Koordinaatide teisendamine tasapinnal ja ruumis. Descartes'i ristkülikukujuliste koordinaatide teisendamine tasapinnal ja ruumis. I. Privalov "Analüütiline geomeetria"

1) Üleminek ühelt Descartes'i ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist tasapinnal teisele Descartes'i ristkülikukujulisele süsteemile, millel on sama orientatsioon ja sama alguspunkt.

Oletame, et tasapinnal on kasutusele võetud kaks Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi xOy ja ühise päritoluga KOHTA, millel on sama orientatsioon (joonis 145). Tähistame telgede ühikvektorid Oh Ja OU vastavalt läbi ja , ning telgede ühikvektorid ja läbi ja . Lõpuks olgu nurk telje suhtes Oh teljele. Lase X Ja juures– suvalise punkti koordinaadid M süsteemis xOy, ja ja on sama punkti koordinaadid M süsteemis.

Kuna nurk telje suhtes Oh vektorile on võrdne , siis vektori koordinaadid

Nurk teljest Oh vektoriks on võrdne ; seetõttu on vektori koordinaadid võrdsed.

Valemid (3) § 97 võtavad vormi

Üleminekumaatriks ühest Descartes'ist xOy ristkülikukujuline koordinaatsüsteem teisele sama orientatsiooniga ristkülikukujulisele süsteemile on kujul

Maatriksit nimetatakse ortogonaalseks, kui igas veerus asuvate elementide ruutude summa on võrdne 1-ga ja erinevate veergude vastavate elementide korrutiste summa on võrdne nulliga, s.o. Kui

Seega on üleminekumaatriks (2) ühest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise sama orientatsiooniga ristkülikukujulisesse süsteemi ortogonaalne. Pange tähele ka seda, et selle maatriksi determinant on +1:

Ja vastupidi, kui on antud ortogonaalne maatriks (3), mille determinant on võrdne +1-ga, ja tasapinnale sisestatakse ristkülikukujuline koordinaatsüsteem. xOy, siis suhete (4) tõttu on vektorid nii ühikulised kui ka üksteisega risti, seega on vektori koordinaadid süsteemis xOy on võrdsed ja , kus on nurk vektori ja vektori vahel, ja kuna vektor on ühik ja me saame vektorist pöörates , siis kas , või .

Teine võimalus on välistatud, sest kui meil oleks , siis on meile antud, et .

See tähendab , ja maatriksit A paistab nagu

need. on üleminekumaatriks ühest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist xOy teisele ristkülikukujulisele süsteemile, millel on sama orientatsioon, ja nurk .

2. Üleminek ühelt tasapinnalt Descartes'i ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise, vastupidise orientatsiooniga ja sama alguspunktiga Descartes'i ristkülikusüsteemi.

Olgu tasapinnal kasutusele võetud kaks Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi xOy ja ühise päritoluga KOHTA, kuid millel on vastupidine orientatsioon, tähistame nurka telje suhtes Oh läbiva telje külge (seadistame tasandi orientatsiooni süsteemi järgi xOy).

Kuna nurk telje suhtes Oh vektorile on võrdne , siis on vektori koordinaadid võrdsed:

Nüüd on nurk vektorist vektorini võrdne (joonis 146), seega nurk teljest Oh vektoriga on võrdne (Chasles'i nurkade teoreemi järgi) ja seetõttu on vektori koordinaadid võrdsed:

Ja valemid (3) § 97 võtavad kuju

Üleminekumaatriks

ortogonaalne, kuid selle determinant on –1. (7)

Ja vastupidi, iga ristkülikukujuline maatriks, mille determinant on võrdne –1-ga, määrab tasapinnal ühe ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi teisendamise teiseks ristkülikukujuliseks süsteemiks, millel on sama alguspunkt, kuid vastupidine orientatsioon. Niisiis, kui kaks Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi xOy ja neil on siis ühine algus

Kus X, juures– süsteemi mis tahes punkti koordinaadid xOy; ja on sama punkti koordinaadid süsteemis ja

ortogonaalne maatriks.

Tagasi, kui

suvaline ortogonaalmaatriks, seejärel seosed

väljendab Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi muutumist Descartes'i ristkülikukujuliseks süsteem sama päritoluga; - koordinaadid süsteemis xOy telje positiivse suuna andev ühikvektor; - koordinaadid süsteemis xOyühikvektor, mis annab telje positiivse suuna.

koordinaatsüsteemid xOy ja neil on sama orientatsioon ja antud juhul vastupidine.

3. Ühe tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi üldine teisendamine teiseks ristkülikukujuliseks süsteemiks.

Selle lõike punktide 1 ja 2, samuti § 96 alusel järeldame, et kui tasapinnale tuuakse sisse ristkülikukujulised koordinaatsüsteemid xOy ja seejärel koordinaadid X Ja juures suvaline punkt M lennukid süsteemis xOy sama punkti koordinaatidega M süsteemis on ühendatud suhetega - koordinaatide süsteemi algpunkti koordinaadid süsteemis xOy.

Pange tähele, et vanad ja uued koordinaadid X, juures ja , Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi üldise teisenduse all olevad vektorid on seotud suhetega

juhul kui süsteemid xOy ning neil on sama orientatsioon ja suhted

juhul, kui need süsteemid on vastupidise orientatsiooniga, või kujul

ortogonaalne maatriks. Teisendusi (10) ja (11) nimetatakse ortogonaalseteks.

Olgu tasapinnal antud kaks suvalist Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi. Esimene on määratud O alguse ja baasvektoritega i j , teine ​​– keskus ABOUT' ja baasvektorid i ’ j ’ .

Seadke eesmärgiks väljendada mingi punkti M x y koordinaadid esimese koordinaatsüsteemi suhtes läbi x’ Ja y’ – sama punkti koordinaadid teise süsteemi suhtes.

Märka seda

Tähistame punkti O’ koordinaate esimese süsteemi suhtes a ja b-ga:

Laiendame vektoreid i ’ Ja j ’ alusel i j :

(*)

Lisaks on meil:
. Tutvustame siin vektorite laienemist baasi suhtes i ’ j ’ :

siit

Võime järeldada: olenemata kahest suvalisest Descartes'i süsteemist tasapinnal, on tasapinna mis tahes punkti koordinaadid esimese süsteemi suhtes sama punkti koordinaatide lineaarsed funktsioonid teise süsteemi suhtes.

Korrutame kõigepealt võrrandi (*) skalaarselt arvuga i , siis edasi j :

KOHTA tähistatakse  vektorite vahelise nurgaga i Ja i ’ . Koordinaatide süsteem i j saab süsteemiga kombineerida i ’ j ’ paralleeltranslatsiooni ja sellele järgneva nurga  kaudu pööramisega. Kuid siin on võimalik ka kaarevariant: baasvektorite vaheline nurk i i ’ ka  ja baasvektorite vaheline nurk j ’ j ’ võrdne  - . Neid süsteeme ei saa kombineerida paralleelse translatsiooni ja pöörlemisega. Samuti on vaja muuta telje suunda juures vastupidisele.

Valemist (**) saame esimesel juhul:

Teisel juhul

Teisendusvalemid on järgmised:

Teist juhtumit me ei käsitle. Leppigem kokku, et peame mõlemat süsteemi õigeks.

Need. järeldus: olenemata sellest, millised on kaks õiget koordinaatsüsteemi, saab esimest neist kombineerida teisega paralleelse translatsiooni ja sellele järgneva pöördega ümber alguspunkti teatud nurga  võrra.

Paralleelülekande valemid:

Telgede pöörlemise valemid:

Pöördkonversioonid:

Descartes'i ristkülikukujuliste koordinaatide teisendamine ruumis.

Ruumis võime sarnaselt arutledes kirjutada:

(***)

Ja koordinaatide jaoks saate:

(****)

Niisiis, olenemata kahest suvalisest koordinaadisüsteemist ruumis, on mõne punkti x y z koordinaadid esimese süsteemi suhtes koordinaatide lineaarsed funktsioonid. x’ y’ z’ sama punkt teise koordinaatsüsteemi suhtes.

Iga võrdsuse (***) korrutamine skalaarselt arvuga i ’ j ’ k ’ saame:

IN Teeme selgeks teisendusvalemite (****) geomeetrilise tähenduse. Selleks eeldame, et mõlemal süsteemil on ühine algus: a = b = c = 0 .

Võtame arvesse kolm nurka, mis iseloomustavad täielikult teise süsteemi telgede asukohta esimese suhtes.

Esimese nurga moodustavad x-telg ja u-telg, mis on xOy ja x'Oy tasandite lõikepunkt. Nurga suund on lühim pööre x-teljelt y-telje suunas. Tähistame nurka -ga. Teine nurk  on Oz- ja Oz-telgede vaheline nurk, mis ei ületa . Lõpuks on kolmas nurk  nurk u-telje ja Ox’ vahel, mõõdetuna u-teljelt lühima pöörde suunas Ox’st Oy’ni. Neid nurki nimetatakse Euleri nurkadeks.

Esimese süsteemi teisenemist teiseks võib kujutada kolme pöörde järjestikusena: nurga  võrra Oz-telje suhtes; nurga  järgi härja telje suhtes; ja nurga  võrra Oz’ telje suhtes.

Arvu  ij saab väljendada Euleri nurkade kaudu. Me ei kirjuta neid valemeid üles, sest need on tülikad.

Teisendus ise on paralleeltranslatsiooni ja kolme järjestikuse pöörde Euleri nurkade kaudu superpositsioon.

Kõiki neid argumente saab kasutada juhul, kui mõlemad süsteemid on vasakpoolsed või erineva suunitlusega.

Kui meil on kaks suvalist süsteemi, siis üldiselt saame need kombineerida paralleeltõlke ja ühe pöördega ruumis ümber teatud telje. Me ei hakka teda otsima.

Peatükk I. Vektorid tasapinnal ja ruumis

§ 13. Üleminek ühest ristkülikukujulisest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise

Soovitame teil seda teemat käsitleda kahes versioonis.

1) I. I. Privalovi õpiku "Analüütiline geomeetria" põhjal (õpik kõrgkoolidele, 1966)

I.I. Privalov "Analüütiline geomeetria"

§ 1. Koordinaatide teisenduse probleem.

Punkti asukoht tasapinnal määratakse kahe koordinaadiga mingi koordinaatsüsteemi suhtes. Punkti koordinaadid muutuvad, kui valime teise koordinaadisüsteemi.

Koordinaatide teisendamise ülesanne on nii et teades punkti koordinaate ühes koordinaatsüsteemis, leida selle koordinaadid teisest süsteemist.

See probleem lahendatakse, kui kehtestame valemid, mis ühendavad kahes süsteemis suvalise punkti koordinaate, ja nende valemite koefitsiendid sisaldavad konstantseid suurusi, mis määravad süsteemide suhtelise asukoha.

Olgu antud kaks Descartes'i koordinaatsüsteemi xOy Ja XO 1 Y(joonis 68).

Uue süsteemi positsioon XO 1 Y võrreldes vana süsteemiga xOy määratakse, kui koordinaadid on teada A Ja b uus algus O 1 vana süsteemi ja nurga järgi α telgede vahel Oh Ja O 1 X. Tähistagem poolt X Ja juures suvalise punkti M koordinaadid vana süsteemi suhtes sama punkti X ja Y koordinaatide kaudu uue süsteemi suhtes. Meie ülesanne on tagada, et vanad koordinaadid X Ja juures väljendatakse uute X ja Y kaudu. Saadud teisendusvalemid peaksid ilmselgelt sisaldama konstante a, b Ja α .

Sellele üldisele probleemile leiame lahenduse, vaadeldes kahte erijuhtumit.

1. Koordinaatide alguspunkt muutub, kuid telgede suunad jäävad muutumatuks ( α = 0).

2. Telgede suunad muutuvad, kuid koordinaatide alguspunkt jääb muutumatuks ( a = b = 0).

§ 2. Koordinaatide lähtekoha ülekandmine.

Olgu antud kaks erineva päritoluga Descartes'i koordinaatide süsteemi O Ja O 1 ja samad telgede suunad (joon. 69).

Tähistagem poolt A Ja b uue alguse koordinaadid O 1 vanas süsteemis ja läbi x, y Ja X, Y-suvalise punkti M koordinaadid vastavalt vanas ja uues süsteemis. Punkti M projektsioon teljel O 1 X Ja Oh, samuti punkt O 1 telje kohta Oh, saame teljele Oh kolm punkti Oh, ah Ja R. Segmendi suurused OA, AR Ja VÕI on seotud järgmise suhtega:

| OA| + | AR | = | VÕI |. (1)

Märgates, et | OA| = A , | VÕI | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, kirjutame võrdsuse (1) ümber kujul:

A + X = x või x = X + A . (2)

Samamoodi kujundades M ja O 1 ordinaatteljel saame:

y = Y + b (3)

Niisiis, vana koordinaat võrdub uuega pluss uue alguspunkti koordinaat vana süsteemi järgi.

Valemitest (2) ja (3) saab uusi koordinaate väljendada vanade koordinaatide kaudu:

X = x - a , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Koordinaatide telgede pööramine.

Olgu antud kaks sama alguspunktiga Descartes'i koordinaatsüsteemi KOHTA ja telgede erinevad suunad (joon. 70).

Lase α telgede vahel on nurk Oh Ja Oh. Tähistagem poolt x, y Ja X, Y suvalise punkti M koordinaadid vastavalt vanas ja uues süsteemis:

X = | VÕI | , juures = | PM | ,

X= | VÕI 1 |, Y= | P 1 M |.

Mõelge katkendlikule joonele VÕI 1 MP ja võta selle projektsioon teljele Oh. Võttes arvesse, et katkendjoone projektsioon on võrdne sulgemislõigu projektsiooniga (I peatükk, § 8), saame:

VÕI 1 MP = | VÕI |. (4)

Seevastu katkendjoone projektsioon on võrdne selle lülide projektsioonide summaga (I peatükk, § 8); seetõttu kirjutatakse võrdsus (4) järgmiselt:

jne VÕI 1+ pr P 1 M+ pr MP= | VÕI | (4")

Kuna suunatud lõigu projektsioon on võrdne selle suurusega, mis on korrutatud projektsioonitelje ja lõigu paikneva telje vahelise nurga koosinusega (I peatükk, § 8), siis

jne VÕI 1 = X cos α

jne P 1 M = Y cos (90°+ α ) = - Y patt α ,

pr MP= 0.

Seega annab võrdsus (4") meile:

x = X cos α - Y patt α . (5)

Samamoodi projitseeritakse sama polüliini teljele OU, saame avaldise juures. Tegelikult on meil:

jne VÕI 1+ pr P 1 M+ pr MP= lk VÕI = 0.

Seda märgates

jne VÕI 1 = X cos( α -90°) = X patt α ,

jne P 1 M = Y cos α ,

pr MP = - y ,

saab:

X patt α + Y cos α - y = 0,

y = X patt α + Y cos α . (6)

Valemitest (5) ja (6) saame uued koordinaadid X Ja Y väljendatud läbi vana X Ja juures , kui lahendame võrrandid (5) ja (6) suhtes X Ja Y.

kommenteerida. Valemid (5) ja (6) võib saada erinevalt.

Jooniselt fig. 71 meil on:

X = VÕI = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM patt α patt φ ,

juures = RM = OM sin ( α + φ ) = OM sin α cos φ + OM cos α patt φ .

Kuna (I peatükk, § 11) OM cos φ = X, OM sin φ =Y, See

x = X cos α - Y patt α , (5)

y = X patt α + Y cos α . (6)

§ 4. Üldjuhtum.

Olgu antud kaks erineva alguspunktiga ja erineva telgede suunaga Descartes'i koordinaatsüsteemi (joonis 72).

Tähistagem poolt A Ja b uue alguse koordinaadid KOHTA, vana süsteemi järgi läbi α - koordinaattelgede pöördenurk ja lõpuks läbi x, y Ja X, Y- suvalise punkti M koordinaadid vastavalt vana ja uue süsteemi järgi.

Väljendada X Ja juures läbi X Ja Y, tutvustame abikoordinaatide süsteemi x 1 O 1 y 1, mille algus asetatakse uude algusesse KOHTA 1 ja võtke telgede suunad kokku vanade telgede suundadega. Lase x 1 ja y 1 tähistab punkti M koordinaate selle abisüsteemi suhtes. Vanalt koordinaatsüsteemilt abikoordinaadile üle minnes on meil (§ 2):

X = X 1 + a , y = y 1 +b .

X 1 = X cos α - Y patt α , y 1 = X patt α + Y cos α .

Asendamine X 1 ja y 1 eelmistes valemites koos nende avaldistega viimastest valemitest, leiame lõpuks:

x = X cos α - Y patt α + a

y = X patt α + Y cos α + b (mina)

Valemid (I) sisaldavad erijuhuna §-de 2 ja 3 valemeid. Seega millal α = 0 valemid (I) muutuvad

x = X + A , y = Y + b ,

ja millal a = b = 0 meil on:

x = X cos α - Y patt α , y = X patt α + Y cos α .

Valemitest (I) saame uued koordinaadid X Ja Y väljendatud läbi vana X Ja juures , kui võrrandid (I) on lahendatavad X Ja Y.

Märkigem valemite (I) väga olulist omadust: need on lineaarsed X Ja Y, st vorm:

x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .

Uute koordinaatide paikapidavust on lihtne kontrollida X Ja Y väljendub läbi vana X Ja juures ka esimese astme valemitega seoses X Ja u.

G.N.Jakovlev "Geomeetria"

§ 13. Üleminek ühest ristkülikukujulisest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise

Valides ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi, luuakse üks-ühele vastavus tasapinna punktide ja reaalarvude järjestatud paaride vahel. See tähendab, et iga tasandi punkt vastab ühele numbripaarile ja iga reaalarvude järjestatud paar vastab ühele punktile.

Ühe või teise koordinaatsüsteemi valik ei ole mingil moel piiratud ja määratakse igal konkreetsel juhul ainult mugavuse kaalutlustel. Sageli tuleb erinevates koordinaatsüsteemides käsitleda sama komplekti. Samal punktil erinevates süsteemides on ilmselgelt erinevad koordinaadid. Punktide kogum (eelkõige ring, parabool, sirge) erinevates koordinaatsüsteemides on antud erinevate võrranditega.

Uurime, kuidas ühest koordinaatsüsteemist teise liikumisel teisenevad tasapinna punktide koordinaadid.

Olgu tasapinnal antud kaks ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi: O, i, j ja umbes", i", j" (joonis 41).

Esimene süsteem, mille alguspunkt on O ja baasvektorid i Ja j lepime kokku, et nimetame seda vanaks, teiseks - algusega punktis O" ja baasvektoritega mina" Ja j" - uus.

Uue süsteemi asukoht vana suhtes loetakse teadaolevaks: olgu vana süsteemi punktil O" koordinaadid ( a;b ), vektor mina" vormid vektoriga i nurk α . Nurk α Loendame päripäeva liikumisele vastupidises suunas.

Vaatleme suvalist punkti M. Tähistame selle koordinaadid vanas süsteemis väärtusega ( x;y ), uues - läbi ( x";y" ). Meie ülesanne on luua seos punkti M vanade ja uute koordinaatide vahel.

Ühendame paarikaupa punktid O ja O", O" ja M, O ja M. Kolmnurga reegli abil saame

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Laiendame vektoreid OM> ja OO"> baasvektorite järgi i Ja j , ja vektor O"M> baasvektorite järgi mina" Ja j" :

OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+y" j "

Nüüd saab võrdsuse (1) kirjutada järgmiselt:

x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+y" j "). (2)

Uued baasvektorid mina" Ja j" laiendatakse vanade baasvektorite järgi i Ja j järgmisel viisil:

mina" =cos α i + patt α j ,

j" =cos( π / 2 + α ) i +sin( π / 2 + α ) j = - patt α i +cos α j .

Leitud väljendite asendamine mina" Ja j" valemisse (2) saame vektori võrdsuse

x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + patt α j ) + y"(- patt α i +cos α j )

võrdne kahe arvulise võrdusega:

x = a + X" cos α - y" patt α , juures = b+ X" patt α + y" cos α

Valemid (3) annavad vanade koordinaatide jaoks vajalikud avaldised X Ja juures punktid oma uute koordinaatide kaudu X" Ja y". Et leida avaldisi uutele koordinaatidele vanade koordinaatide järgi, piisab võrrandisüsteemi (3) lahendamisest tundmatute suhtes. X" Ja y".

Niisiis, punktide koordinaadid, kui koordinaatide alguspunkt kantakse üle punkti ( A; b ) ja telgede pööramine nurga võrra α teisendatakse valemite (3) järgi.

Kui muutub ainult koordinaatide alguspunkt ja telgede suunad jäävad samaks, siis eeldades valemites (3) α = 0, saame

Valemeid (5) nimetatakse pöörlemisvalemid.

Ülesanne 1. Olgu uue alguse koordinaadid vanas süsteemis (2; 3), punkti A koordinaadid vanas süsteemis (4; -1). Leia punkti A koordinaadid uues süsteemis, kui telgede suunad jäävad samaks.

Vastavalt valemitele (4) on meil

Vastus. A(2;-4)

2. ülesanne. Olgu vana süsteemi punkti P koordinaadid (-2; 1) ja uues süsteemis, mille telgede suunad on samad, selle punkti koordinaadid (5; 3). Leia uue alguse koordinaadid vanas süsteemis.

A Valemitest (4) saame

- 2= a + 5 1 = b + 3

kus A = - 7, b = - 2.

Vastus. (-7; -2).

3. ülesanne. Punkti A koordinaadid uues süsteemis (4; 2). Leia selle punkti koordinaadid vanas süsteemis, kui alguspunkt jääb samaks ja vana süsteemi koordinaatteljed on pööratud nurga võrra α = 45°.

Kasutades valemeid (5) leiame

4. ülesanne. Punkti A koordinaadid vanas süsteemis (2 √3 ; - √3 ). Leia uues süsteemis selle punkti koordinaadid, kui vana süsteemi alguspunkt nihutatakse punkti (-1;-2) ja teljed pööratakse nurga võrra α = 30°.

Vastavalt valemitele (3) on meil

Olles lahendanud selle võrrandisüsteemi jaoks X" Ja y", leiame: X" = 4, y" = -2.

Vastus. A (4; -2).

5. ülesanne. Sirge võrrand on antud juures = 2X - 6. Leia uues koordinaatsüsteemis sama sirge võrrand, mis saadakse vanast süsteemist telgede nurga võrra pööramisel α = 45°.

Sel juhul on pöörlemisvalemitel vorm

Sirge asendamine võrrandis juures = 2X - 6 vana muutujat X Ja juures uus, saame võrrandi

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

mis pärast lihtsustusi võtab vormi y" = x" / 3 - 2√2

Peatükk 1. Lisamine. Descartes'i ristkülikukujuliste koordinaatide teisendamine tasapinnal ja ruumis. Spetsiaalsed koordinaatsüsteemid tasapinnal ja ruumis.

Tasapinnal ja ruumis koordinaatsüsteemide koostamise reegleid käsitletakse 1. peatüki põhiosas. Täheldati ristkülikukujuliste koordinaatsüsteemide kasutamise mugavust. Analüütilise geomeetria tööriistade praktilisel kasutamisel tekib sageli vajadus vastuvõetud koordinaatsüsteemi teisendamiseks. Tavaliselt tingivad seda mugavuskaalutlused: geomeetrilised kujutised lihtsustuvad, arvutustes kasutatavad analüütilised mudelid ja algebralised avaldised muutuvad selgemaks.

Spetsiaalsete koordinaatsüsteemide (polaarsete, silindriliste ja sfääriliste) konstrueerimise ja kasutamise määrab lahendatava ülesande geomeetriline tähendus. Spetsiaalsete koordinaatsüsteemide abil modelleerimine hõlbustab sageli analüütiliste mudelite väljatöötamist ja kasutamist praktiliste probleemide lahendamisel.

1. peatüki lisas saadud tulemusi kasutatakse lineaaralgebras, enamik neist arvutuses ja füüsikas.

Descartes'i ristkülikukujuliste koordinaatide teisendamine tasapinnal ja ruumis.

Tasapinnal ja ruumis koordinaatsüsteemi konstrueerimise probleemi käsitlemisel märgiti, et koordinaatsüsteemi moodustavad ühes punktis ristuvad arvteljed: tasapinnal on vaja kahte, ruumis kolme telge. Seoses vektorite analüütiliste mudelite koostamise, vektorite operatsiooni skalaarkorrutise kasutuselevõtuga ja geomeetrilise sisu ülesannete lahendamisega näidati, et eelistatuim on ristkülikukujuliste koordinaatsüsteemide kasutamine.

Kui vaadelda konkreetse koordinaatsüsteemi teisendamise probleemi abstraktselt, siis üldjuhul oleks võimalik lubada koordinaattelgede suvalist liikumist antud ruumis koos õigusega telgesid suvaliselt ümber nimetada.

Alustame esmasest kontseptsioonist võrdlussüsteemid , füüsikas aktsepteeritud. Kehade liikumist jälgides avastati, et isoleeritud keha liikumist ei saa ise määrata. Teil peab olema veel vähemalt üks keha, mille suhtes liikumist jälgitakse, see tähendab muutust selles sugulane sätted. Analüütiliste mudelite, seaduste ja liikumise saamiseks seostati selle teise kehaga koordinaatsüsteem võrdlussüsteemina ja nii, et koordinaatsüsteem oli tahke !

Kuna jäiga keha suvalist liikumist ühest ruumipunktist teise saab kujutada kahe sõltumatu liikumisega: translatsioonilise ja pöörleva liikumisega, piirdusid koordinaatsüsteemi teisendamise võimalused kahe liigutusega:

1). Paralleelülekanne: järgime ainult ühte punkti - punkti.

2). Koordinaatsüsteemi telgede pööramine punkti suhtes: jäiga kehana.

Descartes'i ristkülikukoordinaatide teisendamine tasapinnal.

Olgu meil tasapinnal koordinaatsüsteemid: , ja . Koordinaadisüsteem saadakse süsteemi paralleeltransleerimisel. Koordinaatsüsteem saadakse süsteemi pööramisel nurga all ja positiivseks pöörlemissuunaks võetakse telje pöörlemine vastupäeva.

Määrame vastuvõetud koordinaatsüsteemide baasvektorid. Kuna süsteem saadi süsteemi paralleelse ülekande teel, siis mõlema süsteemi puhul aktsepteerime baasvektorid: , ja ühikvektoreid, mis kattuvad vastavalt koordinaattelgedega , . Süsteemi jaoks võtame baasvektoriteks ühikvektorid, mis langevad kokku telgedega , .

Olgu antud koordinaatsüsteem ja selles punkt = defineeritud. Eeldame, et enne teisendust on meil kattuvad koordinaatsüsteemid ja . Rakendame paralleeltõlget vektoriga määratletud koordinaatsüsteemile. See on vajalik punkti koordinaatide teisenduse määratlemiseks. Kasutame vektori võrdsust: = + või:

Illustreerime paralleeltõlke teisendust elementaaralgebras hästi tuntud näitega.

Näide D–1 : Parabooli võrrand on antud: = = . Taandage selle parabooli võrrand selle lihtsaimale kujule.

Lahendus:

1). Kasutame tehnikat tervikliku ruudu esiletõstmine : = , mida saab hõlpsasti esitada järgmiselt: –3 = .

2). Rakendame koordinaatide teisendust - paralleelne ülekanne := . Pärast seda saab parabooli võrrand järgmise kuju: . See algebra teisendus on defineeritud järgmiselt: parabool = saadakse lihtsaima parabooli nihutamisel paremale 2 võrra ja 3 ühiku võrra ülespoole.

Vastus: Parabooli lihtsaim vorm on: .

Olgu antud koordinaatsüsteem ja selles punkt = defineeritud. Eeldame, et enne teisendust on meil kattuvad koordinaatsüsteemid ja . Rakendame koordinaatsüsteemile pöördeteisendust nii, et selle algse asukoha suhtes, st süsteemi suhtes, osutub see pööratuks nurga võrra . On vaja defineerida punkti = koordinaatide teisendus. Kirjutame vektori koordinaatsüsteemidesse ja : = . (2) =1. Teist järku sirgete teooriast järeldub, et on saadud ellipsi lihtsaim (kanooniline!) võrrand.

Vastus: antud sirge lihtsaim kuju: =1 on ellipsi kanooniline võrrand.

Teema 5. Lineaarsed teisendused.

Koordinaatide süsteemon meetod, mis võimaldab arvude abil üheselt määrata punkti asukohta mõne geomeetrilise kujundi suhtes. Näited hõlmavad koordinaatide süsteemi sirgjoonel - koordinaatide telge ja ristkülikukujulisi Descartes'i koordinaatsüsteeme vastavalt tasapinnal ja ruumis.

Liigume tasapinnal ühest xy koordinaatsüsteemist teise süsteemi, s.t. Uurime, kuidas on nende kahe süsteemi sama punkti ristkoordinaadid omavahel seotud.

Esmalt kaalume paralleelne ülekanne ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem xy, st juhul, kui uue süsteemi teljed ja on paralleelsed vana süsteemi vastavate telgedega x ja y ning neil on nendega samad suunad.

Kui punktide M (x; y) ja (a; b) koordinaadid xy süsteemis on teada, siis (joon. 15) süsteemis on punktil M koordinaadid: .

Laske lõigul OM pikkusega ρ moodustada nurga teljega ja. Siis (joonis 16) moodustab segment OM nurga x-teljega ja punkti M koordinaadid xy süsteemis on võrdsed , .

Arvestades, et süsteemis on punkti M koordinaadid võrdsed ja , saame

Nurga "päripäeva" pööramisel saame vastavalt:

Ülesanne 0.54. Määrake punkti M(-3; 7) koordinaadid uues koordinaatsüsteemis x / y /, mille alguspunkt 0 / asub punktis (3; -4) ja teljed on paralleelsed vana telgedega koordinaatsüsteem ja neil on samad suunad.

Lahendus. Asendame punktide M ja O / teadaolevad koordinaadid valemitesse: x / = x-a, y / = y-b.
Saame: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Vastus: M/(-6; 11).

§2. Lineaarse teisenduse mõiste, selle maatriks.

Kui hulga X iga element x vastab mingi reegli f järgi ühele ja ainult ühele hulga Y elemendile y, siis ütleme, et antud kuva hulga X f hulgaks Y ja hulka X kutsutakse määratlusvaldkond ekraan f . Kui täpsemalt element x 0 Î X vastab elemendile y 0 Î Y, siis kirjutage y 0 = f (x 0). Sel juhul nimetatakse elementi y 0 tee element x 0 ja element x 0 - prototüüp element on 0. Kutsutakse kõigist kujutistest koosnevat hulga Y alamhulka Y 0 tähenduste kogum ekraan f.

Kui vastenduses f vastavad hulga X erinevad elemendid hulga Y erinevatele elementidele, siis vastendamist f nimetatakse pööratav.

Kui Y 0 = Y, siis vastendust f nimetatakse hulga X vastendamiseks peal setY.

Kutsutakse välja hulga X inverteeritav vastendamine hulgale Y üks ühele.

Hulga hulka vastendamise kontseptsiooni erijuhud on mõiste numbriline funktsioon ja kontseptsioon geomeetriline kaardistamine.

Kui vastendus f hulga X iga elemendiga seostab sama hulga X ühe elemendi, siis sellist vastendust nimetatakse muutumine komplekti X.

Olgu antud lineaarruumi L n n-mõõtmeliste vektorite hulk.

Nimetatakse n-mõõtmelise lineaarruumi L n teisendust f lineaarneümberkujundamine kui

mis tahes vektorite jaoks L n-st ja mis tahes reaalarvudest α ja β. Teisisõnu nimetatakse teisendust lineaarseks, kui vektorite lineaarne kombinatsioon muundub nende kujutiste lineaarseks kombinatsiooniks samaga koefitsiendid.

Kui vektor on antud kindlas baasis ja teisendus f on lineaarne, siis definitsiooni järgi , kus on alusvektorite kujutised.

Seetõttu on lineaarne teisendus täielikult määratletud, kui on antud vaadeldava lineaarruumi alusvektorite kujutised:

(12)

Maatriks milles k-s veerg on vektori koordinaatide veerg alusel, nn maatriks lineaarne muutumine f sellel alusel.

Determinanti det L nimetatakse teisenduse f determinandiks ja Rg L lineaarse teisenduse f auastmeks.

Kui lineaarse teisenduse maatriks on mitteainsuses, siis on teisendus ise mitteainsuses. See muudab ruumi L n üks-ühele iseendaks, st. iga vektor L n-st on selle unikaalse vektori kujutis.

Kui lineaarse teisenduse maatriks on singulaarne, siis on teisendus ise singulaarne. See muudab lineaarruumi L n selle mingiks osaks.

Teoreem.Lineaarse teisenduse f maatriksiga L vektorile rakendamise tulemusena see osutub vektoriks selline, et .

Sulgudesse kirjutatud arvud on vektori koordinaadid vastavalt alusele:

(13)

Maatriksi korrutustehte definitsiooni järgi saab süsteemi (13) asendada maatriksiga

võrdsus , mida oli vaja tõestada.

Näitedlineaarsed teisendused.

1. Venitus piki x-telge k 1 korda ja piki y-telge k 2 korda xy tasapinnal määratakse maatriksiga ja koordinaatide teisenduse valemid on kujul: x / = k 1 x; y / = k 2 a.

2. Peegli peegeldus y-telje suhtes xy tasapinnal määratakse maatriksiga ja koordinaatide teisenduse valemid on kujul: x / = -x, y / = y.