Milline funktsioon on ruutfunktsioon? Ruutfunktsiooni graafik. Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Kui tahad suures elus osaleda, siis täitke oma pea matemaatikaga, kuni teil selleks võimalus on. Seejärel pakub ta teile kogu teie töös suurepärast abi.

M.I. Kalinin

Koolimatemaatika üks põhifunktsioone, mille jaoks on üles ehitatud terviklik teooria ja kõik omadused on tõestatud, on ruutfunktsioon. Õpilased peavad kõiki neid omadusi selgelt mõistma ja teadma. Samas on ruutfunktsiooniga seotud väga palju probleeme – alates väga lihtsatest, mis tulenevad otseselt teooriast ja valemistest kuni kõige keerukamateni, mille lahendamine nõuab analüüsi ja kõigi funktsiooni omaduste sügavat mõistmist. funktsiooni.

Ruutfunktsiooni hõlmavate ülesannete lahendamisel on suur praktiline tähtsus ülesande algebralise kirjelduse ja selle geomeetrilise tõlgenduse – funktsiooni graafiku visandi kujutise koordinaattasandil – vahel. Just tänu sellele funktsioonile on teil alati võimalus kontrollida oma teoreetilise mõttekäigu õigsust ja järjepidevust.

Vaatleme mitut probleemi teemal “Kvadraatfunktsioon” ja peatume nende üksikasjalikel lahendustel.

Ülesanne 1.

Leidke selle arvu p täisarvude summa, mille parabooli tipp y = 1/3x 2 – 2px + 12p asub Ox-telje kohal.

Lahendus.

Parabooli oksad on suunatud ülespoole (a = 1/3 > 0). Kuna parabooli tipp asub Ox-telje kohal, ei ristu parabool abstsissteljega (joonis 1). Seega funktsioon

y = 1/3x2 – 2px + 12p nullid puuduvad,

ja võrrand

1/3x 2 – 2px + 12p = 0 juured puuduvad.

See on võimalik, kui viimase võrrandi diskriminant osutub negatiivseks.

Arvutame selle välja:

D/4 = p 2 – 1/3 12p = p 2 – 4p;

p 2 – 4p< 0;

p (p–4)< 0;

p kuulub intervalli (0; 4).

Arvu p täisarvude väärtuste summa vahemikust (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.

Vastus: 6.

Pange tähele, et ülesande küsimusele vastamiseks oli võimalik lahendada ebavõrdsus

y > 0 või (4ac – b 2) / 4a > 0.

2. ülesanne.

Leidke arvu a täisarvude arv, mille puhul parabooli y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 tipu abstsiss ja ordinaat on negatiivsed.

Lahendus.

Kui ruutfunktsioonil on vorm

y = a(x – n) 2 + m, siis koordinaatidega punkt (m; n) on parabooli tipp.

Meie puhul

x in = 9a; y in = a 2 + 7a + 6.

Kuna nii parabooli tipu abstsiss kui ka ordinaat peavad olema negatiivsed, siis loome võrratuste süsteemi:

(9a< 0,
(a 2 + 7a + 6< 0;

Lahendame saadud süsteemi:

(a< 0,
((a+1)(a+6)< 0;

Kujutame ebavõrdsuse lahendust koordinaatsirgetel ja anname lõpliku vastuse:

a kuulub intervalli (-6; -1).

a täisarvud: -5; -4; -3; -2. Nende arv: 4.

Vastus: 4.

3. ülesanne.

Leia m suurim täisarv, mille jaoks ruutfunktsioon on
y = -2x 2 + 8x + 2m aktsepteerib ainult negatiivseid väärtusi.

Lahendus.

Parabooli oksad on suunatud allapoole (a = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m = 0.

Jagage võrrandi koefitsiendid -2-ga, saame:

x 2 – 4x – m = 0;

D/4 = 2 2 – 1 1 (-m) = 4 + m;

M suurim täisarv: -5.

Vastus: -5.

Ülesande küsimusele vastamiseks oli võimalik lahendada ebavõrdsus y in< 0 или

(4ac – b 2) / 4a< 0.

4. ülesanne.

Leia ruutfunktsiooni y = ax 2 – (a + 6)x + 9 väikseim väärtus, kui on teada, et sirge x = 2 on tema graafiku sümmeetriatelg.

Lahendus.

1) Kuna sirge x = 2 on selle graafiku sümmeetriatelg, siis x = 2. Kasutame valemit

x in = -b / 2a, siis x in = (a + 6) / 2a. Kuid x = 2.

Teeme võrrandi:

(a + 6) / 2a = 2;

Seejärel võtab funktsioon kuju

y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;

y = 2x 2 – 8x + 9.

2) Parabooli harud

Selle funktsiooni väikseim väärtus on võrdne parabooli tipu ordinaadiga (Joonis 2), mida on valemi abil lihtne leida

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 2 9 – 8 2) / 4 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.

Vaadeldava funktsiooni väikseim väärtus on 1.

Vastus: 1.

5. ülesanne.

Leidke arvu a väikseim täisarv, mille puhul funktsiooni y = x 2 – 2x + a ja y = -x 2 + 4x – a väärtuste hulgad ei ristu.

Lahendus.

Leiame iga funktsiooni väärtuste komplekti.

Meetod I

y 1 = x 2 – 2x + a.

Rakendame valemit

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 1 a – 2 2) /4 1 = (4a – 4) / 4 = 4 (a – 1) / 4 = a – 1.

Kuna parabooli oksad on suunatud ülespoole, siis

E(y) = .

E(y 2) = (-∞; 4 – a].

Esitame saadud hulgad koordinaatjoontel (Joonis 3).

Saadud hulgad ei ristu, kui punkt koordinaadiga 4 – a asub punktist koordinaadiga a – 1 vasakul, s.o.

4 – a< a – 1;

Väikseim täisarv a: 3.

Vastus: 3.

Ühtse riigieksami puhul on väga populaarsed probleemid ruutfunktsiooni juurte asukohaga, probleemid parameetritega ja probleemid, mis taanduvad ruutfunktsioonideks. Seetõttu tuleks eksamiteks valmistudes neile suurt tähelepanu pöörata.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas ruutfunktsiooni joonistada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.

veebisaidil, kui kopeerite materjali täielikult või osaliselt, on vaja linki algallikale.

Koolis matemaatikatundides oled juba tutvunud funktsiooni lihtsamate omaduste ja graafikuga y = x 2. Laiendame oma teadmisi ruutfunktsioon.

1. harjutus.

Joonistage funktsiooni graafik y = x 2. Mõõtkava: 1 = 2 cm Märkige Oy teljel punkt F(0; 1/4). Mõõtke kompassi või pabeririba abil kaugus punktist F mingil hetkel M paraboolid. Seejärel kinnitage riba punktis M ja pöörake seda selle punkti ümber, kuni see on vertikaalne. Riba ots langeb veidi allapoole x-telge (Joonis 1). Märkige ribale, kui kaugele see ulatub x-teljelt. Nüüd võtke paraboolil veel üks punkt ja korrake mõõtmist uuesti. Kui kaugele on riba serv langenud allapoole x-telge?

Tulemus: olenemata sellest, millise punkti paraboolil y = x 2 te võtate, on kaugus sellest punktist punktini F(0; 1/4) suurem kui kaugus samast punktist abstsissteljeni alati sama arvu võrra - 1/4.

Võime öelda erinevalt: kaugus parabooli mis tahes punktist punktini (0; 1/4) on võrdne kaugusega parabooli samast punktist sirgeni y = -1/4. Seda imelist punkti F(0; 1/4) nimetatakse keskenduda paraboolid y = x 2 ja sirge y = -1/4 – koolijuhataja see parabool. Igal paraboolil on suund ja fookus.

Parabooli huvitavad omadused:

1. Parabooli mis tahes punkt on võrdsel kaugusel mingist punktist, mida nimetatakse parabooli fookuseks, ja mõnest sirgjoonest, mida nimetatakse selle suunaks.

2. Kui pöörate parabooli ümber sümmeetriatelje (näiteks parabool y = x 2 ümber Oy telje), saate väga huvitava pinna, mida nimetatakse pöörde parabooliks.

Pöörlevas anumas oleva vedeliku pind on pöördeparaboloidi kujuga. Seda pinda näete, kui segate lusikaga intensiivselt mittetäielikus teeklaasis ja eemaldate seejärel lusika.

3. Kui viskad kivi horisondi suhtes teatud nurga all tühjasse, lendab see paraboolina (Joonis 2).

4. Kui lõikate koonuse pinda tasandiga, mis on paralleelne selle mõne generatriksiga, siis ristlõike tulemuseks on parabool (Joonis 3).

5. Lõbustusparkides korraldatakse vahel lõbusõite nimega Paraboloid of Wonders. Kõigile pöörleva paraboloidi sees seisjatele tundub, et ta seisab põrandal ja ülejäänud inimesed hoiavad kuidagi imekombel seintest kinni.

6. Peegeldavates teleskoopides kasutatakse ka paraboolpeegleid: teleskoobi peeglile langev kauge tähe valgus, mis tuleb paralleelkiirega, kogutakse fookusesse.

7. Kohtvalgustitel on tavaliselt paraboloidi kujuline peegel. Kui asetate valgusallika paraboloidi fookusesse, moodustavad paraboolpeeglist peegelduvad kiired paralleelse kiire.

Ruutfunktsiooni graafik

Matemaatikatundides õppisite, kuidas saada funktsiooni y = x 2 graafikust kujuga funktsioonide graafikud:

1) y = ax 2– graafiku y = x 2 venitamine piki Oy telge punktis |a| korda (koos |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riis. 4).

2) y = x 2 + n– graafiku nihe n ühiku võrra mööda Oy telge ja kui n > 0, siis on nihe ülespoole ja kui n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– graafiku nihe m ühiku võrra piki Ox-telge: kui m< 0, то вправо, а если m >0, siis vasakule, (Joonis 5).

4) y = -x 2– sümmeetriline kuva graafiku Ox-telje suhtes y = x 2 .

Vaatame funktsiooni joonistamist lähemalt y = a(x – m) 2 + n.

Ruutfunktsiooni kujul y = ax 2 + bx + c saab alati taandada kujule

y = a(x – m) 2 + n, kus m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Tõestame seda.

Tõesti,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Tutvustame uusi tähistusi.

Lase m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

siis saame y = a(x – m) 2 + n või y – n = a(x – m) 2.

Teeme veel mõned asendused: olgu y – n = Y, x – m = X (*).

Siis saame funktsiooni Y = aX 2, mille graafik on parabool.

Parabooli tipp asub algpunktis. X = 0; Y = 0.

Asendades tipu koordinaadid arvuga (*), saame graafiku tipu koordinaadid y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Seega selleks, et joonistada ruutfunktsioon, mis on esitatud kujul

y = a(x – m) 2 + n

teisenduste kaudu saate toimida järgmiselt:

a) joonistage funktsioon y = x 2 ;

b) paralleeltranslatsiooni teel piki Ox-telge m ühiku võrra ja piki Oy telge n ühiku võrra - viige parabooli tipp lähtepunktist koordinaatidega punkti (m; n) (Joonis 6).

Teisenduste salvestamine:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Näide.

Koostage teisenduste abil funktsiooni y = 2(x – 3) 2 graafik Descartes'i koordinaatsüsteemis – 2.

Lahendus.

Teisenduste ahel:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Joonistus on näidatud riis. 7.

Ruutfunktsioonide graafikuid saate ise harjutada. Näiteks koostage teisenduste abil ühes koordinaatsüsteemis graafik funktsioonist y = 2(x + 3) 2 + 2 Kui teil on küsimusi või soovite saada nõu õpetajalt, siis on teil võimalus läbi viia tasuta 25-minutiline õppetund online juhendajaga peale registreerimist. Edasiseks koostööks õpetajaga saate valida endale sobiva tariifiplaani.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas ruutfunktsiooni joonistada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, kui kopeerite materjali täielikult või osaliselt, on vaja linki algallikale.

Funktsiooni kujul y =a*x^2+b*x+c, kus a,b,c on mõned reaalarvud ja a on nullist erinev ja x,y on muutujad, nimetatakse ruutfunktsiooniks. Ruutfunktsiooni y =a*x^2+b*x+c graafik on sirge, mida matemaatikas kutsutakse parabool. Parabooli üldvaade on toodud alloleval joonisel.

Tasub tähele panna, et kui funktsiooni koefitsient a>0, siis on parabool suunatud harudega ülespoole ja kui a ruutfunktsiooni graafik on sümmeetriatelje suhtes sümmeetriline. Parabooli sümmeetriatelg on sirgjoon, mis on tõmmatud läbi punkti x=(-b)/(2*a) paralleelselt Oy teljega.

Parabooli tipu koordinaadid määratakse järgmiste valemitega:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Alloleval joonisel on suvalise ruutfunktsiooni graafik. Ruutfunktsiooni graafiku koostamine. Joonisel on märgitud ka parabooli tipp ja sümmeetriatelg.

Sõltuvalt koefitsiendi a väärtusest on parabooli ülaosa ruutfunktsiooni minimaalne või maksimaalne väärtus. Kui a>0, on tipp ruutfunktsiooni minimaalne väärtus ja maksimaalset väärtust pole. Kui a, siis sümmeetriatelg läbib parabooli tippu. Ruutfunktsiooni määratluspiirkond on kogu reaalarvude hulk R.

Ruutfunktsiooni y =a*x^2+b*x+c saab alati teisendada kujule y=a*(x+k)^2+p, kus k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Selleks peate valima terve ruudu.

Pange tähele, et punkt koordinaatidega (-k;p) on parabooli tipp. Ruutfunktsiooni y=a*(x+k)^2+p graafiku saab paralleeltõlke abil saada funktsiooni y=a*x^2 graafikult.

Kas vajate õpingutega abi?

Eelmine teema: