Sirgesse prismasse kantud kera. Kera ja pall, materjalid ja ülesanded. Kombinatsioon palli ümarate kehadega
Live Journal
Facebook
TwitterTest teemal: “Sfäär. Pall".
Koostanud: Tyulukina Oksana Aleksandrovna, MKOU 24. keskkooli matemaatikaõpetaja r.p. Jurid.
Test teemal: “Sfäär. Ball" koostati L.S. järgi õppivatele keskkooli 11. klassi õpilastele. Atanasyan, kuid seda saab edukalt kasutada teiste autorite õppematerjalide õpetamisel.
Temaatilise kontrolli käigus rakendatakse organiseerimis- ja hindamisfunktsioone. Temaatiline juhtimine võimaldab saada teavet õppematerjali dünaamika kohta nii terve klassi kui terviku kui ka iga õpilase kohta. See on eriti oluline õppeprotsessi kvaliteedi pidevaks jälgimiseks.
Testi koostamisel kasutati erinevaid teoreetilise ja praktilise iseloomuga ülesannete vorme:
Vabalt konstrueeritud vastusega ülesanded, mis nõuavad testi tegijalt iseseisvat vastuse sõnastamist (№1 - №6) ;
Lühivastustega küsimused (täiendused) №7 - №12. Õpilased on kohustatud täitma (lõpetama lause) puuduva(d) sõna(d), et väide tõeseks muutuks;
Valikvastustega küsimused ühe või mitme õige vastusega (№13 - №15). Sellised testielemendid on lisatud selleks, et tõsta testi kui terviku eristamisvõimet ja raskusastet. Nende ülesannete täitmist saab hinnata kahel viisil. Esimesel juhul - 1 punkt, kui kõik õiged vastused on õigesti märgitud, ja 0 punkti, kui on tehtud vähemalt üks viga. Teisel juhul hinnatakse iga õigesti märgitud vastusevarianti 1 punkt, siis maksimaalne võimalik punktisumma ülesande korrektse täitmise eest võrdub ülesandes saadaolevate õigete vastusevariantide arvuga.
Praktilised ülesanded probleemide lahendamiseks (№16 - №18) saab kujundada lühikese vastusega testülesannetena või üksikasjaliku vastusega testülesannetena (täislahendus koos põhjendustega).
Bibliograafia:
Geomeetria, 10-11: õpik. üldharidusasutustele: põhi- ja profiil. tasemed/[L.S.Atanasjan, V.F.Butuzov, S.B.Kadomtsev jt]. – M.: Haridus, 2010.
Pedagoogiliste testide arendamine matemaatikas. / L.O. Koreshkova, T.G.: VAKO.
Avage ühtse riigieksami ülesannete pank. www.fipi.ru.
Test teemal “Sfäär. Pall". 11. klass
Valik 1.
LLC A 1. Kuidas nimetatakse pinda, mis koosneb kõigist ruumipunktidest?
asub etteantud kaugusel
sellest punktist?
Kuidas nimetatakse lõiku, mis ühendab kuuli keskpunkti sfäärilise pinna punktiga?
Millise geomeetrilise kujundi pööramisega saab kuuli?
Kuidas nimetatakse sfääri lõiku, mille läbimõõt läbib tasapinda?
Mitu sfääri puutujat saab tõmmata läbi sfääri ühe punkti?
Kuidas nimetatakse tasapinda, millel on sfääriga ainult üks ühine punkt?
Sfääri ja tasandi kokkupuutepunkti tõmmatud sfääri raadius on ____________ puutujatasandiga.
Mida lühem on kaugus kuuli keskpunktist lõiketasandini, seda _____ on lõigu raadius.
Kahe sfääri lõikejoon on ____________.
Hulktahukat nimetatakse ____________________________, kui kõik selle tipud asuvad keral.
Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis ja ainult siis, kui ________________________________________________.
Kui kera on kirjutatud parempoolsesse prisma, siis selle keskpunkt asub _____________________, läbides prisma alustele kirjutatud ringide keskpunkte.
Kui kera puudutab hulktahuka kõiki tahke, siis nimetatakse seda...
b) kirjutatud hulktahukasse;
14. Palli saab sisse kirjutada...
a) suvaline prisma;
b) mis tahes kolmnurkpüramiid;
c) mis tahes kolmnurkne prisma;
d) püramiid, mille kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud;
e) mis tahes korrapärane püramiid;
e) mis tahes korrapärane prisma.
15. Sfääri saab kirjeldada umbes...
a) mis tahes prisma;
b) mis tahes korrapärane püramiid;
c) kaldprisma; 
d) mis tahes silinder.
Lahendage probleem:
16. Ristkülikukujuline rööptahukas
kirjeldatud 6 cm raadiusega sfääri ümber.
Leidke kogupindala
rööptahukas. 
18. Leidke silindri generatriks,
kirjeldatud 3 dm raadiusega sfääri ümber.
Test teemal “Sfäär. Pall". 11. klass
2. võimalus.
Kuidas nimetatakse sfääriga piiratud keha?
Millise geomeetrilise kujundi pööramisega saab kera?
3.Mida nimetatakse lõiku, mis ühendab kera kahte punkti ja läbib selle keskpunkti?
4. Millise geomeetrilise kujundi saadakse, kui kera lõigatakse tasapinnaga?
5. Kuidas nimetatakse sfääri lõiku, mida läbib selle keskpunkti läbiv tasapind?
6. Mitu ühist punkti on keral ja tasapinnal, kui kaugus kera keskpunktist tasapinnani on võrdne kera raadiusega?
Täida lüngad):
7. Sfääri ja sirge kokkupuutepunkti tõmmatud sfääri raadius on _______________ selle sirge suhtes.
8. Mida väiksem on kuuli tasapinna lõike raadius, seda _________ kaugus kuuli keskpunktist lõiketasandini.
9. Kui palli sisse tõmmatakse kaks suurt ringi, siis on nende ühine lõik kuuli _____________.
10. Kui hulktahuka iga tahk on sfääri puutuja, siis nimetatakse sellist hulktahukat _____.
11. Kera (kuuli) saab püramiidi sisse kirjutada siis ja ainult siis, kui ___________________________________________________.
12. Parempoolse prisma ümber piiritletud sfääri keskpunkt asub __________________, mis on tõmmatud läbi aluse ümber piiritletud ringi keskpunkti.
Valige õige(d) vastus(ed):
13.Kui kõik hulktahuka tipud asuvad keral, siis nimetatakse seda...
a) kirjeldatud hulktahuka ümber;
b) kirjutatud hulktahukasse;
c) hulktahuka puutuja.
14. Palli võib kirjeldada umbes...
a) mis tahes koonus;
b) suvaline nelinurkne prisma;
c) mis tahes korrapärane prisma;
d) püramiidid, mille külgservad on võrdsed;
e) mis tahes kolmnurkne püramiid;
e) kaldprisma.
15. Sirgesse prismasse, mille põhja on kantud ring, saab kirjutada kera, kui...
a) prisma kõrgus võrdub sisse kirjutatud ringi läbimõõduga;
b) kera kese asub prisma kõrgusel;
c) prisma kõrgus võrdub sisse kirjutatud ringjoone raadiusega.
Lahendage probleem:
16. Korrapärasesse nelinurkprismasse
on sisse kirjutatud kera raadiusega 4 cm
prisma kogupindala.
17. Kuuli kirjeldatakse servaga kuubi lähedal.
Leidke sfääri pindala.
18. Leidke sissekirjutatud sfääri raadius
silindrisse, mille generatrix
võrdne 16 m.
Valik 1.
864 cm 2
Kera.
Raadius.
Poolring.
Suur ring.
Lõpmatult palju.
Puutetasand.
risti
rohkem
ümbermõõt
kuuluvad sfääri
ümber selle aluse saab tõmmata ringi
sirgjoonel
b, d, d
2. võimalus.
Poolringid.
Läbimõõt.
Ring.
Suur ring.
Üks.
risti
rohkem
läbimõõt
sfääri ümber kirjeldatud
selle põhjale saab kirjutada ringi
kõrgel
a, c, d, d
XV LINNA AVATUD ÕPILASTE KONVERENTS
"XXI SAJANDI INTELLEKTUAALID"
Sektsioon: MATEMAATIKA
Kirjeldatud ala olümpiaadidel ja ühtsel riigieksamil
Kiyaeva Anna Anatolevna
Orenburg – 2008
1.2 Kirjeldatud ulatust
1.2.1 Põhiomadused ja määratlused
1.2.2 Püramiidi kombinatsioon
1.2.3 Kombinatsioon prismaga
1.2.4 Kombinatsioon silindriga
1.2.5 Kombinatsioon koonusega
2 Olümpiaadiülesannete näited
2.1 Näiteid püramiidiga olümpiaadiülesannetest
2.2 Olümpiaadiülesannete näited prismaga
2.3 Olümpiaadiülesannete näited silindriga
2.4 Olümpiaadiülesannete näited koonusega
3.3 Näited ühtse riigieksami ülesannetest silindriga
3.4 Koonusega ühtse riigieksami ülesannete näited
Sissejuhatus
Seda tööd tehakse osana projektist, mille eesmärk on luua internaatlütseumi veebisaidil koolinoortele mõeldud matemaatiline leht ja see postitatakse rubriiki “Matemaatikameetodid”.
Sihtmärk töö - teatmeraamatu loomine, mis on pühendatud kirjeldatud sfääriga geomeetriliste ülesannete lahendamise meetodile olümpiaadidel ja ühtsel riigieksamil.
Selle eesmärgi saavutamiseks pidime lahendama järgmise ülesandeid :
1) tutvuda kirjeldatud sfääri mõistega;
2) uurib kirjeldatud kera püramiidi, prisma, silindri ja koonusega kombinatsioonide tunnuseid;
3) geomeetriliste ülesannete hulgast valida need, mis sisaldavad kirjeldatud sfääri olemasolu tingimust;
4) analüüsib, süstematiseerib ja liigitab kogutud materjali;
5) teeb iseseisvaks lahendamiseks ülesannete valiku;
6) esitleb uurimistulemust referaadi vormis.
Uurimistöö käigus saime teada, et kirjeldatud valdkonnaga seotud ülesandeid pakutakse kooliõpilastele ühtsel riigieksamil üsna sageli, mistõttu on seda tüüpi ülesannete lahendamise oskus eksamite edukal sooritamisel väga oluline. Samuti esineb kirjeldatud alaga probleeme sageli erinevatel tasemetel matemaatikaolümpiaadidel. Asjakohased näited on toodud meie töös. See teema on asjakohane, kuna seda tüüpi ülesanded põhjustavad tavaliselt koolilastele raskusi.
Praktiline tähtsus– meie koostatud materjale saab kasutada koolinoorte ettevalmistamisel olümpiaadideks, ühtseks riigieksamiks ja järgnevateks õpinguteks ülikoolis.
1 Kera ja pall
1.1 Kera ja pall: põhimõisted ja määratlused
Kera on pind, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis asuvad antud punktist etteantud kaugusel.
Seda punkti nimetatakse sfääri keskpunkt(punkt KOHTA joonisel fig. 1) ja see kaugus sfääri raadius. Mis tahes lõiku, mis ühendab sfääri keskpunkti ja mis tahes punkti, nimetatakse ka sfääri raadiuseks. Nimetatakse sirglõiku, mis ühendab sfääri kahte punkti ja läbib selle keskpunkti sfääri läbimõõt(joonelõik DC joonisel fig. 1). Pange tähele, et kera saab saada poolringi ümber selle läbimõõdu pööramisega.
Pall nimetatakse sfääriga piiratud kehaks. Nimetatakse ka sfääri keskpunkti, raadiust ja läbimõõtu Keskus , raadius Ja palli läbimõõt. Ilmselgelt raadiusega pall R tsentreeritud aadressil KOHTA sisaldab kõiki ruumipunkte, mis asuvad punktist KOHTA kaugusel, mis ei ületa R(kaasa arvatud punkt KOHTA) ja ei sisalda muid punkte. Pall nimetatakse ka poolringi ümber selle läbimõõdu pöörlemise figuuriks. Palli segment- osa pallist on sellest mingi tasapinnaga ära lõigatud. Iga palli lõik tasapinnal on ring. Selle ringi keskpunkt on kuuli keskpunktist lõiketasandile tõmmatud risti alus. Kuuli keskpunkti läbivat tasapinda nimetatakse diametraalne tasapind. Kuuli läbilõiget diametraaltasandil nimetatakse suur ring, ja sfääri lõik on suur ring. Palli sektor – geomeetriline keha, mis saadakse ringikujulise sektori, mille nurk on väiksem kui 90°, pööramisel ümber sirgjoone, mis sisaldab ühte ringikujulist sektorit piiravatest raadiustest. Sfääriline sektor koosneb sfäärilisest segmendist ja koonusest, millel on ühine alus.
Kera pindala:
S = 4π R 2 ,
Kus R- palli raadius, S- sfääri pindala.
Sfääri maht
Kus V- palli maht
Pallisektori maht
,V – sfäärilise segmendi maht.
Segmendi pindala
- segmendi kõrgus, segmendi pindalaSegmendi aluse raadius
, - segmendi aluse raadius, - segmendi kõrgus, 0<H
<
2R
.
Kuulisegmendi sfääriline pindala
- sfäärilise segmendi sfäärilise pinna pindala.Palli ja lennuki ruumis on võimalikud kolm juhtumit:
1) Kui kaugus palli keskpunktist tasapinnani on suurem kui kuuli raadius, siis ei ole kuulil ja tasapinnal ühiseid punkte.
2) Kui kaugus kuuli keskpunktist tasapinnani on võrdne kuuli raadiusega, siis on tasapinnal ainult üks ühine punkt kuuli ja seda piirava sfääriga.
3) Kui kaugus palli keskpunktist tasapinnani on väiksem kui kuuli raadius, siis on kuuli ristumiskoht tasapinnaga ringjoon. Selle ringi keskpunkt on kuuli keskpunkti projektsioon antud tasapinnale. Tasapinna ristumiskoht sfääriga on määratud ringi ümbermõõt.
1.2 Kirjeldatud sfäär
1.2.1 Mõisted ja omadused
Sfääri nimetatakse kirjeldatud hulktahuka ümber(ja hulktahukas on kuuluvad sfääri), kui kõik hulktahuka tipud asuvad keral.
Kirjeldatud sfääri määratlusest tuleneb kaks fakti:
1) kõik sfääri kirjutatud hulktahuka tipud on teatud punktist (piiratud sfääri keskpunktist) võrdsel kaugusel;
2) sfääri sisse kirjutatud hulktahuka iga tahk on hulknurk, mis on kantud kindlasse ringi, just selles ringis, mis saadakse sfääri lõikes sfääri tasapinnaga; sel juhul on tahkude tasapinnal piiritletud sfääri keskpunktist langetatud perpendikulaaride aluseks tahkude ümber piiratud ringide keskpunktid.
1. teoreem . Sfääri saab kirjeldada ümber hulktahuka siis ja ainult siis, kui on täidetud mõni järgmistest tingimustest:
a) ringjoont saab kirjeldada ümber hulktahuka tahkude ja hulktahuka tahkude ümber kirjeldatud ringide teljed ristuvad ühes punktis;
b) hulktahuka servadega risti olevad ja nende keskpunkte läbivad tasapinnad lõikuvad ühes punktis;
c) hulktahuka kõigist tippudest on üks punkt võrdsel kaugusel.
Tõestus.
Vajadus. Olgu kirjeldatud hulktahuka ümber kera. Tõestame, et tingimus a) on täidetud. Tõepoolest, kuna hulktahuka antud tahu tasapind lõikub sfääriga piki ringi, siis sfäärile kuuluva tahu tipud ja näo tasapind kuuluvad nende lõikejoonele - ringile. Kuna sfääri keskpunkt on antud tahu kõigist tippudest võrdsel kaugusel, asetseb see selle küljega risti, mis on tõmmatud läbi tahu ümberpiiratud ringi keskpunkti.
Adekvaatsus. Olgu tingimus a) täidetud. Tõestame, et sfääri saab kirjeldada ümber hulktahuka. Tegelikult, kuna läbi tahkudega ümbritsetud ringide keskpunktide tõmmatud tahkude ühine punkt on polühedri kõigist tippudest võrdsel kaugusel, kirjeldatakse hulktahuka ümber kera, mille keskpunkt on selles punktis.
Tingimus a) on antud juhul samaväärne tingimustega b ja c).
Kui kera on ümbritsetud hulktahuka ümber, siis: a) sfääri keskpunktist suvalise tahu külge langetatud ristnurga alus on selle tahu ümber ümbritsetud ringi keskpunkt (nagu püramiidi kõrguse alus, mille kõrgus on võrdne külgmised servad - sfääri raadiused, mis on tõmmatud selle keskpunktist antud tahu tippudeni ); b) ümber hulktahuka ümbritsetud sfääri keskpunkt võib asuda hulktahukas sees, selle pinnal (ümber tahu ümbritsetud ringi keskpunktis, eelkõige mõne serva keskel), polüeedrist väljaspool.
1.2.2 Piiratud kera ja püramiid
Teoreem 2 . Kera saab kirjeldada ümber püramiidi siis ja ainult siis, kui saab kirjeldada ringi ümber selle aluse.
Tõestus. Olgu kirjeldatud ring ümber püramiidi aluse. Seejärel määratlevad see ring ja selle ringi tasapinnast väljaspool asuv punkt – püramiidi tipp – ühe sfääri, mis on ümbritsetud püramiidiga. Ja tagasi. Kui kera on ümbritsetud püramiidi ümber, siis sfääri läbilõige püramiidi aluse tasandi järgi on ümber aluse ümbritsetud ring.
Järeldus 1. Sfääri saab kirjeldada mis tahes tetraeedri ümber.
Või kera. Nimetatakse mis tahes lõiku, mis ühendab kuuli keskpunkti sfäärilise pinna punktiga raadius. Nimetatakse segmenti, mis ühendab kahte punkti sfäärilisel pinnal ja läbib kuuli keskpunkti läbimõõt. Mis tahes läbimõõduga otsad nimetatakse palli diametraalselt vastassuunalisteks punktideks.Igasuguseid asju palli sektsioon seal on lennuk ring. Selle ringi keskpunkt on keskpunktist lõiketasapinnani tõmmatud risti alus.Kuuli keskpunkti läbivat tasapinda nimetatakse kesktasand. Kuuli läbilõiget diametraaltasandil nimetatakse suur ring, ja sfääri lõik on suur ring. Palli suvaline diametraaltasand on tema sümmeetriatasand. Palli keskpunkt on tema sümmeetria keskpunkt. Tasapinda, mis läbib sfäärilise pinna punkti ja on risti sellesse punkti tõmmatud raadiusega, nimetatakse puutuja tasapind. Seda punkti nimetatakse kokkupuutepunkt. Puutujatasandil on kuuliga ainult üks ühine punkt – kokkupuutepunkt.Sirget, mis läbib sfäärilise pinna antud punkti, mis on risti selle punkti raadiusega, nimetatakse puutuja. Sfäärilise pinna mis tahes punkti läbib lõpmatu arv puutujaid ja kõik need asuvad kuuli puutujatasandil.Palli segment Sellest tasapinna poolt ära lõigatud palli osa nimetatakse.Palli kiht nimetatakse kuuli osa, mis asub kahe paralleelse palliga lõikuva tasandi vahel.Palli sektor saadud sfäärilisest segmendist ja koonusest.Kui sfääriline segment on poolkerast väiksem, siis sfäärilist lõiku täiendab koonus, mille tipp asub kuuli keskel ja alus on segmendi alus.Kui segment on suurem kui poolkera, eemaldatakse sellest määratud koonus. Põhivalemid
Pall (R = OB – raadius):Sb = 4πR2; V = 4πR 3/3.Kuuli segment (R = OB – kuuli raadius, h = SC – segmendi kõrgus, r = KV – segmendi aluse raadius):V segment = πh 2 (R - h / 3)või V segm = πh(h 2 + 3r 2) / 6;
S segm = 2πRh.Kuulisektor (R = OB – kuuli raadius, h = SK – segmendi kõrgus):V = V segment ± V con, "+"- kui segment on väiksem, "-" - kui segment on suurem kui poolkera.või V = V segm + V con = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3.
Sfääriline kiht (R 1 ja R 2 - sfäärilise kihi aluste raadiused; h = SC - sfäärilise kihi kõrgus või aluste vaheline kaugus):V sh/sl = πh 3/6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2;
S w/sl = 2πRh.Näide 1.Kera ruumala on 288π cm 3 . Leidke palli läbimõõt.LahendusV = πd 3/6288π = πd 3/6πd3 = 1728πd3 = 1728d = 12 cm.Vastus: 12.Näide 2.Kolm võrdset sfääri raadiusega r puudutavad üksteist ja mingit tasapinda. Määrake kolme andme ja antud tasapinna puutuja neljanda sfääri raadius.Lahendus 
Olgu O 1, O 2, O 3 nende sfääride keskpunktid ja O neljanda sfääri keskpunkt, mis puudutab kolme andmeid ja antud tasandit. Olgu A, B, C, T sfääride kokkupuutepunktid antud tasapinnaga. Seetõttu asuvad kahe sfääri kokkupuutepunktid nende sfääride keskpunktide joonel O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. Seetõttu on punktid ABC tasapinnast võrdsel kaugusel AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1- võrdsed ristkülikud, seega on ∆ABC võrdkülgne küljega 2r. Lase x on neljanda sfääri soovitud raadius. Siis OT = x. Seetõttu Sarnaselt 
See tähendab, et T on võrdkülgse kolmnurga keskpunkt. Seega siitVastus: r/3. Püramiidi sisse kirjutatud keraIgasse korrapärasesse püramiidi saab kirjutada kera. Kera kese asub püramiidi kõrgusel selle lõikepunktis püramiidi aluse servas oleva lineaarnurga poolitajaga.kommenteerida. Kui püramiidi saab kirjutada kera, mis ei pruugi olla korrapärane, saab selle sfääri raadiuse r arvutada valemiga r = 3V / S pp, kus V on püramiidi ruumala, S pp on pindala selle kogupinnast.Näide 3.Kooniline lehter aluse raadiusega R ja kõrgusega H täidetakse veega. Raske pall lastakse lehtrisse. Milline peaks olema kuuli raadius, et palli sukeldatud osa poolt lehtrist välja tõrjutud vee maht oleks maksimaalne?LahendusJoonistame lõigu läbi koonuse keskpunkti. See lõik moodustab võrdhaarse kolmnurga. 
Kui lehtris on kuul, on selle raadiuse maksimaalne suurus võrdne saadud võrdhaarsesse kolmnurka kirjutatud ringi raadiusega.Kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius on võrdne:r = S / p, kus S on kolmnurga pindala, p on selle poolperimeeter.Võrdhaarse kolmnurga pindala on võrdne poole kõrgusega (H = SO) korda baasist. Kuid kuna alus on kaks korda suurem kui koonuse raadius, siis S = RH.Poolperimeeter on p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m on võrdhaarse kolmnurga iga võrdse külje pikkus;R on koonuse aluse moodustava ringi raadius.Leiame m, kasutades Pythagorase teoreemi: 
, kusLühidalt näeb see välja selline: 
Vastus: Näide 4.Tavalises kolmnurkses püramiidis, mille kahetahulise nurga all on α, on kaks kuuli. Esimene pall puudutab kõiki püramiidi tahke ja teine pall puudutab kõiki püramiidi ja esimese palli külgi. Leidke esimese kuuli raadiuse ja teise kuuli raadiuse suhe, kui tgα = 24/7.Lahendus 
Lase RABC on tavaline püramiid ja punkt H on selle aluse ABC keskpunkt. Olgu M serva BC keskpunkt. Siis on kahetahulise nurga lineaarnurk, mis tingimuse järgi on võrdne α ja α< 90°
. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН
в точке его пересечения с биссектрисой .
Lase НН 1 - esimese kuuli läbimõõt ja tasapind, mis läbib punkti Н 1, mis on risti sirgjoonega РН, lõikab külgservi RA, РВ, РС vastavalt punktides А 1, В 1, С 1. Siis on H 1 õige ∆A 1 B 1 C 1 keskpunkt ja püramiid RA 1 B 1 C 1 on sarnane püramiidiga RABC sarnasuskoefitsiendiga k = PH 1 / PH. Pange tähele, et teine kuul, mille keskpunkt on punktis O 1, on kantud püramiidi RA 1 B 1 C 1 ja seetõttu on sisse kirjutatud kuulide raadiuste suhe võrdne sarnasuskoefitsiendiga: OH / OH 1 = RN / RN 1. Võrdusest tgα = 24/7 leiame: Lase AB = x. SiisSeega soovitud suhe OH / O 1 H 1 = 16/9.Vastus: 16/9. Prismasse kantud keraLäbimõõt Prismasse kantud kera D on võrdne prisma kõrgusega H: D = 2R = H. Raadius Prismasse kantud sfääri R on võrdne prisma risti lõigule kantud ringi raadiusega.Kui kera on kantud sirge prisma sisse, siis saab selle prisma alusele kirjutada ringi. Raadius Täisprismasse kantud sfääri R on võrdne prisma põhja kantud ringi raadiusega.1. teoreemSirge prisma alusele kantakse ringjoon ja prisma kõrgus H võrdub selle ringi läbimõõduga D. Siis saab sellesse prismasse kirjutada kera läbimõõduga D. Selle sisse kirjutatud sfääri keskpunkt langeb kokku prisma alustele kantud ringide keskpunkte ühendava segmendi keskpunktiga.Tõestus 
Olgu ABC...A 1 B 1 C 1... sirge prisma ja O ringi keskpunkt, mis on kantud selle alusele ABC. Siis on punkt O aluse ABC kõigist külgedest võrdsel kaugusel. Olgu O 1 punkti O ortogonaalprojektsioon alusele A 1 B 1 C 1. Siis on O 1 võrdsel kaugusel aluse kõikidest külgedest A 1 B 1 C 1 ja OO 1 || AA 1. Siit järeldub, et sirgjoon OO 1 on paralleelne prisma külgpinna iga tasapinnaga ja lõigu OO 1 pikkus võrdub prisma kõrgusega ja kokkuleppeliselt selle alusele kantud ringi läbimõõduga. prismast. See tähendab, et lõigu OO 1 punktid on prisma külgpindadest võrdsel kaugusel ja lõigu OO 1 keskmine F, mis on võrdsel kaugusel prisma aluste tasapindadest, on võrdsel kaugusel prisma kõikidest tahkudest. . See tähendab, et F on prismasse kantud sfääri keskpunkt ja selle sfääri läbimõõt on võrdne prisma põhja kantud ringi läbimõõduga. Teoreem on tõestatud.2. teoreemOlgu kaldprisma ristilõike sisse kirjutatud ringjoon ja prisma kõrgus võrdub selle ringi läbimõõduga. Siis saab sellesse kaldprismasse kirjutada kera. Selle sfääri keskpunkt jagab ristilõiget läbiva ringi keskpunkti läbiva kõrguse pooleks.Tõestus 
Olgu ABC...A 1 B 1 C 1... kaldprisma ja F ringjoone keskpunkt, mille raadius on FK selle ristilõike. Kuna prisma ristilõige on risti selle külgpinna iga tasapinnaga, on selle lõigu külgedele tõmmatud ristlõikesse kirjutatud ringi raadiused risti prisma külgpindadega. Seetõttu on punkt F kõigist külgpindadest võrdsel kaugusel.Tõmbame läbi punkti F prisma aluste tasandiga risti oleva sirge OO 1, mis lõikub neid aluseid punktides O ja O 1. Siis OO 1 on prisma kõrgus. Kuna tingimusel OO 1 = 2FK, siis F on lõigu OO 1 keskpunkt:FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1, st. punkt F on eranditult prisma kõigi tahkude tasanditest võrdsel kaugusel. See tähendab, et antud prismasse saab kirjutada sfääri, mille keskpunkt langeb kokku punktiga F – selle prisma ristilõike sisse kirjutatud ringi keskpunkt, mis jagab punkti F läbiva prisma kõrguse pooleks. Teoreem on tõestatud.Näide 5.Raadiusega 1 kera on kantud ristkülikukujulisse rööptahukusse. Leidke rööptahuka ruumala.Lahendus 
Joonistage pealtvaade. Või kõrvalt. Või eest. Näete sama asja – ristkülikusse kirjutatud ringi. Ilmselgelt on see ristkülik ruut ja rööptahukas kuubik. Selle kuubi pikkus, laius ja kõrgus on kaks korda suuremad kui kuuli raadius.AB = 2 ja seetõttu on kuubi maht 8.Vastus: 8.Näide 6.Regulaarses kolmnurkses prismas, mille põhikülg on võrdne , on kaks kuuli. Esimene kuul on prismasse kirjutatud ja teine kuul puudutab prisma ühte alust, selle kahte külgpinda ja esimest kuuli. Leidke teise palli raadius.Lahendus 
Olgu ABCA 1 B 1 C 1 korrapärane prisma ning punktid P ja P 1 selle aluste keskpunktid. Siis on sellesse prismasse kantud kuuli O keskpunkt lõigu PP 1 keskpunkt. Vaatleme lennukit RVV 1. Kuna prisma on korrapärane, asub PB segmendil BN, mis on poolitaja ja kõrgus ΔABC. Järelikult on tasapind külgserva BB 1 kahetahulise nurga poolitustasand. Seetõttu on selle tasapinna mis tahes punkt külgpindadest AA 1 BB 1 ja CC 1 B 1 B võrdsel kaugusel. Täpsemalt, risti OK, mis on langetatud punktist O näole ACC 1 A 1, asub tasapinnal RVV 1 ja on võrdne segmendiga OR.Pange tähele, et KNPO on ruut, mille külg on võrdne antud prismasse kantud kuuli raadiusega. Lase O 1 on kuuli keskpunkt, mis puudutab sissekirjutatud kuuli keskpunktiga O ja prisma külgpinnad AA 1 BB 1 ja CC 1 B 1 B. Siis asub punkt O 1 tasapinnal РВВ 1 ja selle projektsioon Р 2 tasapinnale ABC asub lõigul РВ.Vastavalt tingimusele on aluse külg võrdneTeema “Erinevad ülesanded hulktahukal, silindril, koonusel ja kuulil” on 11. klassi geomeetria kursuse üks raskemaid. Enne geomeetriliste ülesannete lahendamist tutvuvad nad tavaliselt teooria vastavate osadega, millele ülesannete lahendamisel viidatakse. S. Atanasyani ja teiste selleteemalisest õpikust (lk 138) võib leida vaid sfääri ümber kirjeldatud hulktahuka, sfääri sisse kirjutatud hulktahuka, polüeedrisse kantud sfääri ja sfääri ümber kirjeldatud sfääri definitsioonid. hulktahukas. Selle õpiku metoodilistes soovitustes (vt S. M. Sahakyani ja V. F. Butuzovi raamatut „Geomeetria õppimine 10.–11. klassis”, lk 159) on kirjas, milliseid kehade kombinatsioone ülesannete nr 629–646 lahendamisel arvesse võetakse, ja juhitakse tähelepanu. asjaolule, et „konkreetse probleemi lahendamisel tuleb eelkõige tagada, et õpilased saaksid hästi aru tingimuses märgitud kehade suhtelistest asenditest“. Järgnevalt on toodud ülesannete nr 638(a) ja nr 640 lahendus.
Arvestades kõike eeltoodut ja asjaolu, et õpilaste jaoks on kõige raskemad probleemid palli kombineerimine teiste kehadega, on vajalik vastavad teoreetilised põhimõtted süstematiseerida ja õpilastele edastada.
Definitsioonid.
1. Kuuli nimetatakse polüeedrisse sissekirjutatuks ja kuuli ümber kirjeldatavaks hulktahuks, kui kuuli pind puudutab hulktahuka kõiki tahke.
2. Kuuli nimetatakse ümber hulktahukaks piiritletuks ja kuuli sissekirjutatuks, kui kuuli pind läbib kõik hulktahuka tipud.
3. Kuuli nimetatakse silindrisse, tüvikoonusesse (koonusesse) ja silinder, tüvikoonusesse (koonus) on ümbritsetud kuuliga, kui kuuli pind puudutab aluseid (aluseid) ja kõik silindri generatriksid, tüvikoonus (koonus).
(Sellest definitsioonist järeldub, et kuuli suurring võib olla kantud nende kehade mis tahes telglõikesse).
4. Kuuli nimetatakse ümber silindri, tüvikoonuse (koonuse), kui aluste ringid (alusring ja tipp) kuuluvad kuuli pinnale.
(Sellest definitsioonist järeldub, et nende kehade mis tahes telglõike ümber saab kirjeldada kuuli suurema ringi ringjoont).
Üldised märkused palli keskpunkti asukoha kohta.
1. Hulktahukasse kantud kuuli kese asub polüeedri kõigi kahetahuliste nurkade poolitajate tasandite lõikepunktis. See asub ainult hulktahuka sees.
2. Hulktahuka ümber ümbritsetud kuuli keskpunkt asub hulktahuka kõigi servadega risti olevate ja nende keskpunkte läbivate tasapindade lõikepunktis. See võib paikneda hulktahukast sees, pinnal või väljaspool.
Kera ja prisma kombinatsioon.
1. Sirgesse prismasse kantud kuul.
1. teoreem. Kera saab sirge prisma sisse kirjutada siis ja ainult siis, kui prisma põhja saab kirjutada ringjoone ja prisma kõrgus on võrdne selle ringi läbimõõduga.
Järeldus 1. Parempoolsesse prismasse kantud sfääri keskpunkt asub prisma kõrguse keskpunktis, mis läbib alusesse kantud ringi keskpunkti.
Järeldus 2. Eelkõige saab kuuli kirjutada sirgjoontega: kolmnurkne, korrapärane, nelinurkne (milles aluse vastaskülgede summad on üksteisega võrdsed) tingimusel H = 2r, kus H on kuuli kõrgus. prisma, r on alusesse kantud ringi raadius.
2. Prisma ümber piiratud pall.
2. teoreem. Kera saab kirjeldada prisma ümber siis ja ainult siis, kui prisma on sirge ja selle aluse ümber saab kirjeldada ringjoont.
Järeldus 1. Ümber sirge prisma ümbritsetud sfääri keskpunkt asub prisma kõrguse keskpunktis, mis on tõmmatud läbi aluse ümber piiratud ringi keskpunkti.
Järeldus 2. Eelkõige võib palli kirjeldada: täisnurkse kolmnurkse prisma lähedal, korrapärase prisma lähedal, ristkülikukujulise rööptahuka lähedal, täisnurkse nelinurkse prisma lähedal, milles aluse vastasnurkade summa on 180 kraadi.
L.S Atanasyani õpikust saab palli ja prisma kombinatsiooni jaoks välja pakkuda ülesanded nr 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b).
Palli ja püramiidi kombinatsioon.
1. Püramiidi lähedal kirjeldatud pall.
3. teoreem. Palli saab kirjeldada ümber püramiidi siis ja ainult siis, kui saab kirjeldada ringi ümber selle aluse.
Järeldus 1.Ümber püramiidi ümbritsetud sfääri keskpunkt asub püramiidi põhjaga risti oleva sirge lõikepunktis, mis läbib selle aluse ümber ümbritsetud ringi keskpunkti ja tasandit, mis on risti mis tahes külgservaga, mis on tõmmatud läbi püramiidi keskosa. see serv.
Järeldus 2. Kui püramiidi külgmised servad on üksteisega võrdsed (või aluse tasapinna suhtes võrdselt kaldu), saab sellise püramiidi ümber kirjeldada kuuli, mille keskpunkt asub antud juhul ristumispunktis püramiidi (või selle laiendi) kõrgus tasapinnas paikneva külgserva sümmeetriateljega külgserv ja kõrgus.
Järeldus 3. Eriti palli saab kirjeldada: kolmnurkpüramiidi lähedal, tavalise püramiidi lähedal, nelinurkse püramiidi lähedal, mille vastasnurkade summa on 180 kraadi.
2. Püramiidi sisse kirjutatud pall.
4. teoreem. Kui püramiidi külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud, saab sellisesse püramiidi sisse kirjutada palli.
Järeldus 1. Püramiidi, mille külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud püramiidi sisse kirjutatud kuuli kese asub püramiidi kõrguse lõikepunktis püramiidi põhjas asuva mis tahes kahetahulise nurga lineaarnurga poolitajaga, mille külg millest on püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgus.
Järeldus 2. Saate palli sobitada tavalisse püramiidi.
L.S Atanasyani õpikust saab palli ja püramiidi kombinatsiooni jaoks välja pakkuda ülesanded nr 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641.
Kombinatsioon pallist kärbitud püramiidiga.
1. Korrapärase kärbitud püramiidi ümber piiratud pall.
5. teoreem. Sfääri saab kirjeldada mis tahes korrapärase kärbitud püramiidi ümber. (See tingimus on piisav, kuid mitte vajalik)
2. Korrapärasesse kärbitud püramiidi sisse kirjutatud kuul.
6. teoreem. Kuuli saab kirjutada tavalisesse kärbitud püramiidi siis ja ainult siis, kui püramiidi apoteem on võrdne aluste apoteemide summaga.
L.S.-i õpikus (nr 636) on palli ja kärbitud püramiidi kombinatsiooni puhul vaid üks probleem.
Kombinatsioon palli ümarate kehadega.
7. teoreem. Kera võib kirjeldada silindri, tüvikoonuse (sirge ringikujulise) või koonuse ümber.
8. teoreem. Kuuli saab kirjutada (sirgesse ümmargusesse) silindrisse siis ja ainult siis, kui silinder on võrdkülgne.
9. teoreem. Saate palli sobitada mis tahes koonusesse (sirge ringikujuline).
10. teoreem. Kuuli saab kirjutada kärbikoonusesse (sirgesse ringikujuliseks) siis ja ainult siis, kui selle generaator on võrdne aluste raadiuste summaga.
L.S Atanasyani õpikust saab välja pakkuda ülesanded nr 642, 643, 644, 645, 646 ümarate kehadega palli kombineerimiseks.
Selle teema materjali edukamaks õppimiseks on vaja tundidesse lisada suulisi ülesandeid:
1. Kuubi serv võrdub a-ga. Leidke kuulide raadiused: kuubi sisse kirjutatud ja selle ümber piiritletud. (r = a/2, R = a3).
2. Kas on võimalik kirjeldada kera (palli) ümber: a) kuubi; b) ristkülikukujuline rööptahukas; c) kaldus rööptahukas, mille põhjas on ristkülik; d) sirge rööptahukas; e) kaldus rööptahukas? a) jah; b) jah; c) ei; d) ei; d) ei)
3. Kas vastab tõele, et sfääri saab kirjeldada mis tahes kolmnurkse püramiidi ümber? (jah)
4. Kas suvalise nelinurkse püramiidi ümber olevat kera on võimalik kirjeldada? (Ei, mitte ühegi nelinurkse püramiidi lähedal)
5. Millised omadused peavad olema püramiidil, et kirjeldada teda ümbritsevat kera? (Selle põhjas peaks olema hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi)
6. Püramiid on sisse kirjutatud sfääri, mille külgserv on aluse suhtes risti. Kuidas leida kera keskpunkt? (Sfääri keskpunkt on kahe ruumipunktide geomeetrilise lookuse lõikepunkt. Esimene on risti, mis on tõmmatud püramiidi aluse tasapinnaga läbi selle ümberringi keskpunkti. Teine on tasapind risti etteantud külgservaga ja tõmmatud läbi selle keskosa)
7. Millistel tingimustel saab kirjeldada prisma ümber olevat kera, mille põhjas on trapets? (Esiteks peab prisma olema sirge ja teiseks peab trapets olema võrdhaarne, et selle ümber saaks kirjeldada ringjoont)
8. Milliseid tingimusi peab prisma täitma, et seda ümbritsev kera saaks kirjeldada? (Prisma peab olema sirge ja selle alus peab olema hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi)
9. Kolmnurkse prisma ümber kirjeldatakse kera, mille keskpunkt asub prismast väljaspool. Milline kolmnurk on prisma alus? (nüri kolmnurk)
10. Kas on võimalik kirjeldada kera ümber kaldprisma? (Ei, sa ei saa)
11. Millisel tingimusel paikneb täisnurkse kolmnurkse prisma ümber piiritletud sfääri keskpunkt prisma ühel külgpinnal? (Alus on täisnurkne kolmnurk)
12. Püramiidi alus on võrdhaarne trapets Püramiidi tipu ristprojektsioon aluse tasapinnale on punkt, mis asub väljaspool trapetsi. Kas sellise trapetsi ümber olevat kera on võimalik kirjeldada? (Jah, saab. Asjaolu, et püramiidi tipu ristprojektsioon asub väljaspool selle alust, ei oma tähtsust. Oluline on, et püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets – hulknurk, mille ümber saab ringjoont teha. kirjeldatud)
13. Korrapärase püramiidi lähedal kirjeldatakse kera. Kuidas asub selle keskpunkt püramiidi elementide suhtes? (Sfääri keskpunkt on risti, mis on tõmmatud aluse tasapinnaga läbi selle keskpunkti)
14. Mis tingimusel asub täisnurkse kolmnurkse prisma ümber kirjeldatud sfääri keskpunkt: a) prisma sees; b) väljaspool prismat? (Prisma põhjas: a) terav kolmnurk; b) nüri kolmnurk)
15. Kirjeldatakse kera ristkülikukujulise rööptahuka ümber, mille servad on 1 dm, 2 dm ja 2 dm. Arvutage sfääri raadius. (1,5 dm)
16. Millisesse tüvikoonusesse kera mahub? (Tärkkoonuses, mille telglõikesse saab sisse kirjutada ringjoone. Koonuse telglõik on võrdhaarne trapets, selle aluste summa peab olema võrdne tema külgmiste külgede summaga. Teisisõnu, koonuse aluste raadiuste summa peab olema võrdne generaatoriga)
17. Tüvikoonusesse on sisse kirjutatud kera. Millise nurga all on koonuse generatriks sfääri keskpunktist nähtav? (90 kraadi)
18. Milline omadus peab olema sirgel prismal, et sellesse saaks sisse kirjutatud kera? (Esiteks peab sirge prisma põhjas olema hulknurk, kuhu saab kirjutada ringi, ja teiseks peab prisma kõrgus olema võrdne alusesse kantud ringi läbimõõduga)
19. Too näide püramiidist, mis ei mahu sfääri külge? (Näiteks nelinurkne püramiid, mille põhjas on ristkülik või rööpkülik)
20. Sirge prisma põhjas on romb. Kas sellesse prismasse on võimalik kera mahutada? (Ei, see on võimatu, kuna üldiselt on võimatu kirjeldada ringi ümber rombi)
21. Mis tingimusel saab sfääri kirjutada täisnurksesse kolmnurkprismasse? (Kui prisma kõrgus on kaks korda suurem kui alusesse kantud ringi raadius)
22. Millisel tingimusel saab kera kirjutada korrapärasesse nelinurksesse tüvipüramiidi? (Kui antud püramiidi ristlõige on tasapind, mis läbib sellega risti oleva aluse külje keskkohta, on tegemist võrdhaarse trapetsiga, millesse saab kirjutada ringi)
23. Kolmnurksesse tüvipüramiidi on sisse kirjutatud kera. Milline püramiidi punkt on sfääri keskpunkt? (Sellesse püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt on püramiidi ja aluse külgpindade poolt moodustatud kolme nurkade poolitamise tasandi ristumiskohas)
24. Kas silindri ümber olevat kera on võimalik kirjeldada (parem ringjoon)? (Jah, sa saad)
25. Kas on võimalik kirjeldada kera ümber koonuse, tüvikoonust (sirge ringikujuline)? (Jah, saate mõlemal juhul)
26. Kas sfääri on võimalik igasse silindrisse mahutada? Millised omadused peavad olema silindril, et sellesse kera mahutada? (Ei, mitte iga kord: silindri teljesuunaline osa peab olema ruudukujuline)
27. Kas kera saab kirjutada mis tahes koonusesse? Kuidas määrata koonusesse kirjutatud kera keskpunkti asukohta? (Jah, absoluutselt. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on koonuse kõrguse ja generatriksi kaldenurga poolitaja ristumiskohas aluse tasapinnaga)
Autor usub, et kolmest planeerimistunnist teemal “Erinevad probleemid polüeedril, silindril, koonusel ja kuulil” on soovitatav pühendada kaks õppetundi palli teiste kehadega kombineerimise ülesannete lahendamisele. Eespool toodud teoreeme ei ole soovitatav tõestada, kuna tunnis pole piisavalt aega. Saate kutsuda õpilasi, kellel on selleks piisavad oskused, neid tõestama, näidates ära (õpetaja äranägemisel) tõendamise kursuse või kava.
Pall ja kera
Keha, mis saadakse poolringi ümber läbimõõduga pööramisel, nimetatakse kuuliks. Sel juhul moodustunud pinda nimetatakse sfääriks.Pall on keha, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis ei ole antud punktist suuremal kaugusel kui antud punkti. Seda punkti nimetatakse kuuli keskpunktiks, ja seda kaugust nimetatakse kuuli raadiuseks.Kuuli piiri nimetatakse sfääriliseks pinnaksvõi kera, mis tahes lõiku, mis ühendab kuuli keskpunkti sfäärilise pinna punktiga, nimetatakse raadiuseks.Segmenti, mis ühendab kahte punkti sfäärilisel pinnal ja läbib kuuli keskpunkti, nimetatakse läbimõõduks.Suvalise läbimõõduga otste nimetatakse kuuli diametraalselt vastassuunalisteks punktidekstasapind on ring. Selle ringi keskpunkt on risti, mis langeb keskpunktist lõiketasandile. Tasapinda, mis läbib kuuli keskpunkti, nimetatakse diametraaltasandiks. Kuuli läbilõiget diametraaltasandil nimetatakse suurringiks, ja sfääri ristlõige on suur ring.Kuuli mis tahes diametraaltasand on selle sümmeetriatasand. Palli keskpunkt on selle sümmeetriakeskus.Tasand, mis läbib sfäärilise pinna punkti ja on risti sellesse punkti tõmmatud raadiusega, nimetatakse puutujatasandiks.. Seda punkti nimetatakse puutumispunktiks.Puutajatasandil on kuuliga ainult üks ühine punkt - puutepunkt. Sirget, mis läbib antud punkti raadiusega risti läbivat sfäärilise pinna antud punkti, nimetatakse puutujaks..Sfäärilise pinna mis tahes punkti läbib lõpmatu arv puutujaid ja kõik need asuvad kuuli A puutujatasandilsellest tasapinnaga ära lõigatud kuuli osa nimetatakse sfääriliseks kihiksnimetatakse kuuli osa, mis asub kahe paralleelse palliga lõikuva tasandi vahelon saadud sfäärilisest segmendist ja koonusest Kui sfääriline segment on poolkerast väiksem, siis sfäärilisele lõigule lisatakse koonus, mille tipp on kuuli keskpunktis ja alus on palli alus. segment Kui segment on suurem kui poolkera, siis eemaldatakse sellest määratud koonus
Pall (R = OB – raadius): S b = 4πR 2
; V = 4πR 3
/ 3. Kuuli segment (R = OB - kuuli raadius, h = SK - segmendi kõrgus, r = KV - segmendi aluse raadius): V segm = πh 2
(R – h/3) või V segm = πh(h 2
+ 3r 2
) / 6;S segm = 2πRh Palli sektor (R = OB - kuuli raadius, h = SC - segmendi kõrgus): V = V segm ±V con , "+" - kui segment on väiksem, "-" - kui segment on suurem kui poolkera.või V = V segm + V con = πh 2
(R - h/3) + πr 2
(R - h) / 3. Sfääriline kiht (R 1
ja R 2
- sfäärilise kihi aluste raadiused; h = SC - sfäärilise kihi kõrgus või aluste vaheline kaugus):V w/sl = πh 3
/ 6 + πh(R 1
2
+ R 2
2
) / 2;S w/sl = 2πRh Näide 1. Kera ruumala on 288π cm 3
. Leidke kuuli läbimõõt LahendusV = πd 3
/ 6288π = πd 3
/ 6πd 3
= 1728πd 3
= 1728d = 12 cm Vastus: 12. Näide 2. Kolm võrdset sfääri raadiusega r puudutavad üksteist ja mingit tasapinda. Määrake kolme andme ja antud tasandi puutuja neljanda sfääri raadius
Las O 1
, KOHTA 2
, KOHTA 3
- nende sfääride keskpunktid ja O - kolme andmeid ja antud tasapinda puudutava neljanda sfääri keskpunkt. Olgu A, B, C, T sfääride kokkupuutepunktid antud tasapinnaga. Kahe sfääri kokkupuutepunktid asuvad nende sfääride keskpunktide joonel, seetõttu on O 1
KOHTA 2
= O 2
KOHTA 3
= O 3
KOHTA 1
= 2r. Punktid on tasapinnast ABC võrdsel kaugusel, seega ABO 2
KOHTA 1
, AVO 2
KOHTA 3
, AVO 3
KOHTA 1
- võrdsed ristkülikud, seega ∆ABC on võrdkülgne küljega 2r. Olgu x neljanda sfääri soovitud raadius. Siis OT = x. Seega Samamoodi 
See tähendab, et T on võrdkülgse kolmnurga keskpunkt. Sellepärast SiitVastus: r / 3. Püramiidi sisse kirjutatud kera Sfääri saab kirjutada igasse korrapärasesse püramiidi. Sfääri keskpunkt asub püramiidi kõrgusel selle lõikepunktis püramiidi aluse servas oleva lineaarnurga poolitajaga. Kui püramiidi saab kirjutada sfääri, mis ei pruugi olla korrapärane, saab selle sfääri raadiuse r arvutada valemiga r = 3V / S lk , kus V on püramiidi ruumala, S lk - selle kogupindala Näide 3. Kooniline lehter, mille aluse raadius on R ja kõrgus H, täidetakse veega. Raske pall lastakse lehtrisse. Kui suur peaks olema kuuli raadius, et palli sukeldatud osa poolt lehtrist välja tõrjutud vee maht oleks maksimaalne. Lahendus Joonistame koonuse keskpunkti läbiva lõigu? See lõik moodustab võrdhaarse kolmnurga.
Kui lehtris on pall, on selle raadiuse maksimaalne suurus võrdne saadud võrdhaarsesse kolmnurka kirjutatud ringi raadiusega: r = S / p , kus S on kolmnurga pindala, p on selle poolperimeeter, mis on võrdne poole kõrgusega (H = SO), mis on korrutatud alusega. Kuid kuna alus on kaks korda suurem kui koonuse raadius, siis S = RH Poolperimeeter on võrdne p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m on võrdhaarsete külgede pikkus. kolmnurk R on koonuse aluse moodustava ringi raadius Leia m Pythagorase teoreemi järgi: 
, kusLühidalt näeb see välja selline:
Vastus:Näide 4. Korrapärases kolmnurkses püramiidis, mille kahetahulise nurga põhjas on α, on kaks kuuli. Esimene pall puudutab kõiki püramiidi tahke ja teine pall puudutab kõiki püramiidi ja esimese palli külgi. Leidke esimese kuuli raadiuse ja teise kuuli raadiuse suhe, kui tgα = 24/7 Lahendus
Olgu RABC tavaline püramiid ja punkt H selle aluse ABC keskpunkt. Olgu M serva BC keskpunkt. Siis - lineaarne kahetahuline nurk , mis tingimuse järgi on võrdne α ja α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой
.Las NN 1
- esimese kuuli läbimõõt ja punkti H läbiv tasapind 1
risti sirgjoonega RN, lõikub punktides A vastavalt külgservad RA, PB, RS 1
, IN 1
, KOOS 1
. Siis N 1
on õige ∆A keskpunkt 1
IN 1
KOOS 1
ja püramiid RA 1
IN 1
KOOS 1
on sarnane RABC püramiidiga sarnasuskoefitsiendiga k = RN 1
/ RN. Pange tähele, et teine pall, mille keskpunkt on punktis O 1
, on kantud RA püramiidi 1
IN 1
KOOS 1
ja seetõttu on sissekirjutatud kuulide raadiuste suhe võrdne sarnasuse koefitsiendiga: OH / OH 1
= RN / RN 1
. Võrdusest tgα = 24/7 leiame:Olgu AB = x. Siis Sellest ka soovitud OH/O suhe 1
N 1
= 16/9 Vastus: 16/9 Prismasse kantud kera läbimõõt D on võrdne prisma kõrgusega H: D = 2R = H. Sfääri sisse kirjutatud kera raadius. prisma on võrdne ristlõike prisma sisse kirjutatud ringjoone raadiusega prisma on võrdne prisma põhja kantud ringi raadiusega. Lause 1 olgu sirge prisma alusele kantud ring ja prisma kõrgus H võrdne selle ringi läbimõõduga D. Siis saab sellesse prismasse sisse kirjutada kera läbimõõduga D. Selle sissekirjutatud sfääri keskpunkt langeb kokku prisma alustele kantud ringide keskpunkte ühendava segmendi keskpunktiga
Las ABC...A 1
IN 1
KOOS 1
... on sirge prisma ja O on selle baasi ABC kantud ringi keskpunkt. Siis on punkt O aluse ABC kõigist külgedest võrdsel kaugusel. Las O 1
- punkti O ortogonaalne projektsioon alusele A 1
IN 1
KOOS 1
. Siis Oh 1
võrdsel kaugusel aluse A kõikidest külgedest 1
IN 1
KOOS 1
ja OO 1
|| AA 1
. Sellest järeldub, et otsene OO 1
paralleelsed prisma külgpinna iga tasapinnaga ja lõigu OO pikkusega 1
võrdne prisma kõrgusega ja kokkuleppeliselt prisma põhjale kantud ringi läbimõõduga. See tähendab, et lõigu OO punktid 1
on võrdsel kaugusel prisma külgpindadest ja segmendi OO keskpunktist F 1
, mis on võrdsel kaugusel prisma aluste tasapindadest, on võrdsel kaugusel prisma kõigist tahkudest. See tähendab, et F on prismasse kantud sfääri keskpunkt ja selle sfääri läbimõõt on võrdne prisma põhja kantud ringi läbimõõduga. Teoreem on tõestatud Teoreem 2 Olgu kaldprisma ristilõige sisse kirjutatud ringjoon ja prisma kõrgus võrdub selle ringi läbimõõduga. Siis saab sellesse kaldprismasse kirjutada kera. Selle sfääri keskpunkt jagab ristilõiget läbiva ringi keskpunkti läbiva kõrguse pooleks
Las ABC...A 1
IN 1
KOOS 1
... on kaldprisma ja F on ringi keskpunkt, mille raadius FK on kantud selle risti lõiku. Kuna prisma ristilõige on risti selle külgpinna iga tasapinnaga, on selle lõigu külgedele tõmmatud ristlõikesse kirjutatud ringi raadiused risti prisma külgpindadega. Järelikult on punkt F võrdsel kaugusel kõigist külgpindadest. Joonistame sirge OO läbi punkti F 1
, risti prisma aluste tasapinnaga, lõikuvad need alused punktides O ja O 1
. Siis OO 1
- prisma kõrgus. Kuna vastavalt OO tingimusele 1
= 2FK, siis F on lõigu OO keskpunkt 1
:FK = OO 1
/ 2 = FO = FO 1
, st. punkt F on eranditult prisma kõigi tahkude tasanditest võrdsel kaugusel. See tähendab, et antud prismasse saab kirjutada sfääri, mille keskpunkt langeb kokku punktiga F – selle prisma ristilõike sisse kirjutatud ringi keskpunkt, mis jagab punkti F läbiva prisma kõrguse pooleks. Teoreem on tõestatud Näide 5. 1. raadiusega kuul on kirjutatud rööptahuka ruumala
Joonistage pealtvaade. Või kõrvalt. Või eest. Näete sama asja – ristkülikusse kirjutatud ringi. Ilmselgelt on see ristkülik ruut ja rööptahukas kuubik. Selle kuubi pikkus, laius ja kõrgus on kaks korda suuremad kui kera raadius AB = 2 ja seetõttu on kuubi ruumala 8. Vastus: 8. Näide 6. Tavalises kolmnurkses prismas, mille aluse külg on võrdne. juurde , on kaks palli. Esimene kuul on prismasse kirjutatud ja teine kuul puudutab prisma ühte alust, selle kahte külgpinda ja esimest kuuli. Leidke teise kuuli raadius
Las ABCA 1
IN 1
KOOS 1
- õige prisma ja punktid P ja P 1
- selle aluste keskpunktid. Siis on sellesse prismasse kantud kuuli O keskpunkt lõigu PP keskpunkt 1
. Mõelge lennukile RVV 1
. Kuna prisma on korrapärane, asub PB segmendil BN, mis on poolitaja ja kõrgus ΔABC. Seetõttu lennuk ja on lõhkeaine külgservas oleva kahetahulise nurga poolitustasand 1
. Seetõttu on selle tasandi mis tahes punkt AA külgpindadest võrdsel kaugusel 1
BB 1
ja SS 1
IN 1
B. Eelkõige risti OK, langetatud punktist O näole ACC 1
A 1
, asub RVV tasapinnas 1
ja on võrdne lõiguga OP. Pange tähele, et KNPO on ruut, mille külg on võrdne antud prismasse kantud kuuli raadiusega 1
- kuuli keskpunkt, mis puudutab märgistatud kuuli keskpunktiga O ja külgmisi tahke AA 1
BB 1
ja SS 1
IN 1
Prismadesse. Seejärel punkt O 1
asub RVV lennukil 1
ja selle projektsioon P 2
tasapinnal ABC asub lõigul PB Tingimuse järgi on aluse külg võrdne , seega on PN = 2 ja seega on prismasse kantud kuuli VÕ raadius samuti võrdne 2-ga. Kuna kuulid, mille keskpunktid on punktides O ja O 1
puudutage üksteist, seejärel lõiku OO 1
= VÕI + O 1
R 2
. Tähistame OP = r, O 1
R 2
= x. Kaaluge ΔOO 1
T, kus Selles kolmnurgas OO 1
= r + x, OT = r - x. Sellepärast Kuna joonis on O 1
R 2
RT on siis ristkülik 
Lisaks kolmnurga mediaanide omaduse järgi РВ = 2r ja Р 2
B = 2x, kuna täisnurkses kolmnurgas ja P 2
L = x. Kuna PB = PP 2
+ R 2
B, siis saame võrrandi 
, millest, võttes arvesse võrratust x< r, находим
Asendades väärtuse r = 2, leiame lõpuks Vastus:Hulktahuka ümber piiratud kera
Väidetavalt on kera hulktahuka ümber piiratud, kui kõik selle tipud asuvad sellel sfääril. Sel juhul öeldakse, et hulktahukas on sfääri sisse kirjutatud.Definitsioonist järeldub, et kui hulktahukal on piiritletud sfäär, siis on kõik selle tahud sissekirjutatud hulknurgad ja seetõttu ei ole iga hulktahuka ümber piiratud kera. Näiteks kaldus rööptahukal ei ole piiritletud kera, sest Ringjoont ümber rööpküliku on võimatu kirjeldada. Püsiprisma ümber piiritletud sfääri keskpunkt on sirge prisma aluste ümber kirjeldatud ringide keskpunkt. Näide 7. Leidke kera raadius ümber kirjutatud kuubi ümber, kui kuubi maht on 27. Kirjuta vastus vormile Lahendus Kuubi maht kuubi serv a = 3. Pythagorase teoreemi järgi on kuubi diagonaal 
Seejärel leiame raadiuse pooleks kuubi diagonaalist: 
Kirjutame vastuse vormi 
Vastus: 1.5 Näide 8. Korrapärase kolmnurkse prisma üks alustest kuulub raadiusega R kuuli suurringi ja teise aluse tipud kuuluvad selle kuuli pinnale. Määrake prisma kõrgus, mille juures on selle ruumala suurim Lahendus
Tasapinnaga A risti 1
IN 1
KOOS 1
tõmmatud selle kolmnurga ümber ümbritsetud ringi keskpunktist läbib kuuli keskpunkti. Tähistame OB 1
= R, OB = R 1
, BB 1
= h = x Siis Leiame tuletise ja võrdsustame selle nulliga. Saame:Vastus:Teema “Erinevad ülesanded hulktahukal, silindril, koonusel ja kuulil” on 11. klassi geomeetria kursuse üks raskemaid. Enne geomeetriliste ülesannete lahendamist tutvuvad nad tavaliselt teooria vastavate osadega, millele ülesannete lahendamisel viidatakse. S. Atanasyani ja teiste selleteemalisest õpikust (lk 138) võib leida vaid sfääri ümber kirjeldatud hulktahuka, sfääri sisse kirjutatud hulktahuka, polüeedrisse kantud sfääri ja sfääri ümber kirjeldatud sfääri definitsioonid. hulktahukas. Selle õpiku metoodilistes soovitustes (vt S. M. Sahakyani ja V. F. Butuzovi raamatut „Geomeetria õppimine 10.–11. klassis”, lk 159) on kirjas, milliseid kehade kombinatsioone ülesannete nr 629–646 lahendamisel arvesse võetakse, ja juhitakse tähelepanu. asjaolule, et „konkreetse probleemi lahendamisel tuleb eelkõige tagada, et õpilased saaksid hästi aru tingimuses märgitud kehade suhtelistest asenditest“. Järgnevalt on toodud ülesannete nr 638(a) ja nr 640 lahendus.
Arvestades kõike eeltoodut ja asjaolu, et õpilaste jaoks on kõige raskemad probleemid palli kombineerimine teiste kehadega, on vajalik vastavad teoreetilised põhimõtted süstematiseerida ja õpilastele edastada.
Definitsioonid.
1. Kuuli nimetatakse polüeedrisse sissekirjutatuks ja kuuli ümber kirjeldatavaks hulktahuks, kui kuuli pind puudutab hulktahuka kõiki tahke.
2. Kuuli nimetatakse ümber hulktahukaks piiritletuks ja kuuli sissekirjutatuks, kui kuuli pind läbib kõik hulktahuka tipud.
3. Kuuli nimetatakse silindrisse, tüvikoonusesse (koonusesse) ja silinder, tüvikoonusesse (koonus) on ümbritsetud kuuliga, kui kuuli pind puudutab aluseid (aluseid) ja kõik silindri generatriksid, tüvikoonus (koonus).
(Sellest definitsioonist järeldub, et kuuli suurring võib olla kantud nende kehade mis tahes telglõikesse).
4. Kuuli nimetatakse ümber silindri, tüvikoonuse (koonuse), kui aluste ringid (alusring ja tipp) kuuluvad kuuli pinnale.
(Sellest definitsioonist järeldub, et nende kehade mis tahes telglõike ümber saab kirjeldada kuuli suurema ringi ringjoont).
Üldised märkused palli keskpunkti asukoha kohta.
1. Hulktahukasse kantud kuuli kese asub polüeedri kõigi kahetahuliste nurkade poolitajate tasandite lõikepunktis. See asub ainult hulktahuka sees.
2. Hulktahuka ümber ümbritsetud kuuli keskpunkt asub hulktahuka kõigi servadega risti olevate ja nende keskpunkte läbivate tasapindade lõikepunktis. See võib paikneda hulktahukast sees, pinnal või väljaspool.
Kera ja prisma kombinatsioon.
1. Sirgesse prismasse kantud kuul.
1. teoreem. Kera saab sirge prisma sisse kirjutada siis ja ainult siis, kui prisma põhja saab kirjutada ringjoone ja prisma kõrgus on võrdne selle ringi läbimõõduga.
Järeldus 1. Parempoolsesse prismasse kantud sfääri keskpunkt asub prisma kõrguse keskpunktis, mis läbib alusesse kantud ringi keskpunkti.
Järeldus 2. Eelkõige saab kuuli kirjutada sirgjoontega: kolmnurkne, korrapärane, nelinurkne (milles aluse vastaskülgede summad on üksteisega võrdsed) tingimusel H = 2r, kus H on kuuli kõrgus. prisma, r on alusesse kantud ringi raadius.
2. Prisma ümber piiratud pall.
2. teoreem. Kera saab kirjeldada prisma ümber siis ja ainult siis, kui prisma on sirge ja selle aluse ümber saab kirjeldada ringjoont.
Järeldus 1. Ümber sirge prisma ümbritsetud sfääri keskpunkt asub prisma kõrguse keskpunktis, mis on tõmmatud läbi aluse ümber piiratud ringi keskpunkti.
Järeldus 2. Eelkõige võib palli kirjeldada: täisnurkse kolmnurkse prisma lähedal, korrapärase prisma lähedal, ristkülikukujulise rööptahuka lähedal, täisnurkse nelinurkse prisma lähedal, milles aluse vastasnurkade summa on 180 kraadi.
L.S Atanasyani õpikust saab palli ja prisma kombinatsiooni jaoks välja pakkuda ülesanded nr 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b).
Palli ja püramiidi kombinatsioon.
1. Püramiidi lähedal kirjeldatud pall.
3. teoreem. Palli saab kirjeldada ümber püramiidi siis ja ainult siis, kui saab kirjeldada ringi ümber selle aluse.
Järeldus 1.Ümber püramiidi ümbritsetud sfääri keskpunkt asub püramiidi põhjaga risti oleva sirge lõikepunktis, mis läbib selle aluse ümber ümbritsetud ringi keskpunkti ja tasandit, mis on risti mis tahes külgservaga, mis on tõmmatud läbi püramiidi keskosa. see serv.
Järeldus 2. Kui püramiidi külgmised servad on üksteisega võrdsed (või aluse tasapinna suhtes võrdselt kaldu), saab sellise püramiidi ümber kirjeldada kuuli, mille keskpunkt asub antud juhul ristumispunktis püramiidi (või selle laiendi) kõrgus tasapinnas paikneva külgserva sümmeetriateljega külgserv ja kõrgus.
Järeldus 3. Eriti palli saab kirjeldada: kolmnurkpüramiidi lähedal, tavalise püramiidi lähedal, nelinurkse püramiidi lähedal, mille vastasnurkade summa on 180 kraadi.
2. Püramiidi sisse kirjutatud pall.
4. teoreem. Kui püramiidi külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud, saab sellisesse püramiidi sisse kirjutada palli.
Järeldus 1. Püramiidi, mille külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud püramiidi sisse kirjutatud kuuli kese asub püramiidi kõrguse lõikepunktis püramiidi põhjas asuva mis tahes kahetahulise nurga lineaarnurga poolitajaga, mille külg millest on püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgus.
Järeldus 2. Saate palli sobitada tavalisse püramiidi.
L.S Atanasyani õpikust saab palli ja püramiidi kombinatsiooni jaoks välja pakkuda ülesanded nr 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641.
Kombinatsioon pallist kärbitud püramiidiga.
1. Korrapärase kärbitud püramiidi ümber piiratud pall.
5. teoreem. Sfääri saab kirjeldada mis tahes korrapärase kärbitud püramiidi ümber. (See tingimus on piisav, kuid mitte vajalik)
2. Korrapärasesse kärbitud püramiidi sisse kirjutatud kuul.
6. teoreem. Kuuli saab kirjutada tavalisesse kärbitud püramiidi siis ja ainult siis, kui püramiidi apoteem on võrdne aluste apoteemide summaga.
L.S.-i õpikus (nr 636) on palli ja kärbitud püramiidi kombinatsiooni puhul vaid üks probleem.
Kombinatsioon palli ümarate kehadega.
7. teoreem. Kera võib kirjeldada silindri, tüvikoonuse (sirge ringikujulise) või koonuse ümber.
8. teoreem. Kuuli saab kirjutada (sirgesse ümmargusesse) silindrisse siis ja ainult siis, kui silinder on võrdkülgne.
9. teoreem. Saate palli sobitada mis tahes koonusesse (sirge ringikujuline).
10. teoreem. Kuuli saab kirjutada kärbikoonusesse (sirgesse ringikujuliseks) siis ja ainult siis, kui selle generaator on võrdne aluste raadiuste summaga.
L.S Atanasyani õpikust saab välja pakkuda ülesanded nr 642, 643, 644, 645, 646 ümarate kehadega palli kombineerimiseks.
Selle teema materjali edukamaks õppimiseks on vaja tundidesse lisada suulisi ülesandeid:
1. Kuubi serv võrdub a-ga. Leidke kuulide raadiused: kuubi sisse kirjutatud ja selle ümber piiritletud. (r = a/2, R = a3).
2. Kas on võimalik kirjeldada kera (palli) ümber: a) kuubi; b) ristkülikukujuline rööptahukas; c) kaldus rööptahukas, mille põhjas on ristkülik; d) sirge rööptahukas; e) kaldus rööptahukas? a) jah; b) jah; c) ei; d) ei; d) ei)
3. Kas vastab tõele, et sfääri saab kirjeldada mis tahes kolmnurkse püramiidi ümber? (jah)
4. Kas suvalise nelinurkse püramiidi ümber olevat kera on võimalik kirjeldada? (Ei, mitte ühegi nelinurkse püramiidi lähedal)
5. Millised omadused peavad olema püramiidil, et kirjeldada teda ümbritsevat kera? (Selle põhjas peaks olema hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi)
6. Püramiid on sisse kirjutatud sfääri, mille külgserv on aluse suhtes risti. Kuidas leida kera keskpunkt? (Sfääri keskpunkt on kahe ruumipunktide geomeetrilise lookuse lõikepunkt. Esimene on risti, mis on tõmmatud püramiidi aluse tasapinnaga läbi selle ümberringi keskpunkti. Teine on tasapind risti etteantud külgservaga ja tõmmatud läbi selle keskosa)
7. Millistel tingimustel saab kirjeldada prisma ümber olevat kera, mille põhjas on trapets? (Esiteks peab prisma olema sirge ja teiseks peab trapets olema võrdhaarne, et selle ümber saaks kirjeldada ringjoont)
8. Milliseid tingimusi peab prisma täitma, et seda ümbritsev kera saaks kirjeldada? (Prisma peab olema sirge ja selle alus peab olema hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi)
9. Kolmnurkse prisma ümber kirjeldatakse kera, mille keskpunkt asub prismast väljaspool. Milline kolmnurk on prisma alus? (nüri kolmnurk)
10. Kas on võimalik kirjeldada kera ümber kaldprisma? (Ei, sa ei saa)
11. Millisel tingimusel paikneb täisnurkse kolmnurkse prisma ümber piiritletud sfääri keskpunkt prisma ühel külgpinnal? (Alus on täisnurkne kolmnurk)
12. Püramiidi alus on võrdhaarne trapets Püramiidi tipu ristprojektsioon aluse tasapinnale on punkt, mis asub väljaspool trapetsi. Kas sellise trapetsi ümber olevat kera on võimalik kirjeldada? (Jah, saab. Asjaolu, et püramiidi tipu ristprojektsioon asub väljaspool selle alust, ei oma tähtsust. Oluline on, et püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets – hulknurk, mille ümber saab ringjoont teha. kirjeldatud)
13. Korrapärase püramiidi lähedal kirjeldatakse kera. Kuidas asub selle keskpunkt püramiidi elementide suhtes? (Sfääri keskpunkt on risti, mis on tõmmatud aluse tasapinnaga läbi selle keskpunkti)
14. Mis tingimusel asub täisnurkse kolmnurkse prisma ümber kirjeldatud sfääri keskpunkt: a) prisma sees; b) väljaspool prismat? (Prisma põhjas: a) terav kolmnurk; b) nüri kolmnurk)
15. Kirjeldatakse kera ristkülikukujulise rööptahuka ümber, mille servad on 1 dm, 2 dm ja 2 dm. Arvutage sfääri raadius. (1,5 dm)
16. Millisesse tüvikoonusesse kera mahub? (Tärkkoonuses, mille telglõikesse saab sisse kirjutada ringjoone. Koonuse telglõik on võrdhaarne trapets, selle aluste summa peab olema võrdne tema külgmiste külgede summaga. Teisisõnu, koonuse aluste raadiuste summa peab olema võrdne generaatoriga)
17. Tüvikoonusesse on sisse kirjutatud kera. Millise nurga all on koonuse generatriks sfääri keskpunktist nähtav? (90 kraadi)
18. Milline omadus peab olema sirgel prismal, et sellesse saaks sisse kirjutatud kera? (Esiteks peab sirge prisma põhjas olema hulknurk, kuhu saab kirjutada ringi, ja teiseks peab prisma kõrgus olema võrdne alusesse kantud ringi läbimõõduga)
19. Too näide püramiidist, mis ei mahu sfääri külge? (Näiteks nelinurkne püramiid, mille põhjas on ristkülik või rööpkülik)
20. Sirge prisma põhjas on romb. Kas sellesse prismasse on võimalik kera mahutada? (Ei, see on võimatu, kuna üldiselt on võimatu kirjeldada ringi ümber rombi)
21. Mis tingimusel saab sfääri kirjutada täisnurksesse kolmnurkprismasse? (Kui prisma kõrgus on kaks korda suurem kui alusesse kantud ringi raadius)
22. Millisel tingimusel saab kera kirjutada korrapärasesse nelinurksesse tüvipüramiidi? (Kui antud püramiidi ristlõige on tasapind, mis läbib sellega risti oleva aluse külje keskkohta, on tegemist võrdhaarse trapetsiga, millesse saab kirjutada ringi)
23. Kolmnurksesse tüvipüramiidi on sisse kirjutatud kera. Milline püramiidi punkt on sfääri keskpunkt? (Sellesse püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt on püramiidi ja aluse külgpindade poolt moodustatud kolme nurkade poolitamise tasandi ristumiskohas)
24. Kas silindri ümber olevat kera on võimalik kirjeldada (parem ringjoon)? (Jah, sa saad)
25. Kas on võimalik kirjeldada kera ümber koonuse, tüvikoonust (sirge ringikujuline)? (Jah, saate mõlemal juhul)
26. Kas sfääri on võimalik igasse silindrisse mahutada? Millised omadused peavad olema silindril, et sellesse kera mahutada? (Ei, mitte iga kord: silindri teljesuunaline osa peab olema ruudukujuline)
27. Kas kera saab kirjutada mis tahes koonusesse? Kuidas määrata koonusesse kirjutatud kera keskpunkti asukohta? (Jah, absoluutselt. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on koonuse kõrguse ja generatriksi kaldenurga poolitaja ristumiskohas aluse tasapinnaga)
Autor usub, et kolmest planeerimistunnist teemal “Erinevad probleemid polüeedril, silindril, koonusel ja kuulil” on soovitatav pühendada kaks õppetundi palli teiste kehadega kombineerimise ülesannete lahendamisele. Eespool toodud teoreeme ei ole soovitatav tõestada, kuna tunnis pole piisavalt aega. Saate kutsuda õpilasi, kellel on selleks piisavad oskused, neid tõestama, näidates ära (õpetaja äranägemisel) tõendamise kursuse või kava.