równanie różniczkowe:

Z historii cykloidy

Pierwszy naukowiec, który zwrócił uwagę na cykloidęV, ale poważne badania nad tą krzywą rozpoczęły się dopiero w.

Pierwszą osobą, która zbadała cykloidę, był Galileo Galilei (1564-1642), słynny włoski astronom, fizyk i pedagog. Wymyślił także nazwę „cykloida”, co oznacza „przypominający okrąg”. Sam Galileusz nic nie napisał o cykloidzie, ale o jego pracach w tym kierunku wspominają uczniowie i naśladowcy Galileusza: Viviani, Toricelli i inni. Toricelli, znany fizyk i wynalazca barometru, poświęcił wiele czasu matematyce. W okresie renesansu nie było naukowców o wąskiej specjalizacji. Utalentowany człowiek studiował filozofię, fizykę i matematykę i wszędzie uzyskiwał ciekawe wyniki i dokonywał wielkich odkryć. Nieco później niż Włosi Francuzi zajęli się cykloidą, nazywając ją „ruletką” lub „trochoidą”. W 1634 roku Roberval – wynalazca słynnego systemu miar – obliczył obszar ograniczony łukiem cykloidy i jej podstawą. Zasadnicze badania cykloidy przeprowadził współczesny Galileuszowi. Wśród , czyli krzywych, których równania nie można zapisać w postaci X , y, cykloida jest pierwszą z badanych.

Napisałem o cykloidzie:

Ruletka jest linią tak powszechną, że po linii prostej i okręgu nie ma drugiej częściej spotykanej linii; Tak często jest ona zarysowana na oczach wszystkich, że trzeba się dziwić, że starożytni o tym nie myśleli... bo to nic innego jak droga wytyczona w powietrzu za pomocą gwoździa koła.

Nowa krzywa szybko zyskała popularność i została poddana dogłębnej analizie, która m.in, , Newton,, bracia Bernoulli i inni luminarze nauki XVII-XVIII wieku. Na cykloidzie aktywnie doskonalono metody, które pojawiły się w tych latach. Fakt, że analityczne badanie cykloidy okazało się równie udane, jak analiza krzywych algebraicznych, wywarł ogromne wrażenie i stał się ważnym argumentem na rzecz „równości praw” krzywych algebraicznych i przestępnych. Epicykloida

Niektóre typy cykloidów

Epicykloida - trajektoria punktu A leżącego na okręgu o średnicy D, który toczy się bez poślizgu po okręgu prowadzącym o promieniu R (kontakt zewnętrzny).

Konstrukcję epicykloidy wykonuje się w następującej kolejności:

Od środka 0 narysuj łuk pomocniczy o promieniu 000=R+r;

Z punktów 01, 02, ...012, jak ze środków, narysuj okręgi o promieniu r aż przetną się z łukami pomocniczymi w punktach A1, A2, ... A12, które należą do epicykloidy.

Hipocykloida

Hipocykloida to trajektoria punktu A leżącego na okręgu o średnicy D, który toczy się bez poślizgu po okręgu prowadzącym o promieniu R (styczność wewnętrzna).

Konstrukcję hipocykloidy wykonuje się w następującej kolejności:

Rysujemy okrąg generujący o promieniu r i okrąg kierujący o promieniu R tak, aby stykały się w punkcie A;

Koło generujące dzieli się na 12 równych części, uzyskuje się punkty 1, 2, ... 12;

Od środka 0 narysuj łuk pomocniczy o promieniu 000=R-r;

Kąt środkowy a wyznacza się ze wzoru a =360r/R.

Podziel łuk okręgu prowadzącego, ograniczony kątem a, na 12 równych części, uzyskując punkty 11, 21, ...121;

Od środka 0 rysuje się linie proste przez punkty 11, 21, ...121 aż do przecięcia się z łukiem pomocniczym w punktach 01, 02, ...012;

Od środka 0 rysowane są łuki pomocnicze przez punkty podziału 1, 2, ... 12 koła tworzącego;

Z punktów 01, 02, ...012, jak ze środków, narysuj okręgi o promieniu r aż przetną się z łukami pomocniczymi w punktach A1, A2, ... A12, które należą do hipocykloidy.

1. Kardioidalna.

Kardioidalna ( καρδία - serce, Kardioida jest przypadkiem szczególnym. Termin „kardioida” został wprowadzony przez Castillona w 1741 roku.

Jeśli przyjmiemy okrąg i punkt na nim jako biegun, otrzymamy kardioidę tylko wtedy, gdy narysujemy odcinki równe średnicy okręgu. W przypadku innych rozmiarów zdeponowanych segmentów konchoidy będą wydłużonymi lub skróconymi kardioidami. Te wydłużone i skrócone kardioidy nazywane są inaczej ślimakiem Pascala.

Kardioida ma różne zastosowania w technologii. Kształty kardioidalne służą do wykonywania mimośrodów i krzywek do samochodów. Czasami używa się go podczas rysowania kół zębatych. Ponadto jest stosowany w technologii optycznej.

Właściwości kardioidy

Kardioidalna -B M na poruszającym się okręgu będzie opisywał zamkniętą trajektorię. Ta płaska krzywa nazywana jest kardioidą.

2) Kardioidę można zdobyć w inny sposób. Zaznacz punkt na okręgu O i narysujmy z niego belkę. Jeśli z punktu A przecięcie tego promienia z okręgiem, narysuj odcinek JESTEM, długość równa średnicy koła, a promień obraca się wokół punktu O, a następnie wskaż M będzie poruszać się wzdłuż kardioidy.

3) Kardioidę można również przedstawić jako krzywą styczną do wszystkich okręgów mających środki na danym okręgu i przechodzących przez jego stały punkt. Kiedy skonstruowanych jest kilka okręgów, kardioida wydaje się być zbudowana jakby sama.

4) Istnieje również równie elegancki i nieoczekiwany sposób zobaczenia kardioidy. Na rysunku widać punktowe źródło światła na okręgu. Po pierwszym odbiciu promieni świetlnych od okręgu przemieszczają się one stycznie do kardioidy. Wyobraź sobie teraz, że okrąg to krawędzie filiżanki; w jednym punkcie odbija się jasna żarówka. Do filiżanki nalewa się czarną kawę, dzięki czemu można zobaczyć jasne odbite promienie. W rezultacie kardioida jest podkreślana promieniami światła.

1. Astroida.

Astroida (od greckich słów astron – gwiazda i eidos – widok), płaska krzywa opisana przez punkt na okręgu, który styka się od wewnątrz z nieruchomym okręgiem o czterokrotnym promieniu i toczy się po nim bez poślizgu. Należy do hipocykloidów. Astroida jest krzywą algebraiczną szóstego rzędu.

Astroida.

Długość całej asroidy jest równa sześciu promieniom nieruchomego okręgu, a obszar przez nią ograniczony to trzy ósme nieruchomego okręgu.

Odcinek styczny do asteroidy, zawarty pomiędzy dwoma wzajemnie prostopadłymi promieniami nieruchomego okręgu narysowanego na końcach asteroidy, jest równy promieniowi nieruchomego okręgu, niezależnie od tego, jak wybrany został punkt.

Właściwości asteroidy

Są czterykaspa .

Długość łuku od punktu 0 do obwiedni

rodziny odcinków o stałej długości, których końce leżą na dwóch wzajemnie prostopadłych liniach.

Astroid jest szóstym porządkiem.

Równania astroidy

Równanie we współrzędnych prostokątnych kartezjańskich:| x | 2/3 + | y | 2/3 = R 2/3równanie parametryczne:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Metoda konstrukcji asteroidy

Rysujemy dwie wzajemnie prostopadłe linie proste i rysujemy serię odcinków długościR , których końce leżą na tych liniach. Rysunek przedstawia 12 takich odcinków (wliczając w to odcinki samych prostopadłych do siebie prostych). Im więcej segmentów narysujemy, tym dokładniejszą otrzymamy krzywą. Skonstruujmy teraz otoczkę wszystkich tych odcinków. Ta koperta będzie asteroidą.

1. Wniosek

W pracy podano przykłady problemów z różnymi typami krzywych, zdefiniowanymi różnymi równaniami lub spełniającymi jakiś warunek matematyczny. W szczególności krzywe cykloidalne, sposoby ich definiowania, różne metody konstrukcji, właściwości tych krzywych.

Właściwości krzywych cykloidalnych są bardzo często wykorzystywane w mechanice przekładni, co znacznie zwiększa wytrzymałość części mechanizmów.

Cyclomis (z greckiego khklpeidYut - okrągły) to płaska krzywa transcendentalna. Cykloidę definiuje się kinematycznie jako trajektorię stałego punktu tworzącego okręgu o promieniu r, toczącego się bez poślizgu po linii prostej.

Równania

Przyjmijmy poziomą oś współrzędnych jako linię prostą, po której toczy się tworzący okrąg o promieniu r.

· Cykloida jest opisana równaniami parametrycznymi

Równanie we współrzędnych kartezjańskich:

· Cykloidę można otrzymać jako rozwiązanie równania różniczkowego:

Nieruchomości

• · Cykloida -- funkcja okresowa wzdłuż osi x, z okresem 2рr. Za granice okresu wygodnie jest przyjąć punkty osobliwe (punkty powrotu) postaci t = 2рk, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.
• · Aby narysować styczną do cykloidy w dowolnym punkcie A, wystarczy połączyć ten punkt z górnym punktem tworzącego okręgu. Łącząc A z dolnym punktem tworzącego okręgu, otrzymujemy normalną.
• · Długość łuku cykloidalnego wynosi 8r. Właściwość tę odkrył Christopher Wren (1658).
• · Pole pod każdym łukiem cykloidy jest trzy razy większe niż pole generującego koła. Torricelli twierdzi, że fakt ten odkrył Galileusz.
• · Promień krzywizny pierwszego łuku cykloidy jest równy.

• · „Odwrócona” cykloida to krzywa o najbardziej stromym spadku (brachistochrona). Ponadto ma również właściwość tautochrony: ciało ciężkie umieszczone w dowolnym punkcie łuku cykloidalnego osiąga w tym samym czasie poziom.
• · Okres drgań punktu materialnego ślizgającego się po odwróconej cykloidzie nie zależy od amplitudy, fakt ten Huygens wykorzystał do stworzenia precyzyjnych zegarków mechanicznych.
• · Ewoluta cykloidy jest cykloidą przystającą do pierwotnej, czyli przesuniętą równolegle tak, że wierzchołki zamieniają się w „punkty”.
• · Części maszyn wykonujące jednocześnie jednostajny ruch obrotowy i postępowy opisują krzywe cykloidalne (cykloida, epicykloida, hipocykloida, trochoida, astroida) (por. konstrukcja lemniskaty Bernoulliego).