Какая функция квадратичная. График квадратичной функции. Сбор и использование персональной информации

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Если Вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет Вам потом огромную помощь во всей вашей работе

М.И. Калинин

Одной из главных функций школьной математики, для которой построена полная теория и доказаны все свойства, является квадратичная функция . Учащихся должны четко понимать и знать все эти свойства. При этом задач на квадратичную функцию существует великое множество – от очень простых, которые вытекают непосредственно из теории и формул, до самых сложных, решение которых требует анализа и глубокого понимания всех свойств функции.

При решении задач на квадратичную функцию большое практическое значение имеет наличие соответствия между алгебраическим описание задачи и ее геометрической интерпретацией – изображением на координатной плоскости эскиза графика функции. Именно благодаря этой особенности у вас всегда есть возможность проверить правильность и непротиворечивость своих теоретических рассуждений.

Рассмотрим несколько задач по теме «Квадратичная функция» и остановимся на подробном их решении.

Задача 1.

Найти сумму целых значений числа p, при которых вершина параболы y = 1/3x 2 – 2px + 12p расположена выше оси Ox.

Решение.

Ветви параболы направлены вверх (a = 1/3 > 0). Так как вершина параболы лежит выше оси Ox, то парабола не пересекает ось абсцисс (рис. 1). Значит, функция

y = 1/3x 2 – 2px + 12p не имеет нулей,

а уравнение

1/3x 2 – 2px + 12p = 0 не имеет корней.

Это возможно, если дискриминант последнего уравнения окажется отрицательным.

Вычислим его:

D/4 = p 2 – 1/3·12p = p 2 – 4p;

p 2 – 4p < 0;

p(p – 4) < 0;

p принадлежит интервалу (0; 4).

Сумма целых значений числа p из промежутка (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Заметим, что для ответа на вопрос задачи можно было решить неравенство

y в > 0 или (4ac – b 2) / 4a > 0.

Задача 2.

Найти количество целых значений числа a, при которых абсцисса и ордината вершины параболы y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 отрицательны.

Решение.

Если квадратичная функция имеет вид

y = a(x – n) 2 + m, то точка с координатами (m; n) является вершиной параболы.

В нашем случае

х в = 9a; y в = a 2 + 7a + 6.

Так как и абсцисса, и ордината вершины параболы должны быть отрицательны, то составим систему неравенств:

{9a < 0,
{a 2 + 7a + 6 < 0;

Решим полученную систему:

{a < 0,
{(a+ 1)(a + 6) < 0;

Изобразим решение неравенств на координатных прямых и дадим окончательный ответ:

a принадлежит промежутку (-6; -1).

Целые значения числа a: -5; -4; -3; -2. Их количество: 4.

Ответ: 4.

Задача 3.

Найти наибольшее целое значение числа m, при котором квадратичная функция
y = -2x 2 + 8x + 2m принимает только отрицательные значения.

Решение.

Ветви параболы направлены вниз (a = -2 < 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m = 0.

Разделим коэффициенты уравнения на -2, получим:

x 2 – 4x – m = 0;

D/4 = 2 2 – 1 · 1 · (-m) = 4 + m;

Наибольшее целое значение числа m: -5.

Ответ: -5.

Для ответа на вопрос задачи можно было решить неравенство y в < 0 или

(4ac – b 2) / 4a < 0.

Задача 4.

Найти наименьшее значение квадратичной функции y = ax 2 – (a + 6)x + 9, если известно, что прямая x = 2 является осью симметрии ее графика.

Решение.

1) Так как прямая x = 2 является осью симметрии данного графика, то x в = 2. Воспользуемся формулой

x в = -b / 2a, тогда x в = (a + 6) / 2a. Но x в = 2.

Составим уравнение:

(a + 6) / 2a = 2;

Тогда функция принимает вид

y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;

y = 2x 2 – 8x + 9.

2) Ветви параболы

Наименьшее значение данной функции равно ординате вершины параболы (рис. 2) , которую легко найти, воспользовавшись формулой

y в = (4ac – b 2) / 4a.

y в = (4 · 2 · 9 – 8 2) /4 · 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.

Наименьшее значение рассматриваемой функции равно 1.

Ответ: 1.

Задача 5.

Найти наименьшее целое значение числа a, при котором множества значений функции y = x 2 – 2x + a и y = -x 2 + 4x – a не пересекаются.

Решение.

Найдем множество значений каждой функции.

I способ.

y 1 = x 2 – 2x + a.

Применим формулу

y в = (4ac – b 2) / 4a.

y в = (4 · 1 · a – 2 2) /4 · 1 = (4a – 4) / 4 = 4(a – 1) / 4 = a – 1.

Так как ветви параболы направлены вверх, то

E(y) = .

E(y 2) = (-∞; 4 – a].

Изобразим полученные множества на координатных прямых (рис. 3) .

Полученные множества не будут пересекаться, если точка с координатой 4 – a будет располагаться левее точки с координатой a – 1, т.е.

4 – a < a – 1;

Наименьшее целое значение числа a: 3.

Ответ: 3.

Задачи на расположение корней квадратичной функции, задачи с параметрами и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на ЕГЭ. Поэтому при подготовке к экзаменам стоит обратить на них пристальное внимание.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На уроках математики в школе Вы уже познакомились с простейшими свойствами и графиком функции y = x 2 . Давайте расширим знания по квадратичной функции .

Задание 1.

Построить график функции y = x 2 . Масштаб: 1 = 2 см. Отметьте на оси Oy точку F (0; 1/4). Циркулем или полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс (рис. 1) . Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат: какую бы точку на параболе y = x 2 вы не взяли, расстояние от этой точки до точки F(0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/4. Эта замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы y = x 2 , а прямая y = -1/4 – директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у каждой параболы.

Интересные свойства параболы:

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг оси симметрии (например, параболу y = x 2 вокруг оси Oy), то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе (рис. 2).

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола (рис. 3) .

5. В парках развлечений иногда устраивают забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому, из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держаться на стенках.

6. В зеркальных телескопах также применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокус.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Построение графика квадратичной функции

На уроках математики вы изучали получение из графика функции y = x 2 графиков функций вида:

1) y = ax 2 – растяжение графика y = x 2 вдоль оси Oy в |a| раз (при |a| < 0 – это сжатие в 1/|a| раз, рис. 4 ).

2) y = x 2 + n – сдвиг графика на n единиц вдоль оси Oy, причем, если n > 0, то сдвиг вверх, а если n < 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2 – сдвиг графика на m единиц вдоль оси Ox: если m < 0, то вправо, а если m > 0, то влево, (рис. 5) .

4) y = -x 2 – симметричное отображение относительно оси Ox графика y = x 2 .

Подробнее остановимся на построении графика функции y = a(x – m) 2 + n .

Квадратичную функцию вида y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к виду

y = a(x – m) 2 + n, где m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Докажем это.

Действительно,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Введем новые обозначения.

Пусть m = -b/(2a) , а n = -(b 2 – 4ac)/(4a) ,

тогда получим y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2 .

Сделаем еще замены: пусть y – n = Y, x – m = X (*).

Тогда получим функцию Y = aX 2 , графиком которой является парабола.

Вершина параболы находится в начале координат. X = 0; Y = 0.

Подставив координаты вершины в (*), получаем координаты вершины графика y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Таким образом, для того, чтобы построить график квадратичной функции, представленной в виде

y = a(x – m) 2 + n

путем преобразований, можно действовать следующим образом:

a) построить график функции y = x 2 ;

б) путем параллельного переноса вдоль оси Ox на m единиц и вдоль оси Oy на n единиц – вершину параболы из начала координат перевести в точку с координатами (m; n) (рис. 6) .

Запись преобразований:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощью преобразований построить в декартовой системе координат график функции y = 2(x – 3) 2 – 2.

Решение.

Цепочка преобразований:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Построение графика изображено на рис. 7 .

Вы можете практиковаться в построении графиков квадратичной функции самостоятельно. Например, постройте в одной системе координат с помощью преобразований график функции y = 2(x + 3) 2 + 2. Если у вас возникнут вопросы или же вы захотите получить консультацию учителя, то у вас есть возможность провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после регистрации . Для дальнейшей работы с преподавателем вы сможете выбрать подходящий вам тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Функция вида y =a*x^2+b*x+c, где a,b,c - некоторые вещественные числа, причем а отлично от нуля, а x,y - переменные, называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции y =a*x^2+b*x+c является линия, называемая в математике параболой . Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Стоит отметить, что если у функции коэффициент а>0, то парабола направлена ветвями вверх, а если аГрафик квадратичной функции симметричен относительно оси симметрии. Осью симметрии параболы служит прямая проведенная через точку x=(-b)/(2*a), параллельно оси Оу.

Координатами вершины параболы определяются по следующим формулам:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

На рисунке ниже представлен график произвольной квадратичной функции. Построение графика квадратичной функции . Также на рисунке отмечены вершина параболы и ось симметрии.

В зависимости от значения коэффициента а, вершина параболы будет являться минимальным или максимальным значением квадратичной функции. При a>0, вершина является минимальным значение квадратичной функции, при этом максимального значения не существует. При аОсь симметрии проходит через вершину параболы. Областью определения квадратичной функции является все множество вещественных чисел R.

Квадратичную функцию y =a*x^2+b*x+c всегда можно преобразовать к виду y=a*(x+k)^2+p, где k=b/(2*a), p=(4*a*c-b^2)/(4*a). Для этого необходимо выделить полный квадрат.

Обратите внимание, что точка с координатами (-k;p) будет являться вершиной параболы. График квадратичной функции y=a*(x+k)^2+p можно получить из графика функции y=a*x^2 с помощью параллельного переноса.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: