Қай функция квадрат? Квадраттық функцияның графигі. Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе онымен байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерді білдіреді.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Сіздің жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария ету. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалтудан, ұрлаудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Үлкен өмірге қатысқыңыз келсе, мүмкіндігіңіз бар кезде басыңызды математикаға толтырыңыз. Содан кейін ол сіздің барлық жұмысыңызға үлкен көмек көрсетеді.

М.И. Калинин

Толық теориясы жасалған және барлық қасиеттері дәлелденген мектеп математикасының негізгі функцияларының бірі болып табылады. квадраттық функция. Студенттер осы қасиеттердің барлығын анық түсініп, білуі керек. Сонымен қатар, квадраттық функция бойынша көптеген мәселелер бар - теория мен формулалардан тікелей шығатын өте қарапайымдардан бастап, шешуі талдауды және барлық қасиеттерін терең түсінуді талап ететін ең күрделілеріне дейін. функциясы.

Квадраттық функцияны қамтитын есептерді шешу кезінде есептің алгебралық сипаттамасы мен оның геометриялық интерпретациясы арасындағы сәйкестік – функция графигінің координаталық жазықтықтағы нобайының бейнесінің болуының практикалық маңызы зор. Дәл осы мүмкіндіктің арқасында сіз әрқашан теориялық пайымдауларыңыздың дұрыстығы мен дәйектілігін тексеруге мүмкіндік аласыз.

«Квадраттық функция» тақырыбына бірнеше есептерді қарастырып, олардың толық шешіміне тоқталайық.

1-тапсырма.

y = 1/3x 2 – 2px + 12p параболаның шыңы Ox осінен жоғары орналасқан p санының бүтін мәндерінің қосындысын табыңыз.

Шешім.

Парабола тармақтары жоғары бағытталған (a = 1/3 > 0). Парабола төбесі Ox осінен жоғары жатқандықтан, парабола абсцисса осімен қиылыспайды (1-сурет). Сонымен, функция

y = 1/3x 2 – 2px + 12p нөлдері жоқ,

және теңдеу

1/3x 2 – 2px + 12p = 0 түбірлері жоқ.

Бұл соңғы теңдеудің дискриминанты теріс болып шықса мүмкін.

Есептеп көрейік:

D/4 = p 2 – 1/3 12p = p 2 – 4p;

б 2 – 4б< 0;

p(p – 4)< 0;

p (0; 4) интервалына жатады.

(0; 4) аралықтағы p санының бүтін мәндерінің қосындысы: 1 + 2 + 3 = 6.

Жауап: 6.

Есептің сұрағына жауап беру үшін теңсіздікті шешуге болатынын ескеріңіз

y in > 0 немесе (4ac – b 2) / 4a > 0.

2-тапсырма.

y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 парабола төбесінің абсциссасы мен ординатасы теріс болатын a санының бүтін мәндерінің санын табыңыз.

Шешім.

Егер квадраттық функцияның пішіні болса

y = a(x – n) 2 + m, онда координаталары (m; n) болатын нүкте параболаның төбесі болады.

Біздің жағдайда

x in = 9a; y in = a 2 + 7a + 6.

Парабола төбесінің абсциссасы да, ординатасы да теріс болуы керек болғандықтан, теңсіздіктер жүйесін жасаймыз:

(9а< 0,
(a 2 + 7a + 6< 0;

Алынған жүйені шешейік:

(а< 0,
((a+ 1)(a + 6)< 0;

Координаталық түзулерде теңсіздіктердің шешімін бейнелеп, соңғы жауабын берейік:

a (-6; -1) интервалына жатады.

a-ның бүтін мәндері: -5; -4; -3; -2. Олардың саны: 4.

Жауабы: 4.

3-тапсырма.

Квадрат функциясы орындалатын m-дің ең үлкен бүтін мәнін табыңыз
y = -2x 2 + 8x + 2m тек теріс мәндерді қабылдайды.

Шешім.

Парабола тармақтары төмен бағытталған (a = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m = 0.

Теңдеудің коэффициенттерін -2-ге бөлсек, мынаны аламыз:

x 2 – 4x – m = 0;

D/4 = 2 2 – 1 1 (-м) = 4 + м;

m-нің ең үлкен бүтін мәні: -5.

Жауабы: -5.

Есептің сұрағына жауап беру үшін y теңсіздігін шешуге болады< 0 или

(4ac – b 2) / 4a< 0.

4-тапсырма.

y = ax 2 – (a + 6)x + 9 квадраттық функциясының ең кіші мәнін табыңыз, егер x = 2 түзу оның графигінің симметрия осі екені белгілі болса.

Шешім.

1) x = 2 түзу осы графиктің симметрия осі болғандықтан, онда x в = 2. Біз формуланы қолданамыз.

x in = -b / 2a, содан кейін x in = (a + 6) / 2a. Бірақ x в = 2.

Теңдеу құрайық:

(a + 6) / 2a = 2;

Содан кейін функция пішінді алады

y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;

y = 2x 2 – 8x + 9.

2) Параболаның тармақтары

Бұл функцияның ең кіші мәні параболаның төбесінің ординатасына тең (Cурет 2), бұл формуланы пайдаланып табу оңай

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 2 9 – 8 2) /4 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.

Қарастырылып отырған функцияның ең кіші мәні 1-ге тең.

Жауабы: 1.

5-тапсырма.

y = x 2 – 2x + a және y = -x 2 + 4x – a функцияларының мәндер жиындары қиылыспайтын а санының ең кіші бүтін мәнін табыңыз.

Шешім.

Әрбір функция үшін мәндер жиынын табайық.

І әдіс

y 1 = x 2 – 2x + a.

Формуланы қолданайық

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 1 a – 2 2) /4 1 = (4a – 4) / 4 = 4(a – 1) / 4 = a – 1.

Парабола тармақтары жоғары бағытталғандықтан

E(y) =.

E(y 2) = (-∞; 4 – a].

Алынған жиындарды координаталық түзулерде көрсетейік (Cурет 3).

Алынған жиындар қиылыспайды, егер координатасы 4 – a нүкте координатасы a – 1 болатын нүктенің сол жағында орналасса, яғни.

4 – а< a – 1;

a-ның ең кіші бүтін мәні: 3.

Жауабы: 3.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханда квадраттық функцияның түбірлерінің орналасуына есептер, параметрлерге есептер және квадраттық функцияларға келтіретін есептер өте танымал. Сондықтан емтиханға дайындалу кезінде оларға мұқият назар аудару керек.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Квадраттық функцияның графигін салуды білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін тіркеліңіз.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Мектептегі математика сабақтарында сіз функцияның ең қарапайым қасиеттерімен және графигімен таныстыңыз. y = x 2. Білімімізді кеңейтейік квадраттық функция.

1-жаттығу.

Функцияның графигін сал y = x 2. Масштаб: 1 = 2 см Ой осінде нүктені белгілеңіз Ф(0; 1/4). Компас немесе қағаз жолағын пайдаланып нүктеден қашықтықты өлшеңіз Фбелгілі бір нүктеге дейін Мпараболалар. Содан кейін жолақты M нүктесіне бекітіңіз және оны тік болғанша сол нүктенің айналасында айналдырыңыз. Жолақтың соңы х осінен сәл төмен түседі (Cурет 1). Жолаққа оның x осінен қаншалықты ұзайтынын белгілеңіз. Енді параболаның тағы бір нүктесін алып, өлшеуді қайталаңыз. Жолақтың шеті х осінен қаншалықты төмен түсті?

Нәтиже: y = x 2 параболасының қай нүктесін алсаңыз да, осы нүктеден F(0; 1/4) нүктесіне дейінгі қашықтық сол нүктеден абсцисса осіне дейінгі қашықтықтан әрқашан бірдей санға артық болады - 1/4.

Оны басқаша айтуға болады: параболаның кез келген нүктесінен (0; 1/4) нүктесіне дейінгі қашықтық параболаның сол нүктесінен у = -1/4 түзуіне дейінгі қашықтыққа тең. Бұл тамаша нүкте F(0; 1/4) деп аталады назар аударупарабола y = x 2, және түзу у = -1/4 – директорбұл парабола. Әрбір параболаның директрисасы мен фокусы болады.

Параболаның қызықты қасиеттері:

1. Параболаның кез келген нүктесі параболаның фокусы деп аталатын қандай да бір нүктеден және оның директрисасы деп аталатын қандай да бір түзуден бірдей қашықтықта орналасқан.

2. Егер параболаны симметрия осінің айналасында айналдырсаңыз (мысалы, y = x 2 параболасын Oy осінің айналасында), сіз революция параболоиды деп аталатын өте қызықты бет аласыз.

Айналмалы ыдыстағы сұйықтықтың беті айналу параболоиды пішініне ие. Толық емес стакан шайда қасықпен қатты араластырып, содан кейін қасықты алып тастасаңыз, бұл бетті көруге болады.

3. Тасты көкжиекке белгілі бір бұрышпен қуысқа лақтырсаңыз, ол параболада ұшады. (Cурет 2).

4. Егер конустың бетін оның кез келген генератрицаларына параллель жазықтықпен қиылса, онда көлденең қима параболаға шығады. (Cурет 3).

5. Ойын-сауық саябақтарында кейде ғажайыптар параболоиды деп аталатын көңілді серуен болады. Айналмалы параболоидтың ішінде тұрғандардың бәріне ол еденде тұрғандай көрінеді, ал қалған адамдар әйтеуір бір керемет түрде қабырғаларды ұстайды.

6. Шағылыстыратын телескоптарда параболалық айналар да қолданылады: телескоп айнасына түсетін параллель сәулемен келетін алыс жұлдыздың жарығы фокусқа жиналады.

7. Прожекторларда әдетте параболоид түріндегі айна болады. Егер параболоидтың фокусына жарық көзін қойса, онда параболалық айнадан шағылған сәулелер параллель сәулені құрайды.

Квадраттық функцияның графигін салу

Математика сабақтарында сіз y = x 2 функциясының графигінен түрдегі функциялардың графиктерін алу жолын зерттедіңіз:

1) у = балта 2– y = x 2 графигін Oy осі бойымен |a| ішінде созу рет ( |a|мен< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, күріш. 4).

2) y = x 2 + n– графиктің Oy осі бойынша n бірлікке ығысуы, ал егер n > 0 болса, онда ығысу жоғары, ал егер n болса< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– графикті Ox осі бойымен m бірлікке жылжыту: егер m< 0, то вправо, а если m >0, содан кейін солға, (Cурет 5).

4) y = -x 2– y = x 2 графигінің Ox осіне қатысты симметриялы дисплей.

Функцияның графигін салуды толығырақ қарастырайық y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c түріндегі квадраттық функцияны әрқашан түрге келтіруге болады.

y = a(x – m) 2 + n, мұндағы m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Дәлелдейік.

Шынымен,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Жаңа белгілерді енгізейік.

Болсын m = -b/(2a), А n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

онда у = a(x – m) 2 + n немесе y – n = a(x – m) 2 мәнін аламыз.

Тағы бірнеше алмастырулар жасайық: y – n = Y, x – m = X (*) болсын.

Сонда графигі парабола болатын Y = aX 2 функциясын аламыз.

Параболаның төбесі бас басында. X = 0; Y = 0.

Төбенің координаталарын (*) орнына қойып, y = a(x – m) 2 + n графигінің шыңының координаталарын аламыз: x = m, y = n.

Осылайша, квадраттық функцияның графигін салу үшін ретінде берілген

y = a(x – m) 2 + n

түрлендіру арқылы келесі әрекеттерді орындауға болады:

а) y = x 2 функциясының графигін салыңыз;

б) Ox осі бойымен m бірлікке және Oy осі бойымен n бірлікке параллель аудару арқылы - параболаның төбесін координаталары (m; n) нүктесінен координаттары бар нүктеге көшіру. (Cурет 6).

Түрлендірулерді жазу:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Мысал.

Түрлендірулерді қолданып, декарттық координаталар жүйесіндегі y = 2(x – 3) 2 функциясының графигін тұрғызыңыз. – 2.

Шешім.

Трансформациялар тізбегі:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → у = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Сюжетте көрсетілген күріш. 7.

Квадраттық функциялардың графигін өз бетіңізше салуға жаттыға аласыз. Мысалы, түрлендірулерді қолдана отырып, y = 2(x + 3) 2 + 2 функциясының графигін тұрғызыңыз онлайн оқытушымен 25 минуттық тегін сабақтіркелгеннен кейін. Оқытушымен әрі қарай жұмыс істеу үшін сіз өзіңізге қолайлы тарифтік жоспарды таңдай аласыз.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Квадраттық функцияның графигін салуды білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

y =a*x^2+b*x+c түріндегі функция, мұндағы a,b,c — кейбір нақты сандар, ал a — нөл емес, x,y — айнымалылар, квадраттық функция деп аталады. y =a*x^2+b*x+c квадраттық функцияның графигі математикада түзу деп аталады. парабола. Параболаның жалпы көрінісітөмендегі суретте берілген.

Айта кету керек, егер функцияның коэффициенті a>0 болса, онда парабола оның тармақтарымен жоғары бағытталған, ал егер а квадраттық функцияның графигі симметрия осіне қатысты симметриялы болса. Параболаның симметрия осі деп Ой осіне параллель x=(-b)/(2*a) нүктесі арқылы жүргізілген түзу болады.

Парабола төбесінің координаталары келесі формулалармен анықталады:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Төмендегі суретте ерікті квадраттық функцияның графигі көрсетілген. Квадраттық функцияның графигін салу. Суретте параболаның төбесі мен симметрия осі де белгіленген.

a коэффициентінің мәніне байланысты параболаның төбесі квадраттық функцияның ең кіші немесе ең үлкен мәні болады. a>0 болғанда, төбесі квадраттық функцияның ең кіші мәні болып табылады және максималды мәні болмайды. a болғанда симметрия осі параболаның төбесінен өтеді. Квадраттық функцияның анықталу облысы R нақты сандар жиыны болып табылады.

y =a*x^2+b*x+c квадраттық функциясын әрқашан y=a*(x+k)^2+p түріне түрлендіруге болады, мұндағы k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Ол үшін толық шаршыны таңдау керек.

(-k;p) координаталары бар нүкте параболаның төбесі болатынын ескеріңіз. y=a*(x+k)^2+p квадраттық функциясының графигін y=a*x^2 функциясының графигінен параллель аудару арқылы алуға болады.

Оқуыңызға көмек керек пе?

Алдыңғы тақырып: