어떤 함수가 이차함수인가요? 이차 함수의 그래프. 개인정보의 수집 및 이용

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미. 칼리닌

완전한 이론이 구축되고 모든 속성이 입증된 학교 수학의 주요 기능 중 하나는 다음과 같습니다. 이차 함수. 학생들은 이러한 모든 속성을 명확하게 이해하고 알아야 합니다. 동시에 이차 함수에는 이론과 공식을 직접 따르는 매우 간단한 문제부터 가장 복잡한 문제까지 매우 많은 문제가 있습니다. 이 문제를 해결하려면 분석과 모든 속성에 대한 깊은 이해가 필요합니다. 함수.

이차 함수와 관련된 문제를 해결할 때 문제에 대한 대수적 설명과 기하학적 해석(좌표 평면의 함수 그래프 스케치 이미지) 사이의 대응 관계를 갖는 것이 실제로 매우 중요합니다. 이 기능 덕분에 이론적 추론의 정확성과 일관성을 항상 확인할 수 있습니다.

"2차 함수"라는 주제에 대한 몇 가지 문제를 고려하고 자세한 솔루션을 살펴보겠습니다.

작업 1.

포물선 y = 1/3x 2 – 2px + 12p의 꼭지점이 Ox 축 위에 위치하는 숫자 p의 정수 값의 합을 구합니다.

해결책.

포물선의 가지는 위쪽을 향합니다(a = 1/3 > 0). 포물선의 꼭지점이 Ox 축 위에 있기 때문에 포물선은 가로축과 교차하지 않습니다(그림 1). 그래서 기능은

y = 1/3x 2 – 2px + 12p에는 0이 없습니다.

그리고 방정식

1/3x 2 – 2px + 12p = 0에는 뿌리가 없습니다.

이는 마지막 방정식의 판별식이 음수로 판명되면 가능합니다.

계산해보자:

D/4 = p 2 – 1/3 12p = p 2 – 4p;

2시 – 4시< 0;

피(피 – 4)< 0;

p는 간격(0; 4)에 속합니다.

간격 (0; 4)에서 숫자 p의 정수 값의 합: 1 + 2 + 3 = 6.

답변: 6.

문제의 질문에 대답하려면 불평등을 해결하는 것이 가능했습니다.

y in > 0 또는 (4ac – b 2) / 4a > 0.

작업 2.

포물선 y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 꼭지점의 가로 좌표와 세로 좌표가 음수인 숫자 a의 정수 값의 개수를 찾습니다.

해결책.

이차 함수의 형식이 다음과 같은 경우

y = a(x – n) 2 + m이면 좌표가 (m; n)인 점이 포물선의 꼭지점입니다.

우리의 경우

x = 9a; y in = a 2 + 7a + 6.

포물선 꼭지점의 가로좌표와 세로좌표는 모두 음수여야 하므로 부등식 시스템을 만듭니다.

(9a< 0,
(a 2 + 7a + 6< 0;

결과 시스템을 풀어보겠습니다.

(ㅏ< 0,
((a+ 1)(a + 6)< 0;

좌표선의 불평등에 대한 해결책을 설명하고 최종 답변을 제공하겠습니다.

a는 간격(-6; -1)에 속합니다.

a의 정수값: -5; -4; -삼; -2. 그들의 수: 4.

답: 4.

작업 3.

이차 함수에 대한 m의 가장 큰 정수 값을 찾습니다.
y = -2x 2 + 8x + 2m 은 음수 값만 허용합니다.

해결책.

포물선의 가지는 아래쪽을 향합니다(a = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m = 0.

방정식의 계수를 -2로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

x 2 – 4x – m = 0;

D/4 = 2 2 - 1 1 (-m) = 4 + m;

m의 가장 큰 정수 값: -5.

답: -5.

문제의 질문에 대답하기 위해 불평등 y를 해결하는 것이 가능했습니다.< 0 или

(4ac – b 2) / 4a< 0.

작업 4.

선 x = 2가 그래프의 대칭축이라는 것이 알려진 경우 이차 함수 y = ax 2 – (a + 6)x + 9의 가장 작은 값을 찾습니다.

해결책.

1) 직선 x = 2가 이 그래프의 대칭축이므로 x in = 2입니다. 공식을 사용합니다.

x in = -b / 2a, x in = (a + 6) / 2a. 하지만 x in = 2입니다.

방정식을 만들어 봅시다:

(a + 6) / 2a = 2;

그런 다음 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.

y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;

y = 2x 2 – 8x + 9.

2) 포물선의 가지

이 함수의 가장 작은 값은 포물선 꼭지점의 세로좌표와 같습니다. (그림 2), 공식을 사용하여 쉽게 찾을 수 있습니다.

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 2 9 – 8 2) /4 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.

고려 중인 함수의 가장 작은 값은 1입니다.

답: 1.

작업 5.

함수 y = x 2 – 2x + a 및 y = -x 2 + 4x – a의 값 집합이 교차하지 않는 숫자 a의 가장 작은 정수 값을 찾습니다.

해결책.

각 기능에 대한 값 집합을 찾아 보겠습니다.

방법 I

y 1 = x 2 – 2x + a.

공식을 적용해보자

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 1 a – 2 2) /4 1 = (4a – 4) / 4 = 4(a – 1) / 4 = a – 1.

포물선의 가지가 위쪽을 향하고 있으므로

E(y) = .

E(y 2) = (-무한대; 4 – a].

결과 집합을 좌표선으로 표현해 보겠습니다. (그림 3).

좌표가 4 – a인 점이 좌표 a – 1을 가진 점의 왼쪽에 위치하면 결과 세트는 교차하지 않습니다.

4 – 에이< a – 1;

a의 가장 작은 정수 값: 3.

답: 3.

이차 함수의 근 위치에 관한 문제, 매개변수 관련 문제, 이차 함수로 축소되는 문제는 통합 상태 시험에서 매우 인기가 있습니다. 그러므로 시험을 준비할 때에는 세심한 주의를 기울여 시험을 준비해야 합니다.

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학교 수학 수업에서 여러분은 이미 함수의 가장 간단한 속성과 그래프에 대해 알게 되었습니다. 와이 = x 2. 지식을 넓혀보자 이차 함수.

연습 1.

함수 그래프 와이 = x 2. 척도: 1 = 2cm Oy 축에 점을 표시합니다. 에프(0; 1/4). 나침반이나 종이 조각을 사용하여 지점으로부터의 거리를 측정합니다. 에프어느 시점에는 중포물선. 그런 다음 스트립을 M 지점에 고정하고 수직이 될 때까지 해당 지점을 중심으로 회전합니다. 스트립의 끝은 x축보다 약간 아래로 떨어집니다. (그림 1). x축을 넘어 얼마나 멀리 확장되는지 스트립에 표시합니다. 이제 포물선의 다른 점을 선택하고 측정을 다시 반복하십시오. 스트립의 가장자리가 x축 아래로 얼마나 떨어져 있습니까?

결과:포물선 y = x 2의 어떤 점을 선택하더라도 이 점에서 점 F(0; 1/4)까지의 거리는 같은 점에서 가로축까지의 거리보다 항상 같은 숫자만큼 큽니다. 1/4.

다르게 말할 수 있습니다. 포물선의 한 점에서 점 (0; 1/4)까지의 거리는 포물선의 같은 점에서 직선 y = -1/4까지의 거리와 같습니다. 이 멋진 점 F(0; 1/4)은 다음과 같습니다. 집중하다포물선 y = x 2, 직선 y = -1/4 – 여자 교장이 포물선. 모든 포물선에는 준선과 초점이 ​​있습니다.

포물선의 흥미로운 특성:

1. 포물선의 모든 점은 포물선의 초점이라고 하는 어떤 점과 그 준선이라고 하는 일부 직선으로부터 등거리에 있습니다.

2. 대칭축을 중심으로 포물선을 회전하면(예: Oy 축을 중심으로 포물선 y = x 2) 회전 포물면이라는 매우 흥미로운 표면을 얻게 됩니다.

회전하는 용기의 액체 표면은 회전 포물면 모양을 갖습니다. 불완전한 차 한잔에 숟가락으로 세게 저은 다음 숟가락을 꺼내면 이러한 표면을 볼 수 있습니다.

3. 수평선에 대해 특정 각도로 빈 공간에 돌을 던지면 포물선 모양으로 날아갑니다. (그림 2).

4. 원뿔의 표면을 생성선 중 하나와 평행한 평면과 교차하면 단면은 포물선이 됩니다. (그림 3).

5. 놀이공원에는 때때로 Paraboloid of Wonders라는 재미있는 놀이기구가 있습니다. 회전하는 포물면 안에 서있는 모든 사람들은 그가 바닥에 서 있고 나머지 사람들은 어떻게 든 기적적으로 벽을 붙잡고있는 것처럼 보입니다.

6. 반사 망원경에는 포물선 거울도 사용됩니다. 평행 광선으로 들어오는 먼 별의 빛이 망원경 거울에 떨어지면 초점이 맞춰집니다.

7. 스포트라이트에는 일반적으로 포물면 모양의 거울이 있습니다. 포물면의 초점에 광원을 놓으면 포물선 거울에서 반사된 광선이 평행한 광선을 형성합니다.

2차 함수 그래프 그리기

수학 수업에서 함수 y = x 2의 그래프에서 다음 형식의 함수 그래프를 얻는 방법을 배웠습니다.

1) y = 도끼 2– |a|에서 Oy 축을 따라 그래프 y = x 2를 늘립니다. 번 (|a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, 쌀. 4).

2) y = x 2 + n– Oy 축을 따라 n 단위만큼 그래프를 이동하고 n > 0이면 이동이 위쪽으로 이동하고 n이면< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– Ox 축을 따라 m 단위로 그래프 이동: m인 경우< 0, то вправо, а если m >0, 그 다음 왼쪽, (그림 5).

4) y = -x 2– 그래프의 Ox 축을 기준으로 대칭 표시 y = x 2.

함수 그래프를 그리는 방법을 자세히 살펴보겠습니다. y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c 형식의 이차 함수는 항상 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

y = a(x – m) 2 + n, 여기서 m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

그것을 증명해 봅시다.

정말,

y = 도끼 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

새로운 표기법을 소개하겠습니다.

허락하다 m = -b/(2a), ㅏ n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

그러면 y = a(x – m) 2 + n 또는 y – n = a(x – m) 2가 됩니다.

좀 더 치환을 해보자: y – n = Y, x – m = X (*).

그런 다음 그래프가 포물선인 함수 Y = aX 2를 얻습니다.

포물선의 꼭지점은 원점에 있습니다. X = 0; Y = 0.

꼭지점 좌표를 (*)로 대체하면 그래프의 꼭지점 좌표 y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n을 얻습니다.

따라서, 다음과 같이 표현되는 이차 함수를 플롯하기 위해

y = a(x – m) 2 + n

변환을 통해 다음과 같이 진행할 수 있습니다.

ㅏ)함수 y = x 2 를 플롯합니다.

비) Ox 축을 따라 m 단위로, Oy 축을 따라 n 단위로 평행 이동 - 포물선의 꼭지점을 원점에서 좌표(m; n)가 있는 점으로 전송합니다. (그림 6).

녹음 변환:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

예.

변환을 사용하여 데카르트 좌표계에서 함수 y = 2(x – 3) 2의 그래프를 구성합니다. – 2.

해결책.

변환 체인:

와이 = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

플롯은 다음과 같습니다. 쌀. 7.

스스로 이차 함수 그래프를 그리는 연습을 할 수 있습니다. 예를 들어, 변환을 사용하여 하나의 좌표계에서 함수 y = 2(x + 3) 2 + 2의 그래프를 작성합니다. 질문이 있거나 교사로부터 조언을 받고 싶다면 다음을 수행할 수 있습니다. 온라인 튜터와의 무료 25분 수업등록 후 . 교사와 추가 작업을 위해 귀하에게 적합한 요금제를 선택할 수 있습니다.

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y =a*x^2+b*x+c 형식의 함수(여기서 a,b,c는 실수이고 a는 0이 아니며 x,y는 변수임)를 2차 함수라고 합니다. 이차함수 y =a*x^2+b*x+c의 그래프는 수학에서 선이라고 불리는 선입니다. 포물선. 포물선의 일반적인 모습아래 그림에 나와 있습니다.

함수의 계수 a>0이 있으면 포물선은 가지가 위쪽으로 향하고 이차 함수의 그래프가 대칭축을 기준으로 대칭이라는 점은 주목할 가치가 있습니다. 포물선의 대칭축은 Oy 축에 평행한 점 x=(-b)/(2*a)를 통해 그려진 직선입니다.

포물선 꼭지점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

아래 그림은 임의의 2차 함수의 그래프를 보여줍니다. 이차 함수의 그래프 그리기. 포물선의 꼭지점과 대칭축도 그림에 표시되어 있습니다.

계수 a의 값에 따라 포물선의 상단은 이차 함수의 최소값 또는 최대값이 됩니다. a>0일 때 정점은 2차 함수의 최소값이며 최대값은 없습니다. a일 때 대칭축은 포물선의 꼭지점을 통과합니다. 이차 함수의 정의 영역은 실수 R의 전체 집합입니다.

2차 함수 y =a*x^2+b*x+c는 항상 y=a*(x+k)^2+p 형식으로 변환될 수 있습니다. 여기서 k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). 이렇게 하려면 완전한 사각형을 선택해야 합니다.

좌표(-k;p)가 있는 점은 포물선의 꼭지점이 됩니다. 2차 함수 y=a*(x+k)^2+p의 그래프는 병렬 변환을 사용하여 함수 y=a*x^2의 그래프에서 얻을 수 있습니다.

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