첫 번째 놀라운 한계: 이론과 사례. 첫 번째 놀라운 한계: 발견, 문제 및 세부 솔루션의 예 삼각 함수의 한계 계산 솔루션 예제
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트위터첫 번째 주목할만한 극한은 다음과 같습니다: lim x → 0 sin x x = 1 .
실제 사례에서 첫 번째 주목할만한 극한의 수정이 종종 발생합니다: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, 여기서 k는 특정 계수입니다.
설명하자면: lim x → 0 sin (k x) k x = 비어 있음 t = k x 그리고 x → 0에서 t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1이 됩니다.
첫 번째 놀라운 한계의 결과:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1
이러한 결과는 L'Hopital의 규칙을 적용하거나 극소 함수를 대체하여 증명하기가 매우 쉽습니다.
첫 번째 놀라운 극한을 사용하여 극한을 찾는 데 따른 몇 가지 문제를 고려해 보겠습니다. 솔루션에 대해 자세히 설명드리겠습니다.
실시예 1
로피탈의 법칙(lim x → 0 sin (3 x) 2 x)을 사용하지 않고 극한을 결정하는 것이 필요합니다.
해결책
값을 대체해 보겠습니다.
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
우리는 0을 0으로 나눈 불확실성이 발생했음을 알 수 있습니다. 해법을 설정하기 위해 불확실성 표를 참조해 봅시다. 사인과 그 인수의 조합은 첫 번째 놀라운 극한의 사용에 대한 힌트를 제공하지만 먼저 표현을 변형합니다. 분수의 분자와 분모에 3 x를 곱하면 다음을 얻습니다.
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x
첫 번째 주목할만한 극한의 결과에 기초하면 다음과 같습니다: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.
그러면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2
답변: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
실시예 2
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 극한을 찾는 것이 필요합니다.
해결책
값을 대체하고 다음을 얻습니다.
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
우리는 0의 불확실성을 0으로 나눈 것을 봅니다. 삼각법 공식을 사용하여 분자를 변환해 보겠습니다.
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
이제 첫 번째 놀라운 한계가 여기에 적용될 수 있음을 알 수 있습니다.
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3
답변: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
실시예 3
극한 lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x 를 계산해야 합니다.
해결책
값을 대체해 보겠습니다.
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0
우리는 0을 0으로 나누는 것의 불확실성을 봅니다. 교체해 봅시다:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (ar c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x) ) = a r c sin (4 · 0) = 0, 이는 x → 0과 마찬가지로 t → 0을 의미합니다.
이 경우 변수를 바꾼 후 제한은 다음과 같은 형식을 취합니다.
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3
답변: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .
기사의 자료를보다 완벽하게 이해하려면 "한계, 기본 정의, 발견의 예, 문제 및 해결 방법"이라는 주제에 대한 자료를 반복해야합니다.
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첫 번째 주목할만한 한계는 종종 사인, 아크사인, 탄젠트, 아크탄젠트 및 0을 0으로 나눈 결과 불확실성을 포함하는 한계를 계산하는 데 사용됩니다.
공식
첫 번째 놀라운 극한의 공식은 다음과 같습니다: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$ \alpha\to 0 $에 대해 $ \sin\alpha \to 0 $를 얻으므로 분자와 분모에 0이 있습니다. 따라서 불확실성 $ \frac(0)(0) $을 밝히기 위해서는 첫 번째 주목할만한 극한의 공식이 필요합니다.
공식을 적용하려면 두 가지 조건이 충족되어야 합니다.
- 사인과 분수의 분모에 포함된 표현식은 동일합니다.
- 분수의 사인과 분모 표현은 0이 되는 경향이 있습니다.
주목! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ 사인 아래의 수식과 분모의 수식은 동일하지만 $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\to 0 $. 두 번째 조건이 충족되지 않으므로 수식을 적용할 수 없습니다!
결과
작업에서 즉시 답을 적을 수 있는 순수한 첫 번째 놀라운 한계를 볼 수 있는 경우는 거의 없습니다. 실제로 모든 것이 조금 더 복잡해 보이지만 이러한 경우 첫 번째 놀라운 한계의 결과를 아는 것이 유용할 것입니다. 덕분에 필요한 한도를 빠르게 계산할 수 있습니다.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
솔루션의 예
첫 번째 주목할만한 극한, 삼각 함수와 불확실성을 포함하는 극한을 계산하기 위한 해법의 예 $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $를 고려해 봅시다.
| 실시예 1 |
| $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ 계산 |
| 해결책 |
|
극한을 살펴보고 사인이 포함되어 있음을 확인하세요. 다음으로 $ x = 0 $을 분자와 분모에 대입하고 불확실성 0을 0으로 나눈 값을 얻습니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ 놀라운 한계를 적용해야 한다는 두 가지 기호가 있지만 약간의 뉘앙스가 있습니다. 사인 기호 아래의 표현식이 분모의 표현식과 다르기 때문에 공식을 즉시 적용할 수 없습니다. 그리고 우리는 그들이 평등해야 합니다. 따라서 분자의 기본 변환을 사용하여 $2x$로 변환합니다. 이를 위해 분수의 분모에서 두 개를 별도의 요소로 취하겠습니다. 다음과 같습니다: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ 제발 마지막에 $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ 이 공식에 따라 얻어졌습니다. 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다! |
| 답변 |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| 실시예 2 |
| $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ 찾기 |
| 해결책 |
|
언제나 그렇듯, 먼저 불확실성의 유형을 알아야 합니다. 0을 0으로 나눈 경우 사인의 존재에 주의를 기울입니다: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ 이 불확실성으로 인해 첫 번째 주목할만한 극한의 공식을 사용할 수 있지만 분모의 표현은 사인 인수와 같지 않습니까? 따라서 공식을 "정면"으로 적용할 수 없습니다. 사인 인수로 분수를 곱하고 나누어야 합니다: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ 이제 극한의 속성을 적어보겠습니다. $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ 두 번째 극한은 공식에 정확히 맞으며 같습니다. 1로: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ 다시 $ x = 0 $를 분수로 대체하면 불확실성 $ \frac(0)(0) $을 얻습니다. 이를 제거하려면 대괄호에서 $ x $를 꺼내서 다음과 같이 줄이면 충분합니다. $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| 답변 |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| 실시예 4 |
| $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ 계산 |
| 해결책 |
|
$ x=0 $ 치환으로 계산을 시작하겠습니다. 결과적으로 우리는 불확실성 $ \frac(0)(0) $을 얻습니다. 한계에는 사인과 탄젠트가 포함되어 있으며 이는 첫 번째 주목할만한 한계의 공식을 사용하여 상황의 전개 가능성을 암시합니다. 분수의 분자와 분모를 공식과 결과로 변환해 보겠습니다. $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ 이제 우리는 분자와 분모에 공식과 결과에 맞는 표현이 있음을 알 수 있습니다. 사인 인수와 탄젠트 인수는 해당 분모에 대해 동일합니다. $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| 답변 |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
기사: "첫 번째 놀라운 한계, 솔루션의 예"에서는 이 공식을 사용하는 것이 바람직한 사례와 그 결과에 대해 설명했습니다.
첫 번째 주목할만한 한계는 다음과 같은 평등입니다.
\begin(방정식)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)
$\alpha\to(0)$에 대해 $\sin\alpha\to(0)$이 있기 때문에 그들은 첫 번째 주목할만한 극한이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 드러낸다고 말합니다. 일반적으로 공식 (1)에서는 $\alpha$ 변수 대신 두 가지 조건이 충족되는 한 모든 표현식을 사인 부호와 분모 아래에 배치할 수 있습니다.
- 사인 부호 아래의 표현식과 분모의 표현식은 동시에 0이 되는 경향이 있습니다. $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다.
- 사인 기호 아래의 식과 분모의 식은 동일합니다.
첫 번째 주목할만한 한계의 추론도 종종 사용됩니다.
\begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)
이 페이지에서는 11개의 예제가 해결되었습니다. 예제 1은 공식 (2)-(4)의 증명에 관한 것입니다. 예제 2번, 3번, 4번, 5번에는 자세한 설명이 포함된 솔루션이 포함되어 있습니다. 예제 번호 6-10에는 이전 예제에서 자세한 설명이 제공되었기 때문에 사실상 설명이 없는 솔루션이 포함되어 있습니다. 이 솔루션은 찾을 수 있는 몇 가지 삼각법 공식을 사용합니다.
불확실성 $\frac (0) (0)$과 결합된 삼각 함수의 존재가 반드시 첫 번째 주목할만한 극한의 적용을 의미하는 것은 아닙니다. 때로는 간단한 삼각 변환으로 충분할 때도 있습니다. 예를 들면 다음을 참조하세요.
예 1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha )임을 증명하세요. (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ 이후:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ 및 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ 이므로, 저것:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$를 변경해 보겠습니다. $\sin(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 조건에서 $y\to(0)$이 됩니다. 또한 $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$인 0 근처가 있으므로 다음과 같습니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$이 등식으로 입증되었습니다.
c) $\alpha=\tg(y)$를 대체해 보겠습니다. $\tg(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 및 $y\to(0)$ 조건은 동일합니다. 또한 $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$인 0 근처가 있으므로 점 a)의 결과를 기반으로 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$이 등식으로 입증되었습니다.
등식 a), b), c)는 종종 첫 번째 주목할만한 극한과 함께 사용됩니다.
예 2
극한 계산 $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ 및 $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, 즉 그리고 분수의 분자와 분모는 동시에 0이 되는 경향이 있습니다. 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. 완료. 또한 사인 부호와 분모 아래의 식이 일치한다는 것이 분명합니다(즉, 만족함).
따라서 페이지 시작 부분에 나열된 두 조건이 모두 충족됩니다. 이에 따라 공식이 적용 가능해집니다. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
답변: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
예 3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$를 구하세요.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))x=0$이므로 $\frac 형식의 불확실성을 처리합니다. (0 )(0)$, 즉 완료. 그러나 사인 기호 아래의 표현과 분모의 표현은 일치하지 않습니다. 여기서 분모의 표현식을 원하는 형식으로 조정해야 합니다. 분모에 $9x$라는 표현이 필요하며, 그러면 그것이 참이 됩니다. 기본적으로 분모에 $9$라는 요소가 누락되어 있는데 입력하기가 그리 어렵지 않습니다. 분모의 표현식에 $9$를 곱하기만 하면 됩니다. 당연히 $9$의 곱셈을 보상하려면 즉시 $9$로 나누어야 합니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
이제 분모와 사인 기호 아래의 표현이 일치합니다. 극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$에 대한 두 조건이 모두 충족됩니다. 따라서 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$입니다. 이는 다음을 의미합니다.
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
예 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$를 구하세요.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$이므로 여기서는 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. $\frac(0)(0)$. 그러나 첫 번째 주목할만한 한계의 형태가 위반되었습니다. $\sin(5x)$를 포함하는 분자에는 $5x$의 분모가 필요합니다. 이 상황에서 가장 쉬운 방법은 분자를 $5x$로 나누고 즉시 $5x$를 곱하는 것입니다. 또한 $\tg(8x)$를 $8x$로 곱하고 나누는 유사한 연산을 분모에 대해 수행합니다.
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$만큼 줄이고 상수 $\frac(5)(8)$를 극한 기호 밖으로 가져가면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$는 첫 번째 주목할만한 한계에 대한 요구 사항을 완전히 충족합니다. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$를 찾으려면 다음 공식을 적용할 수 있습니다.
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
예 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$를 구하세요.
$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$이므로 ($\cos(0)=1$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^2=0$이면 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 처리하게 됩니다. 그러나 첫 번째 놀라운 극한을 적용하려면 분자에서 코사인을 제거하고 사인(공식을 적용하기 위해) 또는 탄젠트(공식을 적용하기 위해)로 이동해야 합니다. 이는 다음 변환을 통해 수행할 수 있습니다.
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
한계로 돌아가 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$는 이미 첫 번째 주목할만한 극한에 필요한 형식에 가깝습니다. 분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$를 사용하여 첫 번째 놀라운 극한으로 조정해 보겠습니다(분자와 사인 아래의 표현식이 일치해야 함).
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
문제의 한계로 돌아가 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
예제 번호 6
극한 $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$를 구합니다.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ 및 $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$이므로, 우리는 불확실성 $\frac(0)(0)$을 다루고 있습니다. 첫 번째 놀라운 한계를 통해 이를 공개해 보겠습니다. 이를 위해 코사인에서 사인으로 이동해 보겠습니다. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$이므로 다음과 같습니다.
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
주어진 한도 내에서 사인을 전달하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
예 번호 7
$\alpha\neq에 따라 한계 $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$를 계산합니다. \ 베타$.
자세한 설명은 이전에 제공되었지만 여기서는 불확실성 $\frac(0)(0)$이 있음을 다시 한 번 언급합니다. 공식을 사용하여 코사인에서 사인으로 이동해 보겠습니다.
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
이 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\오른쪽| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ 베타(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ 알파^2)(2)$.
예 번호 8
극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$를 구합니다.
$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$이므로 ($\sin(0)=\tg(0)=0$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, 여기서는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. 다음과 같이 분석해 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\오른쪽)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\오른쪽) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
예 번호 9
극한 $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$를 구합니다.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ 및 $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$이면 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수 $\alpha \to 0$에 유의하세요). 가장 쉬운 방법은 $t=x-3$ 변수를 도입하는 것입니다. 그러나 추가 변환의 편의를 위해(이 이점은 아래 솔루션 과정에서 볼 수 있음) $t=\frac(x-3)(2)$로 대체하는 것이 좋습니다. 이 경우 두 가지 대체 방법을 모두 적용할 수 있다는 점에 유의하세요. 두 번째 대체 방법을 사용하면 분수 작업을 덜 할 수 있습니다. $x\to(3)$ 이후 $t\to(0)$입니다.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(정렬)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
답변: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
예시 번호 10
극한을 구합니다 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
다시 한번 우리는 불확실성 $\frac(0)(0)$을 다루고 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수는 $\alpha\to(0)$입니다). 가장 쉬운 방법은 변수 $t=\frac(\pi)(2)-x$를 도입하는 것입니다. $x\to\frac(\pi)(2)$ 이후 $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\왼쪽|\frac(0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(정렬)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
답변: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
예 번호 11
한계 찾기 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
이 경우 첫 번째 놀라운 한계를 사용할 필요가 없습니다. 첫 번째와 두 번째 극한에는 삼각 함수와 숫자만 포함되어 있습니다. 이런 종류의 예에서는 종종 극한 기호 아래에 있는 표현을 단순화하는 것이 가능합니다. 또한 앞서 언급한 일부 요소를 단순화하고 축소한 후에는 불확실성이 사라집니다. 나는 단 하나의 목적으로 이 예를 제시했습니다. 극한 기호 아래에 삼각 함수가 존재한다고 해서 반드시 첫 번째 주목할만한 극한을 사용하는 것을 의미하지는 않는다는 것을 보여주기 위한 것입니다.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ 이후 ( $\sin\frac(\pi)(2)=1$ 을 기억하세요) 그리고 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$), 그러면 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 처리합니다. 그러나 이것이 우리가 첫 번째 놀라운 한계를 사용해야 한다는 의미는 아닙니다. 불확실성을 밝히려면 $\cos^2x=1-\sin^2x$를 고려하는 것으로 충분합니다.
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Demidovich의 솔루션 북(No. 475)에도 유사한 솔루션이 있습니다. 두 번째 극한에 대해서는 이 섹션의 이전 예에서와 같이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다. 왜 발생합니까? 이는 $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ 및 $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ 때문에 발생합니다. 우리는 이 값을 사용하여 분자와 분모의 표현식을 변환합니다. 우리 행동의 목표는 분자와 분모의 합을 곱으로 적는 것입니다. 그런데 유사한 유형 내에서는 새 변수가 0이 되는 경향이 있는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다(예를 들어 이 페이지의 예 9번 또는 10번 참조). 그러나 이 예에서는 원하는 경우 $t=x-\frac(2\pi)(3)$ 변수를 바꾸는 것이 구현하기 어렵지 않지만 대체할 필요가 없습니다.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
보시다시피, 우리는 첫 번째 멋진 제한을 적용할 필요가 없었습니다. 물론 원한다면 이 작업을 수행할 수 있지만(아래 참고 참조) 반드시 그럴 필요는 없습니다.
첫 번째 놀라운 한계를 이용한 해결책은 무엇입니까? 표시\숨기기
첫 번째 놀라운 한계를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ 오른쪽))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 삼)). $$
답변: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
한 점에서 함수의 연속성과 무한대에서 함수의 재분배를 결정하고 연속 함수의 극한 속성을 사용하면 극한을 직접 계산하는 데 기여합니다.
정의 1
연속성 지점의 극한 값은 해당 지점의 함수 값에 따라 결정됩니다.
속성에 의존할 때 기본 기본 함수는 정의 영역의 어느 지점에서든 제한이 있으며, 이러한 지점에서 해당 함수의 값으로 계산됩니다.
실시예 1
함수 lim x → 5 a r c t g 3 5 x의 극한을 계산합니다.
해결책
아크탄젠트 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 연속성을 갖는 것이 특징입니다. 이것으로부터 우리는 x 0 = 5 지점에서 함수가 연속이라는 것을 얻습니다. 정의로부터 극한을 찾는 것은 동일한 함수의 값이라는 것을 알 수 있습니다. 그런 다음 대체해야합니다. 우리는 그것을 얻습니다
lim x → 5 a r c t g 3 5 x = a r c t g 3 5 5 = a r c t g 3 = π 3
답변: π 3.
단측 극한을 계산하려면 극한 경계점의 값을 사용해야 합니다. 아크르크신과 아크코사인의 값은 x 0 = - 1 또는 x 0 = 1입니다.
x → + 무게 또는 x → - 무한대로, 무한대에서 지정된 함수의 극한이 계산됩니다.
표현식을 단순화하려면 극한의 속성을 사용하십시오.
정의 2
- lim x → x 0 (k · f (x)) = k · lim x → x 0 f (x), k는 계수입니다.
- lim x → x 0 (f (x) · g (x)) = lim x → x 0 f (x) · lim x → x 0 g (x) , 극한의 불확실성을 얻는 데 사용됩니다.
- lim x → x 0 (f (g (x))) = f lim x → x 0 g x, 함수의 부호와 극한까지의 경로가 바뀔 수 있는 연속 함수에 사용됩니다.
재분배를 계산하는 방법을 배우려면 기본적인 기본 기능을 알고 이해해야 합니다. 아래에는 이러한 기능의 구분과 설명 및 자세한 솔루션이 포함된 표가 있습니다. 이를 계산하려면 한 점과 무한대에서 함수의 극한 정의에 의존해야 합니다.
기능 제한 테이블
한계를 단순화하고 해결하기 위해 이 기본 한계 표가 사용됩니다.
|
n번째 루트 함수 y = xn, 여기서 n = 2, 4, 6입니다. . . 한계 x → x n = + n = + 어떠한 것도 x 0정의에서 림 x → x 0 x n = x 0 n |
n번째 루트 함수 y = xn, 여기서 n = 3, 5, 7입니다. . . 한계 x → x n = + n = + 림 x → x n = - n = - 림 x → x 0 x n = x 0 n |
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거듭제곱 함수 y = x a , a > 0
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거듭제곱 함수 y = x a , a< 0
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지수 함수 y = x , 0< a < 1 림 x → a x = a - = + 림 x → π a x = a + = + 0 어떠한 것도 x 0정의 영역에서 lim x → x 0 a x = a x 0 |
지수 함수 y = a x , a > 1 lim x → a x = a - = + 0 lim x → x 0 a x = a + = + 정의 영역의 x 0 값에 대해 lim x → x 0 a x = a x 0 |
|
로그 함수 y = 로그 a(x), 0< a < 1 lim x → 0 + 0 log a x = log a (0 + 0) = + lim x → log a x = log a (+ ) = - Lim x → x 0 log a x = log a x 0 |
로그 함수 y = 로그 a (x) , a > 1 lim x → 0 + 0 log a x = log a (0 + 0) = - lim x → log a x = log a (+ ) = + 정의 영역의 x 0에 대해 lim x → x 0 로그 a x = 로그 a x 0 |
|
삼각함수
lim x → limit t g x가 존재하지 않습니다. 정의 영역의 x 0에 대해 림 x → x 0 t g x = t g x 0 |
삼각함수
lim x → c t g x는 존재하지 않습니다. 정의 영역의 x 0에 대해 |
정의 영역의 x 0에 대해 lim x → x 0 a r c sin x = a r c sin x 0
정의 영역의 x 0에 대해 lim x → x 0 a r c c i s x = a r c cos x 0 |
역삼각함수
정의 영역의 x 0에 대해 lim x → x 0 a r c t g x = a r c t g x 0
정의 영역의 x 0에 대해 lim x → x 0 a r c c t g x = a r c c t g x 0 |
실시예 2
극한 lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 을 계산합니다.
해결책
해결하려면 값 x = 1을 대체해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다
림 x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
답: 림 x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2
실시예 3
함수 lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2의 극한을 계산합니다.
해결책
극한을 밝히기 위해서는 함수의 극한이 경향이 있는 값 x를 대체할 필요가 있습니다. 이 경우 x = 0을 대체해야 합니다. 숫자 값을 대체하고 다음을 얻습니다.
x 2 + 2 . 5 x = 0 = 0 2 + 2 . 5 = 2. 5
극한은 lim x → 0 (x 2 + 2 . 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 로 작성됩니다. 5 1x2 . 다음으로 지표의 가치를 살펴봐야 합니다. 이는 1 x 2 = x - 2 의 거듭제곱 함수입니다. 위에 제공된 극한 표에서 우리는 lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + 및 lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0을 가집니다. x - 2 = + , 즉 lim x → 0 1 x 2 = lim x → 0 x - 2 = + 로 쓸 권리가 있음을 의미합니다.
이제 한도를 계산해 보겠습니다. lim x → 0 (x 2 + 2 . 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 처럼 보일 것입니다. 5 1 x 2 = 2 . 5+무한대
1보다 큰 밑수를 갖는 지수 함수의 극한 표에서 우리는 다음을 발견합니다.
lim x → 0 (x 2 + 2 . 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 . 5 1 x 2 2 . 5 + 무한대 = + 무대
답변: lim x → 0 (x 2 + 2 . 5) 1 x 2 = +
더 복잡한 한계가 지정되면 테이블을 사용하여 정수 또는 특정 값을 얻는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 더 자주, 규칙을 적용해야 하는 해결을 위해 다양한 유형의 불확실성이 발생합니다.
기본 기본 기능의 한계에 대한 위의 표에 대한 그래픽 설명을 고려해 보겠습니다.
그림은 함수 y = C가 무한대에서 한계를 갖는다는 것을 보여줍니다. x 0이 되는 인수에 대한 동일한 제한입니다. 숫자 C와 같습니다.
lim x → + x n = + n = + 에는 짝수 근지수가 적용 가능하고, lim x → + x n = + n = + 1 , lim x →에는 값 1보다 큰 홀수 지수가 적용 가능합니다. - x n = - n = - . 정의 영역은 주어진 지점에서 함수의 값과 동일한 n차근의 주어진 함수 극한의 임의의 값 x를 절대적으로 취할 수 있습니다.
지수를 기준으로 모든 검정력 함수를 동일한 한계값이 있는 그룹으로 나누어야 합니다.
- a가 양수이면 lim x → + x a = + a = + 이고 lim x → − x a = − a = − 입니다. x가 임의의 값을 취하면 검정력 함수의 극한은 해당 지점의 함수 값과 같습니다. 그렇지 않으면 lim x → x a = () a = 로 작성됩니다.
- a가 양의 짝수일 때, 우리는 lim x → + x a = (+ ) a = + 및 lim x → - x a = (- ) a = + 를 얻습니다. 이 영역의 x는 다음과 같습니다. 거듭제곱 함수의 극한이며 이 시점의 함수 값과 같습니다. 극한은 lim x → x a = a = + 형태를 갖습니다.
- a가 다른 값을 갖는 경우 lim x → + x a = (+ ) a = + 이고 x의 정의역은 주어진 지점에서 함수의 극한을 결정하는 데 기여합니다.
- a가 음수 값을 가질 때, lim x → + x a = + a = + 0 , lim x → - x a = (- ) a = - 0 , lim x → 0 - 0 x a =를 얻습니다. (0 - 0) a = - , lim x → 0 + 0 x a = 0 + 0 a = + , x 값은 주어진 정의 영역에서 임의의 값일 수 있으며 주어진 지점에서의 함수와 같습니다. . 우리는 lim x → x a = a = 0 및 lim x → 0 x a = 0 a = 를 얻습니다.
- a가 음의 짝수이면 lim x → + x a = (+ ) a = + 0 , lim x → - x a = - a = + 0 , lim x → 0 - 0 (0 - 0) a = + , lim x → 0 + 0 x a = (0 + 0) a = + , 정의 영역의 모든 x 값은 다음 값과 동일한 전력 함수의 극한 결과를 제공합니다. 그 시점의 기능. 이를 lim x → x a = () a = + 0 및 lim x → 0 x a = (0) a = + 로 작성해 보겠습니다.
- a의 값이 다른 음의 실수를 가질 때, x가 그 값에서 임의의 값을 취하면 우리는 lim x → + x a = + a = + 0 및 lim x → 0 + 0 x a = 0 + 0 a = + 를 얻습니다. domain 이면 검정력 함수의 극한은 해당 지점의 함수 값과 같습니다.
0일 때< a < 1 , имеем, что lim x → - ∞ a x = a - ∞ = + ∞ , lim x → + ∞ a x = (a) + ∞ = + ∞ , любое значение x из области определения дает пределу показательной функции значению функции в точке.
a > 1일 때, lim x → - a x = (a) - = + 0, lim x → + a x = (a) + = + , 그리고 정의 영역에 있는 임의의 x 값은 다음을 제공합니다. 함수의 극한은 한 지점에서 이 함수의 값과 같습니다.
0이 있을 때< a < 1 , тогда lim x → 0 + 0 log a x = log a (0 + 0) = + ∞ , lim x → + ∞ log a x = log a (+ ∞) = - ∞ , для всех остальных значений x из заданной области определения предел показательной функции равняется значению заданной функции в точках.
a > 1일 때 lim x → 0 + 0 log a x = log a (0 + 0) = - , lim x → + log a x = log a (+ ) = + , 나머지 값은 주어진 영역 정의에서 x의 값은 점에서의 값과 동일한 지수 함수의 극한에 대한 해를 제공합니다.
y = sin x, y = cos x와 같은 함수에는 무한대 극한이 존재하지 않습니다. 정의 영역에 포함된 모든 x 값은 해당 지점의 함수 값과 같습니다.
탄젠트 함수는 lim x → π 2 - 0 + π · k t g (x) = + , lim x → π 2 + π · k t g (x) = 또는 lim x → π 2 + π · 형식의 극한을 가집니다. k t g (x) = IGHT이면 탄젠트 정의 영역에 속하는 x의 나머지 값은 이 지점에서의 함수 값과 같습니다.
함수 y = c t g x에 대해 우리는 lim x → - 0 + π · k c t g (x) = - , lim x → + 0 + π · k c t g (x) = + 또는 lim x → π · k c t g (x)를 얻습니다. ) = 이면 정의 영역에 속하는 x의 나머지 값은 이 지점에서 함수 값과 동일한 코탄젠트의 극한을 제공합니다.
아크사인 함수는 lim x → - 1 + 0 a r c sin (x) = - π 2 및 lim x → 1 - 0 a r c sin (x) = π 2 형식의 한계를 가지며, x의 나머지 값은 정의 영역은 주어진 지점에서 함수의 값과 같습니다.
아크 코사인 함수는 x의 나머지 값이 정의역에 속할 때 lim x → - 1 + 0 a r c cos (x) = π 및 lim x → 1 - 0 a r c cos (x) = 0 형태의 한계를 갖습니다. 정의의 아크코사인 한계는 이 시점의 함수 값과 동일합니다.
아크탄젠트 함수는 lim x → - a r c t g (x) = - π 2 및 lim x → + a r c t g (x) = π 2 형태의 극한을 가지며, 정의 영역에 포함된 x의 다른 값은 다음과 같습니다. 기존 지점의 함수 값과 같습니다.
코탄젠트 함수는 lim x → - a r c c t g (x) = π 및 lim x → + a r c t g (x) = 0 형식의 극한을 갖습니다. 여기서 x는 주어진 정의 영역에서 임의의 값을 취하며 여기서 극한을 얻습니다. 역코탄젠트의 값은 사용 가능한 포인트의 함수 값과 같습니다.
사용 가능한 모든 한계 값은 기본 기능의 한계를 찾기 위해 솔루션에 사용됩니다.
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몇 가지 놀라운 한계가 있지만 가장 유명한 것은 첫 번째와 두 번째 놀라운 한계입니다. 이러한 제한의 놀라운 점은 이 제한이 널리 사용되고 있으며 이를 통해 수많은 문제에서 직면하는 다른 제한을 찾을 수 있다는 것입니다. 이것이 이번 강의의 실제 부분에서 우리가 할 일입니다. 문제를 첫 번째 또는 두 번째 놀라운 한계로 줄여 문제를 해결하기 위해 문제에 포함된 불확실성을 밝힐 필요가 없습니다. 이러한 한계의 값은 오랫동안 위대한 수학자에 의해 추론되었기 때문입니다.
첫 번째 놀라운 한계무한소 호의 사인과 동일한 호의 비율의 한계라고 하며 라디안 단위로 표시됩니다.
첫 번째 놀라운 한계에서 문제 해결로 넘어 갑시다. 참고: 극한 기호 아래에 삼각 함수가 있는 경우 이는 이 표현식이 첫 번째 주목할만한 극한으로 축소될 수 있다는 거의 확실한 신호입니다.
예시 1.한계를 찾아보세요.
해결책. 대신 대체 엑스 0은 불확실성을 초래합니다.
.
분모는 사인이므로 표현은 첫 번째 놀라운 한계에 도달할 수 있습니다. 변환을 시작해 보겠습니다.
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분모는 세 개의 X의 사인이지만 분자에는 하나의 X만 있으므로 분자에도 세 개의 X가 필요합니다. 무엇을 위해? 3개를 소개합니다 엑스 = ㅏ그리고 표현식을 얻으세요.
그리고 우리는 첫 번째 놀라운 한계의 변형에 도달했습니다.
왜냐하면 이 공식에서 X 대신 어떤 문자(변수)가 사용되는지는 중요하지 않기 때문입니다.
X에 3을 곱하고 즉시 나눕니다.
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발견된 첫 번째 놀라운 한계에 따라 분수 표현을 다음과 같이 대체합니다.
이제 마침내 이 한계를 해결할 수 있습니다.
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예시 2.한계를 찾아보세요.
해결책. 직접 대체는 다시 "0을 0으로 나눈다"라는 불확실성으로 이어집니다.
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첫 번째 놀라운 극한을 얻으려면 분자 사인 아래의 x와 분모의 x가 동일한 계수를 가져야 합니다. 이 계수를 2로 설정합니다. 이를 위해 x에 대한 현재 계수를 아래와 같이 상상하고 분수로 연산을 수행하면 다음을 얻습니다.
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예시 3.한계를 찾아보세요.
해결책. 대체하면 다시 "0을 0으로 나눈 값"이라는 불확실성을 얻게 됩니다.
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당신은 아마도 원래 표현에서 첫 번째 멋진 한계에 첫 번째 멋진 한계를 곱할 수 있다는 것을 이미 이해했을 것입니다. 이를 위해 분자의 x와 분모의 사인의 제곱을 동일한 인수로 분해하고 x와 사인에 대해 동일한 계수를 얻기 위해 분자의 x를 3으로 나누고 즉시 곱합니다. 3. 우리는 다음을 얻습니다:
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예시 4.한계를 찾아보세요.
해결책. 다시 한번 우리는 "0을 0으로 나눈 값"이라는 불확실성을 얻습니다.
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우리는 처음 두 가지 놀라운 한계의 비율을 얻을 수 있습니다. 분자와 분모를 모두 x로 나눕니다. 그런 다음 사인과 xes의 계수가 일치하도록 위쪽 x에 2를 곱하고 즉시 2로 나누고 아래쪽 x에 3을 곱하고 즉시 3으로 나눕니다.
실시예 5.한계를 찾아보세요.
해결책. 그리고 다시 "0을 0으로 나눈 값"의 불확실성은 다음과 같습니다.
우리는 삼각법에서 탄젠트는 사인과 코사인의 비율이고 코사인 0은 1과 같다는 것을 기억합니다. 우리는 변환을 수행하고 다음을 얻습니다.
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실시예 6.한계를 찾아보세요.
해결책. 극한의 부호 아래에 있는 삼각함수는 첫 번째 주목할만한 극한의 사용을 다시 제안합니다. 우리는 이를 사인 대 코사인의 비율로 표현합니다.